1. (12sept) Présentation du cours
Comparaison des fonctions et des suites (début). Introduction avec une majoration du nombre e=exp(1) défini par ∫₁^e dt/t = 1 en encadrant ∫₁^x dt/t par ∫₁^x dt/t^α (qui a une expression élémentaire si α=1±1/n). Encadrement de la fonction exp(x) au voisinage de x=1 par des fonctions polynômiales de degré 2 grâce au développt limité.
2. (19sept) Voisinage d'un nombre réel x₀, exemples ; rappel limite en x₀ d'une fonction, limite d'une suite. Fonction f négligeable devant une fonction g au voisinage de x₀, notation f=o_x0(g) ou f(x)=o_x→x0(g(x)). Développement suivant une échelle de fonctions (f_α) en x₀ [à revoir].
3. (26sept) Voisinages à droite ou à gauche en x₀, voisinage de +∞, de -∞. Echelles de comparaison en x₀ (nbre réel ou +∞, -∞), exemples (xⁿ en 0, en +∞, en -∞, ((x-x0)^α)_α∈R à droite de x₀, etc), contre-exemples. Equivalence entre deux fonctions au voisinage de x₀, équivalent d'une fonction f dans une échelle donnée (l'équivalent n'existe pas toujours), ex.
4. (3oct) Développement asymptotique : motivation avec le comportement en +∞ de 1+x-√(x²+1) : limite et vitesse de convergence vers la limite. Développement de Taylor lorsque x₀ n'est pas ±∞ et la fonction est n-fois dérivable en x₀, somme, produit de développements asymptotiques (la précision est le "moins disant"), composition ex ln((x+1)/x).
5. (10 oct) Intégrales impropres en l'une ou les deux bornes, convergence, convergence d'une série numérique. Intégrales de Riemann, critères de convergences : l'intégrale d'une fonction positive est une fonction croissante de la borne supérieure (et une fct décroissante de la borne inférieure), fonction dominée par une fonction positive dont l'intégrale converge, exemples.

Lectures : voir la page du cours en 2013-14. Essayer successivement avec wolframalpha : int sin(t)/t from 0 to x , int sin(t)/t from 0 to infinity , int exp(-t^2) from 0 to x , int exp(-t^2) from 0 to infinity , sum 1/n^2

6. (17 oct) Critères de convergence des intégrales impropres et des séries - suite (critère de Riemann pour les intégrales, changement de variable pour se ramener à 0⁺). Intégrales et séries semi-convergentes, ex convergence de ∫₁^+∞ sin(t)/t dt par intégration par parties.
7. (24 oct) Suites numériques. Introduction : suites dans la construction des nombres ou des fonctions, exposé usuel versus exposé académique, exemples. Critères de convergence des suites : critère de Cauchy, suites croissantes majorées, application aux séries absolument convergentes. Suite définie par la relation u_n+1=f(u_n), critère de convergence (théorème du point fixe).
8. (7 nov) Equations différentielles : terminologie (scalaire, d'ordre n, linéaire, homogène ou avec second membre, à coefficients constants), notion de solutions, lien avec le calcul des primitives, l'équation y'-y=0 et la définition de la fonction exp, lien avec la primitive de 1/x. Résolutions des équations différentielles linéaires d'ordre 1.

(14 nov) Partiel durée 1h20

9. (21 nov) Equations différentielles (suite) : forme générale (équation résolue ou pas, scalaire d'ordre n, linéaire ou pas, vectorielle d'ordre 1 ou plus, forme matricielle des équations différentielles linéaires vectorielles, système d'équations scalaires couplées).
Equations diff. linéaires scalaires d'ordre 2 : résolution lorsqu'on connaît une solution non nulle de l'équation homogène associée, cas des équations à coefficients constants.

10. (28 nov) Polynôme ou équation caractéristique d'une équations diff. linéaire scalaire à coefficients constants. Forme des solutions pour une telle équation homogène ou avec second membre de la forme P(x)exp^αx suivant la multiplicité de α dans le polynôme caractéristique. Exemples de calcul avec les équations y''+2y'-3y=x, y''+2y'-3y=xe^-3x, y''+2y'+y=x, y''+2y'+2y=x (partie réelle et partie imaginaire des solutions complexes).

11. (5 dec) Autres exemples de résolution des eq. diff. scalaires linéaires à coefficients constants, solutions d'une combinaison linéaire de 2 equations, ex. y''+2y'+5y=2x-3xe^-xcos(2x) ; exemple d'équation scalaire associée à un système de deux éq. diff couplées d'ordre 2.
Introduction aux relations de récurrence pour les suites numériques.

12 (12 déc.) Suites récurrentes d'ordre p : expression avec l'opérateur Δ (défini par Δ(u_n) := (u_n+1-u_n) ) et ses itérés ; forme générale des solutions d'une relation de récurrence linéaire à coefficients constants avec second membre de la forme P(n)aⁿ. Equation aux différences finies associée à une équation différentielle, méthode d'Euler d'approximation numérique de la solution d'une éq. diff. avec conditions initiales.
Video projection : réponses données par le site WolframAlpha à une sélection d'exercices du cours.

Lecture : Recurrence relation sur Wikipedia (en anglais).