Nouvelles méthodes.
-
Montrer que la fonction $f$ est continue en $a$.
- Méthode : il suffit de montrer que $f$ en $a$ est combinaison de fonctions
de base continues aux points concernés.
-
Montrer que la fonction $f$ définie sur $I$ est discontinue en $a$.
- Méthode : il suffit d'exhiber une suite $un$ tendant vers $a$ dans
$I$ et telle que $f(un)$ tende vers un nombre différent de
$f(a)$ ou diverge (par exemple tende vers l'infini).
-
Montrer que la fonction $f$ définie sur $I-{a}$ n'a pas de prolongement
continu en $a$.
- Méthode : il suffit d'exhiber une suite $un$ tendant vers $a$ dans
$I-{a}$ et telle que
$f(un)$ diverge; ou d'exhiber deux suites $un$
et $vn$
tendant vers $a$ dans
$I-{a}$ avec $lim f(un)<> lim f(vn)$.
-
Montrer que la fonction $f$ définie sur $I-{a}$ a prolongement
continu en $a$.
- Méthode : il suffit de montrer que $f(x)$ converge quand $x$
tend vers $a$ dans $I-{a}$ (pour faire ça, voir les DL).
Nouvelles ressources.
- Introductions
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Définition: $f$ est continue en $a$ (pour $a$ dans $DD(f)$) si $f(x)$ converge
(c'est forcément vers $f(a)$) quand $x$ tend vers $a$ en restant dans $DD(f)$; $f$ est continue
si elle l'est en tout point de son DD.
- Proposition: Les fonctions standard (avec $|x|$ et
$xa$ mais sans $0x$
ni $[x]$)
sont continues.
- Proposition: Les fonctions dérivables sont continues.
- Propagations.
- Proposition: La somme, le produit, le quotient de deux fonctions continues
(en $a$)
est continue (en $a$).
- Proposition: La composée de deux fonctions continues est continue.
Plus précisément si $f$ est continue en $a$ et $g$ en $f(a)$ alors
$gof$ est continue en $a$.
- Eliminations (culturelles).
- Proposition (ValInt): l'image d'une fonction continue dont le DD est un intervalle
est aussi un intervalle.
- Proposition: Si une fonction dont le DD est un intervalle est
continue et strictement monotone, sa fonction
réciproque est aussi continue (et strictement monotone).
- Proposition : Le max et le min d'une fonction continue dont
le DD est fermé borné sont bien définis.
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Andre.HIRSCHOWITZ
Last modified: Oct 9