L3M Algèbre-géométrie  -  Corrigé de l'interrogation du 5 décembre 2011

a)
A vérifie tAA=I ssi les colonnes de A forment une base orthonormée de R3 (ceci est l'interprétation demandée).
On doit donc avoir
y=0
x+z=0
x2+y2+z2=1
(x,y,z)=(1/sqrt(2),0,-1/sqrt(2)) convient.

b) On peut écrire la projection demandée comme id-p où p est la projection orthogonale sur la droite <(x,y,z)>. On a  p(x1,x2,x3) = <(x,y,z)|(x1,x2,x3)>(x1,x2,x3) = matriciellement t(x y z)*(x,y,z)*t(x1 x2 x3). On en déduit la matrice de p : t(x y z)*(x,y,z) puis la matrice de la projection demandée : I-t(x y z)*(x,y,z)
Avec Maxima (voir la documentation Matrices and Linear Algebra) :
v:[1/sqrt(2),0,-1/sqrt(2)];m:diag_matrix(1,1,1)-transpose(v).v;
with_stdout("P.tex",print(tex1(m)));system("tex2im -r 100x100 -f png -o P.png P.tex");


c)
Notons (e1,e2,e3) la base canonique de R3 et u l'endomorphisme représenté par la matrice M dans la base (ei). On remarque tout de suite que le vecteur e2 est vecteur propre de M pour la valeur propre 1. Puisque M est symétrique, on est ramenée à diagonaliser la restriction de u à l'orthogonal de la droite <e2>, c'est à dire au sous-espace <e1,e3>.
Dans la base (e1,e3) la restriction de u a pour matrice :

On peut en calculer le polynôme caractéristique, déterminer par un système d'équations linéaires un vecteur propre non nul. On peut aussi observer que la somme des colonnes est t(1 1) donc e1+e3 est vecteur propre pour la valeur propre 1
Un vecteur non nul dans <e1,e3> orthogonal à e1+e3, par exemple e1- e3, est forcément vecteur propre puisque la matrice est symétrique.
Conclusion : (e2, 1/sqrt(2) (e1+ e3), 1/sqrt(2) (e1- e3) ) est une base orthonormée de diagonalisation de M. Sur cette base la matrice de u est la matrice diagonale avec (1,1,2) sur la diagonale.

d) Notons Q la matrice de passage de la base canonique à la BON (e2, 1/sqrt(2) (e1+ e3), 1/sqrt(2) (e1- e3) ) :

On a M=QDQ-1=QDtQ où D est la matrice diagonale avec (1,1,2) sur la diagonale.
Soit (x,y,z) un vecteur de R3. On a q(x,y,z)=(x y z)QDtQt(x y z)=t(tQt(x y z))*D*(tQt(x y z))= la somme des coefficients diagonaux de D fois les carrés des coefficients du vecteur ligne (x y z)Q (ou du vecteur colonne tQt(x y z)). Comme Q est inversible, les trois coefficients de (x y z)Q sont des formes linéaires en (x,y,z) indépendantes.
Avec Maxima :
X:[x,y,z];Q:matrix(1/sqrt(2)*[0,1,1],[1,0,0],1/sqrt(2)*[0,1,-1]);
with_stdout("XQ.tex",print(tex1(X.Q)));system("tex2im -r 100x100 -f png -o XQ.png XQ.tex");

q:(X.Q).diag_matrix(1,1,2).transpose(X.Q);
with_stdout("q.tex",print(tex1(q)));system("tex2im -r 100x100 -f png -o q.png q.tex");

Qu'on peut réécrire comme 1/2*(x+z)2+(x-z)2+y2

Vérifions :
q1:expand(q);

M:matrix([3/2,0,-1/2],[0,1,0],[-1/2,0,3/2]);q2:expand(X.M.transpose(X));

is(q1=q2);
                             true
Autre méthode : utiliser l'algorithme de réduction de Gauss. Avec Maxima voir cette page.
M:matrix([3/2,0,-1/2],[0,1,0],[-1/2,0,3/2]);
q:expand(X.M.transpose(X));

Gauss(q,[x,y,z])[2]; /*fonction Gauss définie sur la page indiquée ci-dessus */



Voir aussi la fonction qfgaussred() dans PARI-GP :
M=[3/2,0,-1/2;0,1,0;-1/2,0,3/2];
Q=qfgaussred(M);

D=
matrix(3,3,i,j,(i==j)*Q[i,i]);Q1=matid(3)+Q-D;X=[x,y,z];Y=X*Q1~
%31 = [x - 1/3*z, y, z]

Y*D*Y~
%34 = 3/2*x^2 - z*x + (y^2 + 3/2*z^2)
Y*D*Y~==X*M*X~
%36 = 1

e) La signature de q est (3,0) en vertue de la réduction de la matrice M au point (c) (les valeurs propres sont toutes >0) ou en vertue de la réduction de Gauss donnée au point (d).

F-X. Dehon, 13 déc. 2011,