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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  5}}
\centerline{{\bf Int\'egrales \`a param\`etre, int\'egrales multiples.}}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}


\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall z\geq 0$, $0\leq 1-e^{-z}\leq z$.
\item En d\'eduire que $\forall y >0$, $x\mapsto \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2}$ est int\'egrable sur $[0,+\infty[$.
\item Pour tout $y>0$, on pose

$$
F(y)=\int_0^{+\infty} \frac{1-e^{-x^2 y}}{x^2} dx\ .
$$
Montrer que $F$ est d\'erivable sur $]0,+\infty[$. Calculer $F'(y)$ (on rappelle que $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx =\sqrt{\pi}/2$).
\item En d\'eduire $F(y)$ \`a une constante pr\`es.
\item Calculer cette constante en regardant $\lim_{n\rightarrow +\infty} F(1/n)$.
\end{enumerate}

%\item
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que $\int \int_{[0,+\infty[\times [0,+\infty[} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dxdy = \frac{\pi^2}{4}$. Pour cela, %on int\`egregra d'abord sur $x$.
%\item En d\'eduire que~:
%$$\int_0^{+\infty} \frac{\log(x)}{1+x^2} dx = \frac{\pi^2}{4}\ .$$
%Pour cela, on int\`egregra la double int\'egrale ci-dessus d'abord par rapport \`a $y$. Indication, on v\'erifiera que %pour $x\neq 1$~:
%$$\frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}=\frac{1}{1-x^2}\left(\frac{1}{1+y}-\frac{x^2}{1+x^2y} \right)\ .$$
%\end{enumerate}


\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $y>0$~:

$$
\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx = \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{y} (1+y)} .
$$
\item Montrer que~:

$$
\int_0^{+\infty} \left(\int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dx\right) dy = \frac{\pi^2}{2}\ .
$$

\item Montrer que pour tout $x >0, x\neq 1$~:

$$
\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}dy = \frac{2 \log(x)}{x^2 -1}\ .
$$
\item En d\'eduire que~:

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\log(x)}{x^2-1} dx = \frac{\pi^2}{4}\ .
$$
\end{enumerate}

\item On rappelle que~: $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. En utilisant un changement de variable, calculer~:

$$\int_{\R \times \R} e^{-(x+y)^2} e^{-(x-y)^2} dx dy\ .
$$

\end{enumerate}

\end{document}
