Methodo, 22/10
Résumé de cours (virtuel)
sur les variables
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Variables
-
Distinguer variables libres et variables liées.
-
Les expressions mathématiques, qu'elles représentent des nombres,
des énoncés ou des objets plus élaborés (fonctions,
ensembles), peuvent comporter des variables. Ces variables sont introduites dans
ces expressions par certaines constructions, dites liantes, parmi lesquelles
$quelque_soit$, $il_existe$, $Sigma$ et $Pi$ pour la somme et le produit
multiples, $>-->$ pour les fonctions. Chacune de ces constructions réserve
une place pour déclarer/introduire/présenter une variable par son
nom, et une autre place pour une expression dans laquelle ce nom peut
réapparaître autant de fois qu'on veut. On dit des variables
apparaissant dans cette expression qu'elles sont liées. C'est bien
l'apparition ( on dit plutôt occurrence) de la variable qui est
liée, et non la variable elle-même;
autrement dit, c'est dans cette expression que cette variable est liée,
et non dans l'absolu.
- La première qualité qu'on attend d'une expression
mathématique est qu'elle soit bien définie, c'est-à-dire
que nos conventions lui attribuent un sens
(entier,
énoncé, ... etc). Plus précisément, nous faisons des
conventions globales (permanentes) comme celles qui définissent par
exemple $+$ ou $=$ ou encore $ou$. Et nous faisons aussi des conventions
locales. Ces conventions locales déterminent le contexte dans lequel on
travaille. Le contexte sert de registre des variables courantes, avec pour
chacune son domaine de variation, plus éventuellement des contraintes
supplémentaires.
Ainsi, quand on dit "Considérons trois entiers $a,b,c$ vérifiant
$b>a>0$ et $a5 +b5=c5$", on ajoute au contexte
trois
variables $a, b, c$ de type entier, plus les deux énoncés
indiqués. En général, la question du sens prend donc
la forme suivante: dans tel
contexte, que représente telle expression?
- Au final, si une variable apparaît dans l'expression $Exp$, soit elle y
est introduite par une construction liante, auquel cas on dit qu'elle est
liée dans $Exp$, soit elle figure dans le contexte, auquel cas on dit
qu'elle est
libre dans $Exp$.
- On peut dire que les variables libres représentent quelque chose,
tandis que les variables liées ne représentent rien (on dit aussi
qu'elles sont muettes). Concrètement, si on demande par exemple de
calculer
${x:
R| (m2 -1)x2 +3x +m =1}$, on attend une
réponse qui dépend de $m$ (qui est libre) et surtout pas de $x$,
qui ne représente rien).
- La distinction entre variables libres et liées est facile dans les
expressions formelles, et difficile dans les expressions informelles (exemple:
"Résoudre $(m2 -1)x2 +3x +m =1$", où la
différence de nature entre $x$ et $m$ est totalement implicite).
- Dans une expression, on peut (et parfois on doit, pour éviter des
confusions) renommer les variables liées sans changer le sens de
l'expression. Tandis qu'on ne peut pas renommer les variables libres (sans
modifier le contexte).
-
Recenser les ressources
- Pour former nos expressions, nous utilisons des variables liées
introduites par nos constructions liantes, des variables libres
déclarées dans
notre contexte, et les ressources assurées par nos conventions globales
(définitions). Chacune de ces ressources a un type, qui encode la nature
des arguments attendus par cette ressource, et la nature de l'expression qu'elle
produit. On écrit par exemple:
$+ : RxR -> R$ pour dire que la
construction $plus$ attend deux arguments réels et fabrique/retourne un
réel. Le type n'est qu'un vulgaire ensemble; c'est pour des questions
d'euphonie qu'on préfère dire "$+$ est de type
$RxR -> R$" que dire "$+$ appartient
à l'ensemble $RxR -> R$".
-
Reconstituer le contexte
- Il s'agit donc de recenser les variables libres, de proposer un type
pour chacune d'elles, et de formuler les hypothèses
supplémentaires qui assurent que l'expression proposée a un sens.
-
Quantifier
- A tout énoncé $E$ valide dans un contexte $C$
constitué par
exemple d'une variable $x$ réelle, et d'une variable $y$ complexe
assujetties
à la contrainte $H$ (portant sur $x$ et $y$) correspond
l'énoncé "clos" (i.e. sans contexte): pour tout $x$ dans
$R$
et tout $y$ dans $C$, $H$ implique $E$; qui est vrai ssi $E$ est
vrai dans le contexte $C$. On demande ici de formuler cet énoncé
clos, et le plus dur est fait quand on a correctement reconstitué le
contexte.
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Andre.HIRSCHOWITZ
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modified: Oct 1