\documentclass{article}
\RequirePackage{amsmath}
\RequirePackage{amssymb}

\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{fancybox}

%\pagestyle{empty}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
 \newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\C }{{\mathbb C}}
\newcommand{\1}{\text{\bf 1}}
\newcommand{\p}{\mathbb{P}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\Var}{\text{Var}}
\newcommand{\eqloi}{\overset{\text{loi}}{=}}
\newcommand{\convn}{\underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow}}
\newcommand{\convps}{\overset{\text{p.s.}}{\convn}}
\newcommand{\lam}{\lambda}
%\newcommand{\det}{\text{det}}

\oddsidemargin=1.truecm
\evensidemargin=1.truecm
\topmargin=-1.truecm
\textwidth=15.truecm
\textheight=24.truecm
\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille d'exercices num\'ero  6}}
\centerline{{\bf Calculs d'esp\'erances. Calculs de lois.}}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}

\item On fait des int\'egrations par parties~:
 \begin{eqnarray*}
\E(X) & = & \int_\R \lambda x e^{-\lambda x} \1_{x\geq0} dx\\
& = &\int_0^{+\infty} \lambda x e^{-\lambda x} dx\\
& = & [-x e^{-\lambda x}]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}  e^{-\lambda x} dx\\
& = & 0 + [-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}]_0^{+\infty} = \frac{1}{\lambda}
 \end{eqnarray*}

 \begin{eqnarray*}
 \Var (X) & = & \E(X^2) -\E(X)^2\\
 & = & \int_0^{+\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx -\frac{1}{\lambda^2} \\
 & = &  [- x^2 e^{-\lambda x}]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} 2x e^{-\lambda x} dx-\frac{1}{\lambda^2}\\
 & = & 0 + \left[ - 2x \frac{e^{-\lambda x}}{\lam} \right]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} 2 \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} dx -\frac{1}{\lambda^2}\\
 & = & 0 + \left[ - 2 \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda^2} \right]_0^{+\infty}-\frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}
 \end{eqnarray*}

 Soit $f:\R \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
 \begin{eqnarray*}
 \E(f(2X)) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} f(2x) \1_{x\geq 0} \lambda e^{-\lambda x} dx\\
 \text{(changement de variable $t=2x$)} & = &\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \1_{t/2\geq 0}\lambda e^{-\lambda t/2} \frac{1}{2} dt\ .
 \end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de  $2X$ est $t\mapsto \1_{t\geq 0} \frac{\lam}{2} e^{-\lam t/2}$. \\
Calculons~: $E(2 X)=2\E(X)=\frac{2}{\lambda}$ (par lin\'earit\'e de l'esp\'erance) et $\Var (2X)=\E((2X)^2)-\E(2X)^2= 4\E(X^2)-4(\E(X))^2=4 \Var (X) =\frac{4}{\lambda^2}$ (par lin\'earit\'e de l'esp\'erance).

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $f:\R \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
 \begin{eqnarray*}
 \E( f( \sigma U + m)) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} f( \sigma x + m) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\
 \text{(changement de variable $t=\sigma x +m$)} & = & \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}} e^{-\frac{(t-m)^2}{2\sigma^2}} dt
 \end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $\sigma U + m$ est la m\^eme que celle de la loi de $X$ donc $\sigma U + m$ et $X$ ont m\^eme loi

 \item $E(X)=\E(\sigma U+ m)=\sigma \E(U) + m=m$ (car $\E(U)=0$ car int\'egrale de fonction impaire) et
\begin{eqnarray*}
 \Var(X)& = &\Var(\sigma U+m)=\E((\sigma U+m)^2)-\E(\sigma U+m)^2\\
 & = & \sigma^2 \E(U^2) + m^2 + 2m\sigma \E(U)-m^2=\sigma^2 \E(U^2)\\
 & = & \sigma^2 \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\
 & = & \sigma^2 \left[ - x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \right]_0^{+\infty} +\sigma^2 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\
 & = & 0+\sigma^2\ .
\end{eqnarray*}

\item Soit $f:\R \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
\begin{eqnarray*}
\E(f(Y))&=&\E(f(aX+b))\\
& =& \int_{-\infty}^{+\infty} f(at+b) \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}} e^{-\frac{(t-m)^2}{2\sigma^2}} dt\\
\text{(changement de variable $x=at+b$)}& = &\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2\sigma ^2}} e^{-\frac{(x-b-m)^2}{2a^2 \sigma^2}} dx
\end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $Y$ est $x\mapsto  \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2\sigma ^2}} e^{-\frac{(x-b-m)^2}{2a^2 \sigma^2}} $~.

