Résumé:
Dans une première partie, nous avons étudié des problèmes de traitement d'images. Nous avons utilisé l'analyse asymptotique topologique pour la détection des contours d'une image. Cela permet de considérer alors plusieurs applications: restauration/débruitage, classification. L'inpainting est traité d'une façon un peu différente, et la double donnée Dirichlet et Neumann sur le bord du domaine caché permet de reconstruire les contours dans la partie cachée de l'image. Enfin la segmentation peut être traitée comme limite de la classification, en s'appuyant sur des résultats d'analycité de la solution quand on fait tendre un paramètre vers 0
. La rapidité de cette méthode permet de traiter ces différents cas en temps réel, y compris pour des films.
Dans une seconde partie, nous avons abordé l'assimilation de données, le but étant d'identifier la condition initiale d'un système à partir d'observations partielles. Nous avons défini un nouvel algorithme, basé sur le ``nudging'' (méthode de relaxation consistant à rajouter un terme de rappel vers les observations directement dans l'équation afin de tirer la solution vers les observations). En considérant itérativement et alternativement des résolutions du système direct et rétrograde en temps, avec à chaque fois un terme de rappel vers les observations, on peut améliorer l'estimation de la condition initiale. Là encore, la méthode est performante et extrêmement rapide, comme de nombreux tests numériques l'ont démontré. En parallèle, plusieurs résultats théoriques de convergence ont été obtenus dans des cas simplifiés.
Enfin, une étude a été réalisée à l'interface de ces deux thématiques: l'extraction de données, et plus précisement de champs de vitesses, à partir de séquences d'images météorologiques ou océanographiques. L'idée consiste à chercher un champ de vitesse (ou déplacement) qui transporte une image sur la suivante. L'approche considérée est variationnelle, et basée sur la minimisation d'une fonctionnelle non linéaire dépendant du champ de vitesse. Une approche multi-grille permet d'obtenir très rapidement des champs de vitesse. Ces vitesses peuvent alors être assimilées directement dans un système d'assimilation.
Summary:
In a first chapter, we consider image processing problems. We applied the topological asymptotic analysis to the edge detection problem. Once the edges are identified, one can easily consider the restoration/enhancement and classification problems. The inpainting problem has also been considered, but from a slightly different point of view
: given the Dirichlet and Neumann conditions on the boundary of the unknown part of the image, the topological gradient allows one to retrieve the missing edges of the hidden zone, and then to reconstruct an unblurred image. Finally, the segmentation problem has been considered with the same mathematical tools, using the analycity of the enhanced solution with respect to a small parameter. All these algorithms are extremely efficient and fast, and allows us to process images and even movies in real time.
The second chapter is devoted to data assimilation. We developed a new algorithm: the Back and Forth Nudging (BFN). The standard nudging technique consists in adding to the equations of the model a relaxation term that is supposed to force the observations to the model. The BFN algorithm consists in repeatedly performing forward and backward integrations of the model with relaxation (or nudging) terms, using opposite signs in the direct and inverse integrations, so as to make the backward evolution numerically stable. Extensive numerical experiments have been performed on several simplified geophysical models, showing the efficiency of this easy-to-implement and fast approach. Moreover, several theoretical results of convergence have been obtained in simple situations.
Finally, we also worked at the interface of these two topics and considered image data assimilation. The idea is to extract velocity fields from a sequence of oceanographic or meteorological images. A variational approach has been proposed, in which the minimization of a nonlinear cost function provides a displacement (or velocity) field between two images. A multi-grid approach and an appropriate minimization process, allow us to extract the information very quickly. These ``pseudo''-observations can then be directly assimilated as the velocity is usually a model variable.
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