MIAS I, 5/11
Résumé: cours du 5/11
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Fonctions réciproques.
-
Calculer la fonction réciproque de $f: I -> R$.
- Méthode : déterminer l'image $J$ de $f$; puis, pour $x$ dans
$I$ et $y$ dans $J$, tprouver une formule $x=Expr(y)$ équivalente à
$y=f(x)$, et proclamer que la fonction réciproque de $f$ est
définie pour $y$ dans $J$ par $f-1(y) =Expr(y)$.
- Montrer que $f: I -> R$
admet une fonction réciproque dont on précisera le domaine de
définition.
- Méthode qui marche pas souvent:
calculer cette fonction comme expliqué plus haut.
- Méthode qui marche souvent: montrer que $f$ est dérivable et strictement
monotone sur $I$, puis calculer l'image $J$ de $f$ et proclamer que $f$ admet
une fonction réciproque définie sur $J$.
- Montrer que $f: I -> R$
n'admet pas de fonction réciproque.
- Méthode piétonne:
Trouver $x$ et $x'$ distincts dans $I$ avec $f(x)=f(x')$.
- Méthode: vérifier que $I$ est un intervalle, que $f$
y est dérivable (continue suffit) mais pas strictement monotone.
Pour fayoter, vous pouvez ajouter que les
restrictions de $f$ à ses
intervalles de stricte monotonie admettent, elles, des
fonctions réciproques.
-
Calculer la dérivée en $b$ de la fonction réciproque
de $f: I -> R$.
- Méthode: trouver $b$ avec $f(a)=b$, calculer $f'(a)$, constater que
le résultat est non nul et proclamer
que la dérivée en $b$ de $f-1$
est $1/f'(a)$.
-
Calculer $f-1(f(x))$
- Méthode: si $f-1$ est bien la fonction
réciproque de $f$, ça fait $x$.
- Méthode: le piège, c'est quand $f-1$ n'est pas la
fonction
réciproque de $f$, mais celle de $f| I$; il faut alors
rendre l'unique $x'$ de $I$ vérifiant $f(x')=f(x)$.
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Andre.HIRSCHOWITZ
Last modified: Oct 9