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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  7}}
\centerline{{\bf Ind\'ependance et calculs de lois.}}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}

\item Soit $(X,Y)$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\R^2$   densit\'e $\frac{1}{\pi^2}\frac{1}{1+(1+x^2)^2y^2}$. Calculer la loi de $X$.

\item Soit $(X,Y)$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $\R^2$  de  densit\'e $\frac{1}{2\pi} e^{-x^2/2}e^{-y^2/2}$. Calculer
la loi de $X/Y$. Cette variable est-elle int\'egrable ?

\item Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires ind\'ependantes de loi $\mathcal{N}(0,1)$. Montrer que $X+Y$ et $X-Y$ sont
ind\'ependantes.

\item Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires r\'eelles ind\'ependantes. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de
param\`etre $\lambda$ et que $Y$ suit une loi de Poisson de param\`etre $\mu$. Calculer la loi de $X+Y$.

\item
 $X$ une variable al\'eatoire dans $\R$  est dite sym\'etrique si  $-X$ a m\^eme loi que $X$.
\begin{enumerate}
\item Si $X$ a une  densit\'e $f$, montrer que~: $X$ est sym\'etrique \underline{si et seulement si} $f(x)=f(-x)$ pour presque
tout $x$. \item Donner un exemple de de loi sym\'etrique.
\item Montrer que $X$ est sym\'etrique \underline{si et seulement si} le nombre $\E(e^{iuX})$ est r\'eel $\forall u \in \R$.
\item Soit $X$  variable al\'eatoire dans $\R$  sym\'etrique. On suppose $\p(X=0)=0$. On note~:

$$
\epsilon=\begin{cases}
1 & \text{ si }  X>0\\
0 & \text{ si }  X=0\\
-1 & \text{ si }  X<0\ .
\end{cases}
$$
Montrer que $\epsilon$ et $|X|$ sont ind\'ependantes.
\item Si $Y$ et $Y'$ sont deux variables al\'eatoires r\'eelles de m\^eme loi et ind\'ependantes,
montrer que $Y-Y'$ est sym\'etrique.
\end{enumerate}




\end{enumerate}



\end{document}
