Methodo, 14/01/02
Résumé de cours (virtuel)
sur l'indéfini
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L'indéfini
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Pour parler des expressions indéfinies (qu'on peut appeler erreurs),
on ajoute à notre ensemble favori $R$ une (non-)valeur notée $\perp$
ou parfois $\Omega$ et appelée $indéfini$ ou $error$ ou $bottom$.
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Cette construction a les avantages suivants.
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Elle permet de refléter très fidèlement la pratique élémentaire des fonctions
réelles: on peut donner à toutes les fonctions de variable réelle le type
$R_\perp ->R_\perp$, quelque soit leur "domaine de définition". Le statut
de ce domaine de définition s'en trouve clarifié, puisque c'est l'ensemble des
$x$ (disons de $R$) où $f(x)$ n'est pas indéfini (et on a très envie de dire
"est défini" au lieu de "n'est pas indéfini"; et on peut certainement dire
"est bien défini").
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Elle permet de clarifier le statut de $ou_sinon$ et de $et_alors$ et de les
présenter d'une façon peut-être moins abrupte.
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Elle permet d'assouplir la discipline insupportable qui nous contraint à ne
parler que d'objets bien définis. Quand on calcule une limite, une dérivée,
une intégrale, c'est seulement à la fin du calcul qu'on sait, dans les bons
cas, que l'objet calculé existe, et c'est le calcul qui le prouve. Avec le
nouveau point de vue, on peut toujours parler de $lim u$, qui "vaut"
(ou égale) $\perp$ si $u$ est divergente.
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Cette construction vient avec les deux notions nouvelles que voici.
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Les nouveaux ensembles sont équipés de la relation "moins défini que". Entre
deux valeurs bien définies distinctes (par exemple $1$ et $2$) aucune n'est
moins définie que l'autre, mais $\perp$ est moins défini que toute valeur.
C'est une relation d'ordre, mais n'insistons pas là-dessus.
Un avantage de cette relation est qu'elle permet de formuler la légitimité des
calculs du genre évoqué plus haut. Par exemple la formule sur le logarithme du
produit
devient:
la somme des logarithmes de deux nombres est moins définie que le logarithme du
produit.
La notation standard pour cette relation est le signe d'inégalité incurvé
(en cusp), ou rectangulé (un carré privé d'un coté latéral), ce dernier
rappelant peut-être mieux l'égalité que la nouvelle relation approche.
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Pour les nouvelles applications, on a la notion de pertinence
(le terme officiel est "croissance" ou plutôt "continuité", mais dans notre
contexte élémentaire, la continuité n'apparaît pas, et pour nos étudiants,
une deuxième relation d'ordre risque de créer de la confusion).
Pour nous, la pertinence de $f$ se réduit au fait que si $f(\perp)$ est bien
défini (ie différent de $\perp$), alors $f$ est constante.
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Quand l'extension des ressources ne marche pas bien, c'est pas grave, on
dispose toujours des anciennes ressources.
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Andre.HIRSCHOWITZ
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modified: Oct 1