L3 algèbre effective (12déc17) - Interrogation 2

L3 algèbre effective (12déc17) - Interrogation 2

Ex 1. On considère une famille $(u_{n,k})_{(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ vérifiant les relations

$\sum_{k=0}^n u_{n,k}=n!$

et

$\forall k>0,\ u_{n,k}={{n}\choose{k}}u_{n-k,0}$

La famille $(u_{n,k})$ est elle ainsi définie récursivement ?

Ecrivez un script calculant $u_{10,3}$. (Le coefficient binomial peut être obtenu par l'instruction binomial(n,k).)

Ex 2. Ecrire une fonction inv(o) prenant comme argument une suite d'opérations o encodées comme dans les fonctions showop(o) et transf(A,o) définies plus bas et rendant la suite d'opérations telle que transf(transf(A,o),inv(o))=A pour toute matrice A.

Tester cette fonction. Que vaut transf(transf(A,inv(o)),o) ?

Ex 3. On considère la matrice A donnée par

Donner une listes d'opérations sur les lignes et les colonnes transformant A en sa "réduction de Smith".

Y a t-il des opérations inutiles dans la liste obtenue ?

Donner séparemment la liste des opérations sur les lignes et la liste des opérations sur les colonnes.

Construire des matrices P et Q telles que PAQ est nulle hors de la diagonale. Tester ce fait.

Exhiber une base du noyau de A (sous la forme de la matrice des coordonnées des vecteurs de la base). Le vecteur (3,2,0,0,2,-1) est il dans le noyau de A ? Si oui, quelles sont les coordonnées de ce vecteur dans la base choisie ?

Exhiber une base de l'image de A. Est-ce une base de $\mathbb{Z}^4$ ?

Ex. On considère la matrice $M=\left(\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\right)$ (M=matrix.diagonal([3,6]). Ecrire une fonction f(x,y) qui rend true (return(true)) si le couple d'entier (x,y) est dans l'image de M et rend false sinon.

Ecrire ensuite une fonction g(M,x,y), où M désigne une matrice 2x2 quelconque, qui rend true si (x,y) est dans l'image de M et qui rend false sinon. Tester cette fonction.

Pouvez vous généraliser la fonction g à une matrice M de taille 2xq avec q quelconque ?

Pouvez vous généraliser la fonction g à une matrice M de taille p x q et à un vecteur x de taille p ?

Fontions prédéfinies