MIAS I, 1/10

Résumé: cours du 1/10

Nombres réels.

Méthode: simplifier l'inéquation via une fonction croissante. Si $f$ est strictement croissante sur $I$, et $x,y$ sont dans $I$, alors $x>y$ <=>$f(x) > f(y)$. Exemple-phare pour se débarrasser des radicaux: $f$ est la fonction carré, $I$ est $R₊$, et donc il faut vérifier que $x$ et $y$ sont positifs.

Majorer grossièrement $Exp$. C'est trouver un nombre $M$ vérifiant $Exp =< M$. S'il y en a un, il y en a plein; on ne dit donc pas LE majorant de $Exp$ mais UN majorant de $Exp$. Grossièrement, c'est pour dire qu'on ne cherche pas du tout le meilleur $M$ possible.

Pour majorer une somme on majore chacun des termes: si $Exp1$ est majoré par $M1$ et $Exp2$ par $M2$ alors $Exp1+Exp2$ est majoré par $M1+M2$.
Pour majorer un produit d'expressions POSITIVES, on majore chacun des facteurs: si $Exp1>0$ est majoré par $M1$ et $Exp2>0$ par $M2$ alors $Exp1.Exp2$ est majoré par $M1.M2$.
Pour majorer un quotient d'expressions POSITIVES, on majore le numérateur et on MINORE le dénominateur: si $Exp1>0$ est majoré par $M1$ et $Exp2>0$ est minoré par $m2>0$ alors $Exp1/Exp2$ est majoré par $M1/m2$.

Minorer $Exp$, c'est pareil dans l'autre sens, c'est trouver $m$ avec $m =< Exp$.

On a par exemple: pour minorer un quotient d'expressions POSITIVES, on minore le numérateur et on majore le dénominateur: si $Exp1>0$ est minoré par $m1>0$ et $Exp2>0$ est majoré par $m2$ alors $Exp1/Exp2$ est minoré par $m1/M2$.

Endacrer finement $Exp$. Encadrer, c'est majorer et minorer. Finement, c'esst pour dire qu'on cherche les meilleurs majorant et minorant possibles.

Résoudre $Eq$. Il faut savoir qui est l'inconnue (le plus souvent elle s'appelle $x$) et où elle habite (souvent un intervalle $I$). Il faut aussi être au courant s'il y a des paramètres (souvent le paramètre s'appelle $m$).

Méthode: simplifier l'inéquation via une fonction croissante. Si $f$ est strictement croissante sur $I$, et $x,y$ sont dans $I$, alors $x>=y$ <=>$f(x) >= f(y)$. Exemple-phare pour se débarrasser des radicaux: $f$ est la fonction carré, $I$ est $R₊$, et donc il faut vérifier que $x$ et $y$ sont positifs.
Méthode pour $ax+b>=0$. Traiter à part $a=0$.
Méthode pour $ax²+bx+c>=0$. Traiter à part $a=0$. Puis distinguer deux cas selon le signe de Delta.

Résoudre $Ineq$.Il faut savoir qui est l'inconnue (le plus souvent elle s'appelle $x$) et préciser où elle habite (souvent un intervalle $I$). Il faut aussi être au courant s'il y a des paramètres (souvent le paramètre s'appelle $m$).

Méthode: simplifier l'équation via une fonction croissante. Si $f$ est strictement croissante sur $I$, et $x,y$ sont dans $I$, alors $x > y$ <=>$f(x) > f(y)$. Exemple-phare pour se débarrasser des radicaux: $f$ est la fonction carré, $I$ est $R₊$, et donc il faut vérifier que $x$ et $y$ sont positifs.
Méthode pour $ax+b > 0$. Traiter à part $a=0$.
Méthode pour $ax²+bx+c > 0$. Traiter à part $a=0$. Puis distinguer trois cas selon le signe de Delta.