Topologie algébrique
(Homologie simpliciale)
Présentation :
La topologie algébrique vise à
associer aux
espaces
topologiques et applications continues des objets
algébriques calculables (un nombre, un groupe, une
algèbre, un morphisme entre de tels objets) qui restent
inchangés lorsqu'on déforme continûment
les
applications. La plus simple de ces associations est le nombre de
composantes connexes d'un espace. Nous définirons les
groupes
d'homologie des espaces, qui permettent notamment de montrer que deux
sphères de dimension différentes ne peuvent pas
être homéomorphes, ou qu'un champs de vecteurs sur
la
sphère S2 s'annule toujours en au moins un point.
Calendrier :
10 séances de 3h le mardi de 9h à 12h30 en salle II du bât. Dieudonné.
Premier cours mardi 1er décembre.
Pas de cours le 16 février
Examen reporté au lundi 15 mars de 14h30 a 17h30 en biliothèque recherche..
Documents de cours :
Les notes ci-dessous sont
rédigées
après le
cours et ne suivent pas fidèlement
l'exposé oral. Elles constituent un texte
de
référence pour le cours.
Les notes de cours de 2008-09 (20 fev 09).
Feuille d'exercices 1 (5 jan 10).
Sujet d'examen (15 mars 10).
Plan du cours :
| 1. Complexe
simplicial dans Rn,
complexe simplicial abstrait, espace topologique sous-jacent. Complexe
des chaînes orientées d'un complexe simplicial abstrait, homologie. 2. TD avec rappel de cours : complexe des chaînes orientées d'une ligne brisée. π0(K), isomorphisme entre H0(K) et Z⊗π0(K). Calcul du conoyau d'un homomorphisme entre deux groupes abéliens libres, exemples et exercices. Algorithme de calcul, cf cet exemple. 3. TD : homologie du simplexe standart de dim 2 et de son bord. Cours-TD : Application continue |K| -> X où K est un complexe simplicial et X un espace topologique. Ensemble de simplexes dans X et triangulation. Triangulation par morceaux de X, exemple : le cercle, le cylindre, la sphère. Exercice : le ruban de Moebius, le plan projectif réel. 4. Cours : morphisme induit en homologie par une application simpliciale, relation de contiguïté. Feuille d'exercices 1. Notes des cours 1 à 4 (version du 11jan10) 5. Etat des lieux, thm des modèles acycliques. Approximation simpliciale d'une application continue, contuiguité des approximations simpliciales, ex avec l'application z -> z2 sur le cercle. Morphisme induit en homologie par une application continue. 6. Approximation simpliciale par subdivision, preuve des énoncés. Invariance de l'homologie par homotopie (contiguité et objet cylindre). Application : rétract par déformation continue. 7. Fin de la démonstration de l'invariance par homotopie. Application : comparaison des triangulations du cercle avec n sommets ; comparaison de deux triangulations de la sphère. Suite exacte de Mayer Vietoris associée à deux sous-complexes d'un complexe simplicial. 8. Panorama des thématiques pour la suite du cours : (1) Mayer-Vietoris - homologie de la sphère - application ; (2) Théorème de Lefschetz ; (3) variété homologique - orientabilité ; (4) cohomologie - dualité de Poincaré ; (5) formule de Künneth - cup produit en cohomologie ; (6) homologie singulière - suite exate de Mayer-Vietoris ; (7) recouvrement - nerf - suite spectrale de Leray - théorème de comparaison. 9. Suite exacte de MV en homologie réduite ; application à la triangulation Kn de Sn obtenue par réunion du cône Nord et du cône Sud d'une triangulation de l'équateur : le connectant est iso en homologie réduite, description d'un générateur de H_n(Kn). Fonctorialité de la suite exacte longue induite par une suite exacte courte de complexes de gr abéliens, lemme des cinq, théorème de comparaison, cas de la suite exacte de MV, application : démonstration de l'invariance par contiguité par récurrence sur la dimension, application au calcul de l'homologie d'une triangulation du cercle, d'une triangulation du cylindre, d'une triangulation du tore (cf examen de 2009). 10. <Hors programme> Produit tensoriel de groupes abéliens, Tor, pr. tensoriel de groupes abéliens gradués, structure d'algèbres graduées. Hom(A,B), Ext1(A,B), cohomologie, formule de coefficients universels. Ex (sans preuve) : cohomologie des espaces projectifs réels et complexes, des classifiants des groupes orthogonaux et unitaires 11. <Hors programme> Produit cartésien de deux espaces triangulables, formule de Künneth, cup-produit en cohomologie. |
Archives 2008-09
Référence (disponible à la bibliothèque du labo) :
J.R. Munkres, Elements of algebraic topology, Addison-Wesley 1984
Le point de vue de la topologie différentielle :
J.W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, University Press of Virginia 1965
I. Madsen - J. Tornehave, From Calculus to Cohomology - De Rham cohomology and characteristic classes, Cambridge Univ. Press 1997
Lectures :
J.P. Petit, Les aventures d'Anselme Lanturlu - le topologicon, Belin 1985 ; version pdf ici.
