Distribution d'une loi de va à support fini

f4 - ex.1

p=[1/4,1/8,1/8,1/3,0,1/6]d=[[k,p[k]] for k in range(len(p))] #encodage de la distributionprint "d=",dshow(transpose(matrix(d)))#print "(test) somme(d[1,:])=",sum(d[1,:])

d= [[0, 1/4], [1, 1/8], [2, 1/8], [3, 1/3], [4, 0], [5, 1/6]]

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} \end{array}\right)$

Dessin

def barplot(d,t=1):    return(sum([line([(d[k][0],0),(d[k][0],d[k][1])],thickness=t,color='black') for k in range(len(d))]))

barplot(d,3)

Espérance, variance, écart-type d'une va de distribution à support fini

def M1(d):    return(sum([d[k][0]*d[k][1] for k in range(len(d))]))def M2(d):    return(sum([d[k][0]^2*d[k][1] for k in range(len(d))]))

m=M1(d);s=sqrt(M2(d)-M1(d)^2)print "E(d)=",m,"=",m.n(digits=3)print "sigma(d)=",s,"=",s.n(digits=3)

E(d)= 53/24 = 2.21 sigma(d)= 1/24*sqrt(1679) = 1.71

Simulation d'une va de loi donnée

transpose(matrix(d))[1,:].list()

[1/4, 1/8, 1/8, 1/3, 0, 1/6]

X = GeneralDiscreteDistribution(transpose(matrix(d))[1,:].list())

X.get_random_element()

f3-ex6

loi de max(A) où A est un ensemble de 10 éléments choisis au hasard dans {1,...,100}.

dmax=[[k,binomial(k-1,9)/binomial(100,10)] for k in range(10,101)]#show(matrix(dmax).transpose())

barplot(dmax)

médiane ?

k=len(dmax)-1;c=dmax[k][1]while c<.5:    k=k-1;c=c+dmax[k][1]med=dmax[k][0]print "med=", medprint "P(X>=med)=", c.n(digits=3)print "P(X=med)=", dmax[k][1].n(digits=3)

med= 94 P(X>=med)= 0.533 P(X=med)= 0.0556

barplot(dmax[50:],3)+line([(med,0),(med,.1)])

boîte à moustache ?

f3-ex7

d1=[[k,sum([binomial(i+1,k)*1/2^i for i in range(6)])/6] for k in range(7)]print "Valeur(s) modale(s) ?\n"barplot(d1,3)

Valeur(s) modale(s) ?

Loi binomiale

n=10;p=1/3b=[[k,binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)] for k in range(n+1)]#transpose(matrix(b)).n(digits=2)print "E(b)=",M1(b),"=",M1(b).n(digits=2)print "V(b)",M2(b)-M1(b)^2print "sigma(b)=",sqrt(M2(b)-M1(b)^2).n(digits=2)print "La distribution est elle symétrique par rapport à sa valeur modale ?\n"barplot(b,3)

E(b)= 10/3 = 3.3 V(b) 20/9 sigma(b)= 1.5 La distribution est elle symétrique par rapport à sa valeur modale ?

print "Même chose avec n=100,p=1/3\n"n=100;p=1/3b1=[[k,binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)] for k in range(n+1)]#transpose(matrix(b)).n(digits=2)print "E(b1)=",M1(b1),"=",M1(b1).n(digits=2)print "V(b1)",M2(b1)-M1(b1)^2print "sigma(b1)=",sqrt(M2(b1)-M1(b1)^2).n(digits=2)print "La distribution est elle symétrique par rapport à sa valeur modale ?\n"barplot(b1,3)

Même chose avec n=100,p=1/3 E(b1)= 100/3 = 33. V(b1) 200/9 sigma(b1)= 4.7 La distribution est elle symétrique par rapport à sa valeur modale ?

%md#### Exemples de distribution de lois centrées réduitesSi $X$ est une va d'espérance $m$ et d'écart type $s\neq 0$ alors $\frac{X-m}{s}$ est d'espérance $0$ et d'écart type $1$Qualité de l'inégalité de Tchebychev $P(|X|\geq t)\leq \frac{1}{t^2}$ pour $X$ centrée réduite

Exemples de distribution de lois centrées réduites

Si $X$ est une va d'espérance $m$ et d'écart type $s\neq 0$ alors $\frac{X-m}{s}$ est d'espérance $0$ et d'écart type $1$

Qualité de l'inégalité de Tchebychev $P(|X|\geq t)\leq \frac{1}{t^2}$ pour $X$ centrée réduite

F(t)=1/2*erf(1/2*sqrt(2)*t) + 1/2 #F(t)=P(X<=t) pour X gaussienne centrée réduiteplot(1/t^2,t,1,5,color='black')+plot(2*(1-F(t)),t,0,5)+plot(1-t/sqrt(3),t,0,sqrt(3))+plot(1,t,0,1)

def denorm(d,m,s):#distribution de s*(X+m) si X est de distribution d    return([[(l[0]+m)*s,l[1]] for l in d])

p=1/10B=[[0,1-p],[1,p]]barplot(denorm(B,-p,1/sqrt(p*(1-p))),3)+plot(1/t^2,t,1,5)

n=10;u=[[k,1/(2*n+1)] for k in range(1,2*n+2)]barplot(denorm(u,-(n+1),sqrt(3)/sqrt(n*(n+1))),3)+plot(1/t^2,t,1,5)

def b(n,p): #loi binomiale    return([[k,binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)] for k in range(n+1)])

n=10;p=1/3barplot(denorm(b(n,p),-n*p,1/sqrt(n*p*(1-p))),3)+plot(1/t^2,t,1,5)