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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2005-2006 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille d'exercices num\'ero  5}}
\centerline{{\bf Int\'egrales \`a param\`etre, int\'egrales multiples.}}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $0\leq 1-e^{-z}=\int_0^z e^{-t} dt\leq \int_0^z 1 dt =z$
\item  Par la question pr\'ec\'dente, $\forall y>0$, $0\leq \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2} \leq y$ et $\leq \frac{1}{x^2}$ donc $0\leq \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2} \leq \inf(1,1/x^2)$ donc $x\mapsto \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2}$ est int\'egrable
\item Soit $\epsilon >0$,
\begin{itemize}
\item $\forall y >\epsilon$, $x\mapsto \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2}$ est int\'egrable
\item $\forall x>0$ (et donc pour presque tout $x\geq 0$), $y\mapsto \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2}$ est d\'erivable
\item $\forall x>0$, $\forall y>\epsilon$,  $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2} \right)=e^{-x^2 y} $ et $|e^{-x^2 y}|\leq e^{-\epsilon x^2}$ qui est int\'egrable sur $[0,+\infty[$
\end{itemize}
Donc (th\'eor\`eme de d\'erivation globale) $F$ est d\'erivable sur $]\epsilon,+\infty[$ et $F'$ vaut:

$$
F'(y)=\int_0^{+\infty} e^{-x^2 y}dx
$$
Cela est vrai $\forall \epsilon > 0$ donc cette d\'eriv\'ee est valable pour tout $y\in ]0,+\infty[$.
Par changement de variable ($u=\sqrt{y}x$), $F'(y)=\frac{1}{\sqrt{y}} \int_0^{+\infty} e^{-u^2}du=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{y}}$.
\item On en d\'eduit $F(y)=\sqrt{\pi y} +C$ pour une certaine constante $C$.
\item $F(1/n)=\int_0^{+\infty} f_n(x) dx $ avec $f_n(x)=\frac{1-e^{-x^2 /n}}{x^2}$. Pour tout $x>0$, $f_n(x)\convn 0$. Pour tout $x>0$, $|f_n(x)| \leq \inf(1,1/x^2)$ (voir question 1). Donc, par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee~:

$$
F(1/n) \convn 0
$$
donc $C=0$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \begin{eqnarray*}
\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx & = & \frac{1}{(1+y)} \left[ \frac{1}{\sqrt{y}} \arctan(x\sqrt{y}) \right]_0^{+\infty}\\
& = & \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{y} (1+y)}\ .
\end{eqnarray*}
\item \begin{eqnarray*}
\int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx dy & = & \int_0^{+\infty}\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{y} (1+y)} dy\\
& = & \int_0^{+\infty} \frac{\pi}{2} \frac{1}{1+u^2}  2 du \\
& = & {\pi} [\arctan(u)]_0^{+\infty} \\
& = & \frac{\pi^2}{2}
\end{eqnarray*}
o\`u l'on a fait un changement de variable en $u=\sqrt{y}$, $du=\frac{1}{2\sqrt{y}}dy$.

\item Pour tout $x >0, x\neq 1$, on a par d\'ecomposition en \'el\'ements simples~:

\begin{eqnarray*}
 \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dy & = &  \frac{1}{1-x^2 } \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+y} - \frac{x^2}{1+x^2y} dy \\
& = & \frac{1}{1-x^2 } [\log(1+y) - \log(1+x^2 y) ]_0^{+\infty} \\
& = & \frac{1}{1-x^2 } [\log\left( \frac{1+y}{1+x^2y} \right)]_0^{+\infty} \\
& = & \frac{1}{1-x^2 } \log\left( \frac{1}{x^2} \right)\\
& = & \frac{2 \log(x)}{x^2 -1}\ .
\end{eqnarray*}
\item Par Fubini-Tonelli et puisque $\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dy= \frac{2 \log(x)}{x^2 -1}$ pour p.t. $x\in [0,+\infty[$~:
\begin{eqnarray*}
\int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx dy & = & \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dy dx \\
\frac{\pi^2}{2} & = & \int_0^{+\infty} \frac{2 \log(x)}{x^2 -1}dx\\
\frac{\pi^2}{4} & = & \int_0^{+\infty} \frac{\log(x)}{x^2-1} dx\ .
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\item Changement de variable~:

\begin{eqnarray*}
\begin{cases}
& u=x+y\\
& v=x-y
\end{cases}
& \hspace{1cm}
\begin{cases}
& x=\frac{u+v}{2}\\
& y=\frac{u-v}{2}\ .
\end{cases}
\end{eqnarray*}
L'application~:
\begin{eqnarray*}
\phi : \R^2 &\rightarrow & \R^2 \\
(u,v)&\mapsto& \left( \frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2} \right)
\end{eqnarray*}
est bijective. On calcule le jacobien (c'est \`a dire que l'on \'ecrit dans une matrice les d\'eriv\'ees partielles de $\phi$ en $u$ et $v$)~:

 $$J(u,v) =
\left[
\begin{array}{ccc}
   1/2 &  1/2 \\
   1/2 &  -1/2
\end{array}
\right]
$$
On fait le changement de variable dans l'int\'egrale et on utilise Fubini-Tonelli~:
\begin{eqnarray*}
\int_{\R \times \R} e^{-(x+y)^2} e^{-(x-y)^2} dx dy & = & \int_{\R \times \R} e^{-u^2} e^{-v^2} |\det(J(u,v)| du dv\\
& = & \int_{\R \times \R} e^{-u^2} e^{-v^2} \frac{1}{2} du dv\\
& = & \int_{\R}e^{-u^2}\frac{1}{2} \sqrt{\pi} du\\
& = & \frac{\pi}{2}\ .
\end{eqnarray*}


\end{enumerate}

\end{document}
