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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE-SOPHIA ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille d'exercices num\'ero  8}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}

%\item
%\begin{eqnarray*}
%\p(X>t_1+t_2|X>t_1) & = & \frac{\p(\{X>t_1+t_2\}\cap \{X>t_1\})}{\p(X>t_1)}\\
%\text{ (car $ \{X>t_1+t_2\}\subset \{X>t_1\}$) } & = & \frac{\p(X>t_1+t_2)}{\p(X>t_1)}\\
%& = & e^{-\lam(t_1+t_2)}e^{\lam t_1}=e^{-\lam t_2}=\p(X>t_2)
%\end{eqnarray*}
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
F(t)=\p(\sup(U,X) \leq t) & = & \p(U\leq t, X\leq t)\\
\text{ (ind\'ependance) } & = & \p(U\leq t)\p(X\leq t)\\
& = &
 \begin{cases}
0 & \text{ si } t\leq 0\\
t(1-e^{-t}) & \text{ si } t\in ]0,1[\\
1-e^{-t} & \text{ si } t>1
 \end{cases}
\end{eqnarray*}
\item On remarque que $F$ est continue et qu'elle a un point anguleux en  $1$.
\end{enumerate}



\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
|\E(f(X_n))-\E(f(X))| & \leq & \E(|f(X_n)-f(X)|)\\
& \leq & C \E(\inf(1,|X_n-X|))
\end{eqnarray*}
Pour p.t. $\omega$, $\inf(1,|X_n(\omega)-X(\omega)|) \convn 0$ et $\forall \omega$, $\inf(1,|X_n(\omega)-X(\omega)|)\leq 1$. Donc par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, $\E(\inf(1,|X_n-X|) \convn 0$. Donc $|\E(f(X_n))-\E(f(X))|  \convn 0$.
\item
$
\p(|f(X_n)-f(X)|\geq \epsilon)  \leq \frac{1}{\epsilon} \E(|f(X_n)-f(X)|)
$ (in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebycheff)
\end{enumerate}


\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
\E(N) & = &  \sum_{n\geq 0} n \frac{(\lam T)^ne^{-\lam T}}{n!}\\
 & = &  \sum_{n\geq 1} n \frac{(\lam T)^ne^{-\lam T}}{n!}\\
 & = &  (\lam T)e^{-\lam T}\sum_{k\geq 0} \frac{(\lam T)^k}{k!}\\
 & =& \lam T
\end{eqnarray*}

\item
\begin{eqnarray*}
\p(N\geq m+p) & = & \p(\text{ on a grill\'e plus de $m+p$ ampoules dans $[0,T]$})\\
& = & \p(\text{les $m+p$ premi\`eres ampoules ont d\'ej\`a grill\'e quand on arrive en $T$   })\\
& = & \p(X_1+\dots+X_{m+p}<T)
\end{eqnarray*}

\item On remarque que $\Var(X_1)=1/\lam^2$, $\E(X_1)=1/\lam$.
\begin{eqnarray*}
\p(N\geq m+p) & = & \p(X_1+\dots+X_{m+p}\leq T)\\
& = & \p\left( \frac{X_1-\E(X_1)+\dots+X_{m-1+p}-\E(X_{m+p})}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }< \frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }\right)\\
\text{ (TCL) } & \approx & \int_{-\infty}^{ \frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }} \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\ .
\end{eqnarray*}
On calcule $\frac{T- (m-1+p)/\lam}{ (1/\lam) \sqrt{ m-1+p} } = -1  $. On a par parit\'e~:
\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt & = & \int_1^{+\infty} \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\\
& = & 1 - \int_{-\infty}^1 \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\\
\text{ (d'apr\`es la table) } & = & 1-0,8413 = 0.1587\ .
\end{eqnarray*}

\item Ici, on cherche $p$ pour que $\p(N\geq m+p) \leq 0.05$. Comme avant~:
\begin{eqnarray*}
\p(N\geq m+p) &\underset{\text{TCL}}{\approx} & \int_{-\infty}^{ \frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }} \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\\
& = & 1- \int_{-\infty}^{-\frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }}\frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2 \pi}} dt\ .
\end{eqnarray*}
On regarde la table et on voit qu'il faut prendre $-\frac{T- (m+p)/\lam}{ (1/\lam^2) \sqrt{ m+p} }\geq 1.65$. Une rapide \'etude de fonction montre qu'il faut prendre $m+p\geq 29$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
