MIAS I, 12/11

• Montrer que la fonction $f$ est continue.
  • Méthode : y'a des théorèmes pour les fonctions de base, puis des théorèmes pour les opérations, et un dernier théorème pour la composition. Autrement dit, il faut reconnaître une fonction de base, une opération, une composition.
• Montrer que la fonction $f$ définie sur $I$ est discontinue en $a$.
  • Méthode : exhiber une suite $u_n$ tendant vers $a$ dans $I$ et telle que $f(u_n)$ tende vers un nombre différent de $f(a)$ ou vers l'infini.
• Montrer que la fonction $f$ définie sur $I-{a}$ n'a pas de prolongement continu en $a$.
  • Méthode : exhiber une suite $u_n$ tendant vers $a$ dans $I-{a}$ et telle que $f(u_n)$ tende vers l'infini; ou exhiber deux suites $u_n$ et $v_n$ tendant vers $a$ dans $I-{a}$ et telles que $f(u_n)$ et $f(v_n)$ tendent vers deux nombres différents.

• Définition: $f$ est continue en $a$ ($a$ dans $DD(f)$); $f$ est continue.
• Proposition: Les fonctions standard (avec $|x|$ et $x^a$ mais sans $0^x$ ni $[x]$) sont continues.
• Proposition: Les fonctions dérivables sont continues.
• Proposition: La somme, le produit, le quotient de deux fonctions continues est continue.
• Proposition: La composée de deux fonctions continues est continue.
• Proposition: Si une fonction est continue et strictement monotone, elle admet sur son image une fonction réciproque continue et strictement monotone.