Sujet de devoir : Application à la théorie des jeux : Ecrire un algorithme prenant en entrée une matrice M (la matrice de paiement du premier joueur J1 d'un jeu fini à somme nulle), rendant les sommets (au sens de la convexité) de l'ensemble des stratégies mixtes prudentes de J1. Dessiner le découpage des stratégies mixtes prudentes de J1, le paiement minimal sur chacun des morceaux, les stratégies mixtes prudentes. Commencer par le cas où J1 a deux stratégies pures (la matrice M a deux lignes).
Document de cours sur la recherche des équilibre de l'extension mixte d'un jeu (fini à deux joueur à somme nulle), exemple de recherche algorithmique des solutions ; voir la page web du cours.
Autre sujet de devoir (difficile) : Application aux Chaînes de Markov : Ecrire un algorithme prenant en entrée la matrice M des probabilités de transition d'une chaîne de Markov (homogène, à temps discret, ayant un ensemble fini d'états), rendant la ou les formes limites de Mn pour n grand. Simuler la chaîne de Markov de matrice M pour un état initial donné ; estimer les probabilités de présence en un état après un temps long, les temps d'atteinte d'un état donné.
Documents de cours sur cette page.
Tutoriel sur l'algèbre matricielle avec sagemath
D'autres ressources sur internet (google "sagemath matrices")
Soit la matrice
et la matrice unité. Exhiber avec Sagemath une base du noyau de (l'espace propre de pour la valeur propre ). Quelles sont les méthodes disponibles ? Comment utiliser la méthode (M_I).kernel() ?Quel est le système d'équations linéaires correspondant ? (Appliquer la méthode solve() ). Illustration graphique.
Calculer pour k=2,16,128. Calculer une valeur numérique approchée de avec la méthode (M^k).n()
Mêmes questions avec la matrice
Au passage listes, vecteurs, matrices dans Python, listes imbriquées, génération de listes
Méthode solve, exploitation de la réponse
Dessin
Puissances de
Avec la matrice N :