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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE-SOPHIA ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  9}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}


\item Soient $1\leq p \leq q$. Soit $X$ une variable al\'eatoire r\'eelle (v.a.r.).
 En utilisant l'in\'egalit\'e de Jensen (pour la fonction $t  \mapsto |t|^{q/p}$), montrer que $\E(|X|^p)^{1/p}\leq \E(|X|^q)^{1/q}$. (Remarque : donc la convergence $L^q$ implique la convergence $L^p$.)

\item Soient $X_1,X_2,\dots$ ind\'ependants et de m\^eme loi $\mathcal{B}(p)$ ($0<p<1$). On rappelle que $Y_n=X_1+\dots+X_n$ est de loi $\mathcal{B}(n,p)$ et que $\E(X_1)=p$ $\Var(X_1)=p(1-p)$. Soient $a,b\in\R$ et $a_n=(\sqrt{p(1-p)n})a+np$, $b_n=(\sqrt{p(1-p)n})b+np$. En utilisant le th\'eor\`eme central-limite, montrer que

$$
\sum_{k \in \N, a_n\leq k \leq \inf(b_n,n)} C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \convn \int_a^b \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dt.
$$

\item Soit $X$ de loi $\mathcal{E}(\lambda)$. Soient $t_1,t_2>0$. Montrer que $\p(X>t_1+t_2|X>t_1)=\p(X>t_2)$.



\end{enumerate}

\end{document}
