Présentation de la méthode

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Présentation de la méthode

Soit $\Omega$ un ouvert borné régulier de $\mathbb{R}^2$ (ou $\mathbb{R}^3$ ). On considère une équation aux dérivées partielles définie sur $\Omega$ , que l'on peut représenter sous forme variationnelle:

$\displaystyle \textrm{trouver } u\in\mathcal{V} \textrm{ tel que } a(u,w) = l(w), \forall w\in \mathcal{V},$

(2.1)

où $\mathcal{V}$ représente un espace de Hilbert sur $\Omega$ , généralement $H^1(\Omega)$ ,

est une forme bilinéaire coercive continue sur $\mathcal{V}$ , et

est une forme linéaire continue sur $\mathcal{V}$ . On considère ensuite une fonction coût

mesurant un critère sur la solution

de (2.1): $J(\Omega,u)$ .

Considérons maintenant une perturbation du domaine, par exemple représentée par l'insertion d'une fissure de petite taille $\sigma_\rho = x_0+\rho \sigma(n)$ , où $x_0\in\Omega$ représente le point d'insertion de la fissure, $\sigma(n)$ est une fissure plane de normale unitaire contenant l'origine du domaine. Enfin $\rho>0$ représente la taille de la perturbation, qui sera supposée petite. En notant $\Omega_\rho = \Omega\backslash\sigma_\rho$ le domaine ainsi perturbé, nous pouvons alors chercher la solution de l'EDP sur ce nouveau domaine:

$\displaystyle \textrm{trouver } u_\rho\in\mathcal{V_\rho} \textrm{ tel que } a_\rho(u_\rho,w) = l_\rho(w), \forall w\in \mathcal{V_\rho},$

(2.2)

où $\mathcal{V}_\rho$ , $a_\rho$ et $l_\rho$ représentent respectivement l'espace de Hilbert $\mathcal{V}$ restreint à $\Omega_\rho$ , et les formes bilinéaire et linéaire perturbées.

La fonction coût peut alors être réécrite comme une fonction de $\rho$ uniquement, en considérant la carte suivante:

$% latex2html id marker 5529 $\displaystyle j: \rho \mapsto \Omega_\rho \mapsto ... ...solution de (\ref{eq:inpainting:eq2}) } \mapsto j(\rho):=J(\Omega_\rho,u_\rho).$$

(2.3)

La théorie de l'analyse asymptotique topologique donne alors un développement asymptotique de la fonctionnelle lorsque $\rho$ tend vers 0 :

$\displaystyle j(\rho) - j(0) = f(\rho) G(x_0) + o(f(\rho)),$

(2.4)

où $f(\rho)$ est une fonction positive tendant vers 0 lorsque $\rho$ tend vers 0 , et

est appelé le gradient topologique au point

d'insertion de la perturbation [84].

La minimisation du critère consiste alors à perturber le domaine aux endroits où le gradient topologique est le plus négatif, en s'appuyant sur le développement asymptotique (2.4).

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