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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  6}}
\centerline{{\bf Calculs d'esp\'erances. Calculs de lois.}}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}


\item Soit $X$ variable al\'eatoire r\'eelle de loi de densit\'e $\1_{x\geq 0} \lambda e^{-\lambda x}$, $\lambda >0$ fix\'e
(loi exponentielle de param\`etre $\lambda$). Calculer $\E(X)$ et $\Var (X)$. Calculer la densit\'e de la loi de  $2X$. Calculer $\E(2X)$, $\Var
(2X)$.

 \item Soit $X$ variable al\'eatoire r\'eelle de loi de densit\'e $\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}
e^{-\frac{(x-m)^2}{2 \sigma^2}}$, $\sigma, m \in \R$ fix\'es (loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$). Soit $U$ variable al\'eatoire r\'eelle de loi de densit\'e $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
e^{-\frac{x^2}{2}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sigma U + m$ a m\^eme loi que $X$.
 \item Calculer $\E(X)$ et $\Var (X)$.
 \item Calculer la densit\'e de la loi de $Y=aX +b$ pour $a $ et $b$ r\'eels.
 \item Calculer $\E(Y)$ et $\Var (Y)$.
\end{enumerate}

\item Soit $X$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\N$ telle que $\forall k \geq 0, \p(X=k)=\frac{\theta^k e^{-\theta}}{k!}$ ($\theta
>0$ fix\'e). Calculer $\E(X)$. Pour $u\geq 0$, calculer $\E(e^{-uX})$.\\
\underline{Rappel~:} $\forall t \in \R$, $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}=e^t$.




\item Soit $(X,Y)$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\R^2$ de loi de densit\'e $\frac{3}{4} \exp\left(  -|x+2y| - |x-y|
\right)$. Calculer la densit\'e de la loi de  $(X+2Y,X-Y)$ puis les densit\'es des lois de $X$ et $Y$. (On pourra utiliser un changement de variable
appropri\'e.)

\item Soit $Y$ variable al\'eatoire r\'eelle de densit\'e $\frac{1}{\pi(1+x^2)}$. Montrer que $1/Y$ a m\^eme loi que $Y$.

\item M. Dupond attend son bus en moyenne 10 min. tous les matins. Donner une majoration de la probabilit\'e que M. Dupond attende son bus plus de 20 min.


\end{enumerate}



\end{document}
