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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE - SOPHIA ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille d'exercices num\'ero  7}}
\centerline{{\bf Ind\'ependance et calculs de lois.}}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}

\item
Soit $f \in C^+_b(\R)$, on calcule~:

\begin{eqnarray*}
\E(f(X)) & = & \int_{\R^2} f(x) \frac{1}{\pi^2}\frac{1}{1+(1+x^2)^2y^2} dx dy\\
\text{ par Fubini-Tonelli} & = & \int_{-\infty}^{+\infty}  f(x)\left( \frac{1}{\pi^2} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+(1+x^2)^2y^2} dy \right)dx\ .
\end{eqnarray*}
Donc la densit\'e de $X$ est la fonction de $x$ suivante~:

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\pi^2} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+(1+x^2)^2y^2} dy & = & \frac{1}{\pi^2} \left[ \frac{1}{1+x^2}\arctan((1+x^2)y)  \right]_{-\infty}^{+\infty}\\
& = & \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}\ .
\end{eqnarray*}

\item Soit $f \in C^+_b(\R)$, on calcule~:

\begin{eqnarray*}
\E(f(X/Y)) & = & \int_{\R^2} f(u/v) \frac{1}{2\pi} e^{-u^2/2} e^{-v^2/2} du dv \\
\end{eqnarray*}

On fait un chamgement de variable en $s=u/v,t=v$, $u=st,v=t$. La matrice jacobienne est~:

$$J(s,t) =
\left[
\begin{array}{ccc}
   t &  0 \\
   s &  1
\end{array}
\right]
$$
de d\'eterminant $t$. On a donc~:

\begin{eqnarray*}
\E(f(X/Y)) & = & \int_{\R^2} \frac{1}{2\pi} f(s) |t| e^{-(st)^2/2}e^{-t^2/2}  ds dt\\
\text{ par Fubini-Tonelli} & = & \int_{-\infty}^{+\infty} f(s) \left(\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(st)^2/2}e^{-t^2/2} |t| dt \right) ds\ .
\end{eqnarray*}

Donc la densit\'e de $X/Y$ est la fonction de $s$ suivante (par parit\'e)~:

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(st)^2/2}e^{-t^2/2} |t| dt & = & \frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} e^{-(st)^2/2}e^{-t^2/2} t dt \\
 (\text{ changement de variable } z=\sqrt{1+s^2}\times t) & = & \frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} e^{-z^2/2} z \frac{1}{1+s^2} dz \\
 & = & \frac{1}{\pi} \left[  -e^{-z^2/2} \frac{1}{1+s^2}  \right]_0^{+\infty}\\
 & = &\frac{1}{\pi} \frac{1}{1+s^2}\ .
\end{eqnarray*}

On calcule~:
\begin{eqnarray*}
\E(|X/Y|) & =  & \int_{-\infty}^{+\infty} |s| \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+s^2} ds\\
\text{ (parit\'e) } & = &  \int_0^{+\infty} s \frac{2}{\pi} \frac{1}{1+s^2} ds\\
& = & +\infty
\end{eqnarray*}
car $\frac{s}{1+s^2} \underset{s\rightarrow +\infty}\sim \frac{1}{s}$ qui n'est pas int\'egrable en $+\infty$.
Donc $X/Y$ n'est pas int\'egrable.

\item Soit $f \in C^+_b(\R^2)$, on calcule~:
\begin{eqnarray*}
\E(f(X+Y,X-Y)) & = & \int_{\R^2} f(x+y,x-y) \frac{1}{2\pi} e^{-x^2/2} e^{-y^2/2} dx dy\\
\text{ (changement de variable d\'ej\`a vu : u=x+y,v=x-y)}& = & \int_{\R^2} \frac{1}{2\pi} f(u,v) e^{-(u+v)^2/8-(u-v)^2/8}\frac{1}{2} du dv\\
& = & \int_{\R^2} f(u,v) e^{-u^2/4}e^{-v^2/4} \frac{1}{4\pi} du dv\\
\end{eqnarray*}
Donc la densit\'e de $(X+Y,X-Y)$ est la fonction $(u,v)\mapsto e^{-u^2/4}e^{-v^2/4} \frac{1}{4\pi}$. C'est un produit d'une fonction de $u$ et d'une fonction de $v$ donc $X+Y$ et $X-Y$ sont ind\'ependantes.

