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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE-SOPHIA ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  8}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}

%\item Soit $X$ de loi $\mathcal{E}(\lambda)$. Soient $t_1,t_2>0$. Montrer que $\p(X>t_1+t_2|X>t_1)=\p(X>t_2)$.

\item Soient $U$ de loi uniforme sur $[0,1]$ et $X$ de loi exponentielle de param\`etre $1$ deux variables al\'eatoires r\'eelles ind\'ependantes.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\p(\sup(U,X) \leq t)$ dans les 3 cas suivants~: $t<0$, $t\in [0,1]$, $t>1$.
\item Dessiner la fonction de r\'epartition  de $\sup(U,X)$.
\end{enumerate}

\item Soit $f:\R\rightarrow \R$ telle que $\forall x,y$, $|f(x)-f(y)|\leq C\inf(1,|x-y|)$ pour une certaine constante $C$.
\begin{enumerate}
\item Si $X_n \convps X$ (rappel~: pour p.t. $\omega$, $X_n(\omega) \convn X(\omega)$), montrer que $\E(f(X))-\E(f(X_n)) \convn 0$.
\item Soit $\epsilon>0$, toujours sous l'hypoth\`ese $X_n \convps X$, d\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $\p(|f(X_n)-f(X)|\geq \epsilon)\convn 0$.
\end{enumerate}

\item On ach\`ete un stock d'ampoules pour un lampadaire. Les ampoules ont une dur\'ee de vie de loi $\mathcal{E}(\lambda)$. La premi\`ere ampoule dure un temps $X_1$, on la remplace imm\'ediatement et la deuxi\`eme qui dure un temps $X_2$ \dots Soit $T>0$. On admet que le nombre d'ampoules $N$ grill\'ees pendant le temps $T$ est tel que $N$ est de loi $\mathcal{P}(\lambda T)$. On suppose que $\lam T \in \N$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $m=\E(N)$.
\item Soit $p\in \N^*$. Montrer que $\p(N\geq m+p)=\p(X_1+\dots+X_{m+p}\leq T)$.
\item On suppose maintenant que $\lambda=1$, $T=20$, $p=5$. Donner une valeur num\'erique approch\'ee de $\p(N\geq m+p)$ \`a l'aide de la table jointe.
\item Avec les m\^emes valeurs num\'eriques que ci-dessus, combien d'ampoules faut-il acheter au minimum pour que $\p(\text{se retrouver \`a court d'ampoules avant le temps $T$})<0.05$ ?
\end{enumerate}


\item Soit $p\in [0,1]$. Soit $A_0$ le carr\'e $[0,1]^2 \subset \R^2$. L'ensemble $A_1$ est un ensemble al\'eatoire construit de la mani\`ere suivante~: on d\'ecoupe $A_0$ en $9$ carr\'es, chaque petit carr\'e appartient \`a $A_1$ avec probabilit\'e $p$ (ind\'ependamment des autres). On recommence l'op\'eration sur les carr\'es de $A_1$ pour former $A_2$ (de mani\`ere ind\'ependante de ce qui s'est pass\'e avant) et ainsi de suite, on obtient des ensembles $A_1,A_2,A_3, \dots$. Si $A_n=\emptyset$  alors $\forall k\geq n$, $A_k=\emptyset$.
La figure ci-dessous repr\'esente une r\'ealisation de $A_1$ et $A_2$ (hachur\'es) pour une certaine valeur de $p$.

 \hspace{1cm}

\begin{figure}[htb]
  \label{fig:scaleY}
  \centering
  \framebox{
    \resizebox{2.5in}{!}{
      \includegraphics{dessin1.eps}
    }
  }
  %\caption[Texte pour la table des figures]{
     %      Figure g��er avec Corel Draw
        %   avec une sortie en eps}
\end{figure}



\begin{enumerate}
\item Pout tout $n$, on note $Z_n$ le nombre de carr\'es de c\^ot\'e $1/3^n$ formant $A_n$. Soit $n\geq 1$, montrer que $\forall r \in [0,1]$, $g_{Z_n}(r)=g_{Z_n-1}(f(r))$ o\`u $\forall r \in [0,1], f(r)=(pr+1-p)^9$.
\item En d\'eduire que $g_{Z_n}(r)=f ^{\circ n}(r)$ ("$\circ n$" veut dire que l'on compose $n$ fois).
\item Montrer que $f$ est convexe (c'est \`a dire que sa d\'eriv\'ee est une fonction croissante).
\item Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f'(1)$. Faire un dessin de $f$.
\item On suppose que $p\leq 1/9$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\forall r\in [0,1]$, $g_{Z_n}(r) \rightarrow 1$.
\item En d\'eduire que $\p(Z_n=0)\convn 1$.
\item En d\'eduire que $Z_n\convps 0$. (On pourra consid\'erer l'\'ev\'enement $\{\omega:Z_n(\omega)\convn 0\}$ comme une r\'eunion croissante d'\'ev\'enements.)
\end{enumerate}
\item Pour tout $n$, soit $Y_n$ l'aire de $A_n$. Montrer en utilisant les esp\'erances conditionelles que $\E(Y_n)=p^n$. En d\'eduire que $Y_n \convps 0$.
\end{enumerate}



\end{enumerate}



\end{document}