\item $\E(Y)=\E(aX+b)=a\E(X)+b=am+b$ et
\begin{eqnarray*}
\Var(Y)&=&\Var(aX+b)=\E((aX+b)^2)-\E(aX+b)^2\\
&=& a^2\E(X^2)+b^2+2ab\E(X)-a^2\E(X)^2-b^2-2ab\E(X)\\
& = & a^2\E(X^2)-a^2\E(X)^2=a^2\Var(X)=a^2 \sigma^2\ .
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\item
\begin{eqnarray*}
\E(X) & = & \sum_{k\geq 0} k \frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!}\\
& = & \sum_{k\geq 1} \theta \frac{\theta^{k-1} e^{-\theta}}{(k-1)!}\\
& = & \theta \sum_{q\geq 0} \frac{\theta^{q} emq^{-\theta}}{q!}\\
\text{(somme de s\'erie exponentielle)} & = & \theta
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\E(e^{-uX}) & = & \sum_{k\geq 0} e^{-uk} \frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!}\\
& = & \sum_{k\geq 0} (e^{-u}\theta)^k \frac{e^{-\theta}}{k!}\\
\text{(somme de s\'erie exponentielle)} & = & \exp(e^{-u}\theta))e^{-\theta}\\
& = & \exp(\theta(e^{-u}-1))
\end{eqnarray*}

\item
Soit $f:\R^2 \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
\begin{eqnarray*}
\E(f(X+2Y,X-Y)) & = & \int_{R^2} f(x+2y,x-y) \frac{3}{4} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right) dx dy
\end{eqnarray*}
On fait un changement de variable en~:


\begin{eqnarray*}
\begin{cases}
& u=x+2y\\
& v=x-y
\end{cases}
& \hspace{1cm}
\begin{cases}
& x=\frac{u+2v}{3}\\
& y=\frac{u-v}{3}\ .
\end{cases}
\end{eqnarray*}

L'application~:
\begin{eqnarray*}
\phi : \R^2 &\rightarrow & \R^2 \\
(u,v)&\mapsto& \left( \frac{u+2v}{3},\frac{u-v}{3} \right)
\end{eqnarray*}
est bijective. On calcule le jacobien (c'est \`a dire que l'on \'ecrit dans une matrice les d\'eriv\'ees partielles de $\phi$ en $u$ et $v$)~:

 $$J(u,v) =
\left[
\begin{array}{ccc}
   1/3 &  1/3 \\
   2/3 &  -1/3
\end{array}
\right]
$$

On fait le changement de variable dans l'int\'egrale~:
\begin{eqnarray*}
\E(f(X+2Y,X-Y)) & = & \int_{\R^2}  f(u,v) \frac{3e^{-|u|} e^{-|v|}}{4}|\det (J(u,v))|du dv=  \int_{\R^2}  f(u,v) \frac{e^{-|u|} e^{-|v|}}{4}du dv\ .
\end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $(X+2Y,X-Y)$ est $(u,v)\mapsto  \frac{e^{-|u|} e^{-|v|}}{4}$.\\
Soit $f:\R \rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
\begin{eqnarray*}
&&\E(f(X)) = \\
 &&\int_{\R^2} f(x) \frac{3}{4} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right) dx dy =\\
&&\text{(Fubini-Tonelli)}\\
&&  \frac{3}{4} \int_{\R} f(x) \left( \int_{\R} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right) dy \right) dx
\end{eqnarray*}

On veut calculer $\psi(x):=\int_{\R} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right) dy $. Commen{\c c}ons par montrer que c'est une fonction paire. On fait un changement de variable en $t=-y$ dans l'int\'egrale suivante~:
\begin{eqnarray*}
\psi(-x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(  -|-x+2y| - |-x-y|
\right) dy & = & \int_{+\infty}^{-\infty}\exp\left(-|-x-2t| - |-x+t|
\right) (-1)dt\\
& = &\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-|x+2t| - |x-t|
\right) dt=\psi(x)\ .
\end{eqnarray*}
On se contente donc de calculer $\psi(x)$ pour $x\geq 0$~:
\begin{eqnarray*}
\psi(x) & = & \int_{-\infty}^{-x/2} e^{(x+2y)} e^{-(x-y)} dy + \int_{-x/2}^x e^{-(x+2y)} e^{-(x-y)} dy + \int_x^{+\infty}   e^{-(x+2y)} e^{(x-y)} dy \\
& =& \frac{e^{-3x/2}}{3} +e^{-3x/2}-e^{-3x} + \frac{e^{-3x}}{3}\\
& = &\frac{4 e^{-3x/2}}{3}-\frac{2}{3}e^{-3x}\ .
\end{eqnarray*}
Donc par parit\'e, $\psi(x) =\frac{4e^{-3|x|/2}}{3}-\frac{2}{3}e^{-3|x|}$ $\forall x\in \R$. Donc~:
\begin{eqnarray*}
\E(f(X)) & = & \frac{3}{4}\int_{\R} f(x) \left( \frac{4e^{-3|x|/2}}{3}+e^{-5|x|/2}-\frac{2}{3}e^{-3|x|} \right)\ .
\end{eqnarray*}
Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $X$ est $x\mapsto  e^{-3|x|/2}-\frac{e^{-3|x|}}{2} $.