\item Les variables $X$ et $Y$ sont \`a valeurs dans $\N$ donc $X+Y$ aussi. Soit $n\in \N$, calculons~:
\begin{eqnarray*}
\p(X+Y=n) & = & \p( \{X=0 \text{ et } Y=n\} \cup \{X=1 \text{ et } Y=n-1\} \cup \dots \cup  \{X=n \text{ et } Y=0\} )\\
\text{ \'ev\'enements disjoints } & = & \sum_{k=0}^n \p(X=k \text{ et } Y=n-k)\\
\text{ ind\'ependance }& = &\sum_{k=0}^n \p(X=k)\p(Y=n-k)\\
& = & \sum_{k=0}^n \frac{\lam^k e^{-\lam}}{k!} \frac{\mu^{n-k} e^{-\mu}}{(n-k)!} \\
& = & \frac{e^{-\lam-\mu}}{n!}  \sum_{k=0}^n C_n^k \lam^k \mu^{n-k}\\
& = & \frac{e^{-\lam-\mu}}{n!} (\lam+\mu)^n\ .
\end{eqnarray*}
Donc $X+Y\sim \mathcal{P}(\lam+\mu)$.

\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Si $X$ est sym\'etrique~:\\
$\forall \phi \in C^+_b(\R)$,
\begin{eqnarray*}
\E(\phi(X))&=&\E(\phi(-X))\\
\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(t) f(t) dt & = & \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(-t) f(t) dt \\
\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(t) f(t) dt & = & \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(u) f(-u) du \text{ (changement de variable $u=-t$) }\ .
\end{eqnarray*}
Donc $\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(t) (f(t)-f(-t)) dt =0$. Cela est vrai $\forall \phi \in C^+_b(\R)$ donc $f(t)-f(-t)$ est nulle presque partout donc $f(t)=f(-t)$ pour presque tout $t$.
\item Si $f(t)=f(-t)$ pour presque tout $t$:\\
$\forall \phi \in C^+_b(\R)$,
\begin{eqnarray*}
\E(\phi(-X))&=&\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(-t) f(t) dt\\
&=&\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(t)f(-t) dt \text{ (par changement de variable) }\\
&=&\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(t)f(t) dt \text{ (car $f(t)$ et $f(-t)$ co\"incident presque partout) }
\end{eqnarray*}
donc $-X$ est de densit\'e $t\mapsto f(t)$ comme $X$ donc $X$ est sym\'etrique.
\end{itemize}

\item Exemple de loi sym\'etrique~: $X=1$ avec probabilit\'e $1/2$ et $X=-1$ avec probabilit\'e $1/2$.

\item \label{ques}
\begin{itemize}
\item Si $X$ est sym\'etrique~:\\
Pour tout $u$~:
\begin{eqnarray*}
\E(e^{iuX}) &=& \E(e^{-iuX})\\
&=& \overline{\E(e^{iuX})}\ .
\end{eqnarray*}
Donc $\E(e^{iuX})\in \R$.
\item Si $\E(e^{iuX})\in \R$, $\forall u$~:\\
\begin{eqnarray*}
\E(e^{iu(-X)})&=&\overline{\E(e^{iuX})}\\
&=&\E(e^{iuX})\ .
\end{eqnarray*}
Donc $X$ et $-X$ ont m\^eme fonction caract\'eristique donc $X$ et $-X$ ont m\^eme loi donc $X$ est sym\'etrique.
\end{itemize}

\item Soient $A_1,A_2\in \mathcal{B}(\R)$.
\begin{itemize}
\item Si $1\in A_1$ et $-1\in A_1$, $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\p(|X| \in A_2)=\p(\epsilon \in A_1)\p(|X| \in A_2)$.
\item Si $1\in A_1$ et $-1\notin A_1$,  $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\p(\epsilon=1,|X|\in A_2)=\p(X>0,X\in A_2)=\p(X<0,-X\in A_2)$ car $X$ sym\'etrique donc $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\frac{1}{2}(\p(X>0,X\in A_2)+\p(X<0,-X\in A_2))=\p(\epsilon\in A_1)\p(|X|\in A_2)$.
\item Si $1\notin A_1$ et $-1\in A_1$, on montre de m\^eme que $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\p(\epsilon\in A_1)\p(|X|\in A_2)$.
\item Si $1\notin A_1$ et $-1\notin A_1$, $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=0=\p(\epsilon\in A_1)\p(|X|\in A_2)$.
\end{itemize}
On a donc toujours $\p(\epsilon \in A_1,|X| \in A_2)=\p(\epsilon\in A_1)\p(|X|\in A_2)$, donc $\epsilon$ et $|X|$ sont ind\'ependants.

\item On calcule la fonction caract\'eristique~;
\begin{eqnarray*}
\E(e^{iu(Y-Y')})&=&\E(e^{iuY}e^{-iuY'})\\
&=&\E(e^{iuY})\E(e^{-iuY'}) \text{ (par ind\'ependance) }\\
& = &\E(e^{iuY'})\E(e^{-iuY}) \text{ (car $Y$ et $Y'$ ont m\^eme loi)}\\
& = & \E(e^{iu(Y'-Y)})\\
&=&\overline{\E(e^{iu(Y-Y')})}\ .
\end{eqnarray*}
Donc par la question \ref{ques}, $Y-Y'$ est sym\'etrique.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}
