Homologie simpliciale de quelques sous-variétés de Rn
L'objectif du stage est de calculer les groupes d'homologie de quelques espaces
familiers tels que le cercle, la sphère, le tore, la bouteille de
Klein, le groupe spécial orthogonal SO(3), etc., par une triangulation
explicite de ces espaces et le calcul de l'homologie simpliciale de la
triangulation.
La triangulation est faite "à la main" dans chaque cas
particulier (on pourra comparer avec une démonstration de la
triangulabilité des sous-variétés différentiables de Rn). Le calcul de
l'homologie est ensuite algorithmique et repose sur la description des
groupes abéliens de type fini. On utilisera pour ce calcul un logiciel
de calcul formel tel que GP-Pari. Un exemple de calcul d'homologie avec GP-Pari est donné sur
la page
On décrira parallèlement les
automorphismes de la triangulation et les morphismes induits en
homologie. On fera le lien avec la caractéristique d'Euler-Poincaré et
les théorèmes d'existence d'applications sans point fixe ou de champs
de vecteurs ne s'annulant pas.
Motivation : l'homologie est un
invariant algébrique (une suite de groupes abéliens) associé à un
espace topologique permettant d'obtenir des obstructions à l'existence
d'applications continues entre espaces avec certaines propriétés. Elle
permet par exemple de montrer que deux sphères de dimension différentes
ne sont pas homéomorphes.
Support : le chapitre "complexes simpliciaux finis" et le début du chapitre "homologie simpliciale" du cours de M2 "Topologie algébrique" ;
un cours sur les groupes abéliens de types finis tel qu'on le trouve
par exemple dans le livre [Briançon-Maisonobe, Eléments d'algèbre
commutative, Ellipses]
Intérêt du stage :
- Familiarisation avec les surfaces et autres variétés différentiables.
- Classification
des groupes abéliens de types finis (modules sur un anneau principal)
vue de façon effective, description des homomorphismes entre groupes
abéliens de type fini.
- Utilisation d'un programme de calcul formel.
- Une incursion dans un domaine avancé des mathématiques : la topologie algébrique.
Les points 1, 2, 3 sont notamment utiles à la préparation de l'oral de l'agrégation de mathématiques.
Renseignement complémentaire : François-Xavier Dehon, Laboratoire J.A. Dieudonné, bureau 620