%&&\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} f(x) \left( \int_{-\infty}^{-x/2} e^{(x+2y)} e^{-(x-y)} dy + \int_{-x/2}^x e^{-(x+2y)} e^{-(x-y)} dy + \int_x^{+\infty}   e^{-(x+2y)} e^{(x-y)} dy \right) dx\\
%&&~~~~~ + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^0 f(x) \left( \int_{-\infty}^{x} e^{(x+2y)}e^{-(x-y)} dy + \int_x^{-x/2} e^{-(x+2y)}e^{-(x-y)} dy +\int_{-x/2}^{+\infty} e^{-(x+2y)}e^{(x-y)}dy \right) dx=\\
%&& \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} f(x) \left( \frac{e^{-3x/2}}{3} + \frac{ e^{-5x/2}-e^{-3x}}{3} + \frac{e^{-3x}}{3} \right) dx +\frac{1}{2}\int_{-\infty}^0 f(x) \left(   \frac{e^{3x}}{3} + \frac{e^{5x/2}-e^{3x}}{3} + \frac{e^{-3x/2}}{3} \right) dx\\
%&& \int_{\R} f(x) \frac{1}{6}\left(e^{-3|x|/2} + e^{-5|x|/2}-e^{-3|x|} + e^{-3|x|} \right) dx
%\end{eqnarray*}
%Cela est vrai $\forall f$ donc la densit\'e de la loi de $X$ est $x\mapsto= \frac{1}{6} \left(\frac{e^{-3|x|/2}}{3} + e^{-5|x|/2}-e^{-3|x|} + \frac{e^{-3|x|}}{3} \right) $.

 Des calculs analogues conduisent \`a la densit\'e suivante pour $Y$~: $y\mapsto \frac{3}{4} e^{-3|y|}  (1+3|y|)$.


\item Soit $f:\R\rightarrow \R^+$ continue born\'ee.
\begin{eqnarray*}
\E(f(1/Y)) & =  &\int_{-\infty}^{+\infty} f(1/x) \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx\\
& =&\int_{-\infty}^0 f(1/x) \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx +\int_0^{+\infty} f(1/x) \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx\\
\text{(changement de variable en $u=1/x$)}& = & \int_0^{-\infty} f(u) \frac{1}{\pi(1+1/u^2)}\left(-\frac{1}{u^2}\right) du\\
\text{(changement de variable en $v=1/x$)}&&~~~~~+\int_{+\infty}^0 f(v) \frac{1}{\pi(1+1/v^2)}\left(-\frac{1}{v^2}\right) dv\\
%\text{ (on est oblig\'e de d\'ecouper l'int\'egrale en deux morceaux pour faire des changements de variables \underline{bijectifs})}
& = & \int_{-\infty}^0 f(u) \frac{1}{\pi(1+u^2)} du +\int_0^{+\infty} f(v) \frac{1}{\pi(1+v^2)} dv\\
& = &\int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \frac{1}{\pi(1+u^2)} du
\end{eqnarray*}
(Remarque~: on est oblig\'e de d\'ecouper l'int\'egrale en deux morceaux pour faire des changements de variables bien d\'efinis.) On a donc que $u\mapsto \frac{1}{\pi(1+u^2)}$ est la densit\'e de $1/Y$.


% \begin{eqnarray*}
%\E(X) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}
%e^{-\frac{(x-m)^2}{\sigma^2}} dx \\
% \text{(changement de variable $t=x-m$)} & = & \int_{-\infty}^{+\infty} (t+m)\frac{1}{\sqrt{2 \pi %\sigma^2}}  e^{-\frac{t^2}{\sigma^2}} dt \\
% & = &  \int_{-\infty}^{+\infty} t  \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{\sigma^2}} dt + m %\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{\sigma^2}} dt\\
% & = & 0 + m\\
% \end{eqnarray*}
%car l'int\'egrale d'une fonction impaire int\'egrable est nulle.

%\begin{eqnarray*}
% \Var (X) & = & \int_{-\infty}^{+\infty} x^2  \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}
%e^{-\frac{(x-m)^2}{\sigma^2}} dx - m^2\\

\item On utilise l'in\'egalit\'e de Bieanaym\'e-Tchebichev~: $\p(X\geq 20)\leq \frac{1}{20} \E(X) =\frac{1}{2}$.


\end{enumerate}



\end{document}
