Maximisation de l'utilité sous contrainte

F-X. Dehon - dehon[@]unice.fr - 7 avr 2020

Utilité U(x,y)=(x+2)(x+3y) sous les contraintes x≥0, y≥0 et 5x+3y≤r.

On dessine :

  • en orange le graphe de la fonction utilité : l'ensemble des points (x≥0,y≥0,z) tels que z=U(x,y)
  • en vert le plan donné par la contrainte (saturée) de revenu disponible et du coût des biens : 5x+3y=r(=20)
  • en bleu clair le plan z=u(=42).

On visualise ainsi

  • les (x,y) tels que U(x,y) soit maximal sous les contraintes x≥0, y≥0 et 5x+3y≤r,
  • le graphe de la restriction de U à l'ensemble des (x,y) tels que x≥0, y≥0 et 5x+3y=r, de même que ceux des restrictions de U aux (x,0), x≥0 et aux (0,y), y≥0,
  • la ligne de niveau U(x,y)=u(=42)
1. Graphe de la fonction d'utilité
In [1]:
r=20;u=42
x,y,z = var('x,y,z')
xmax,ymax,zmax=(8,8,80)

b(x,y)=r-(5*x+3*y) #contrainte revenu - prix
U(x,y)=(x+2)*(x+3*y) #utilité
In [2]:
A=line3d([(0,0,0),(xmax,0,0),(0,0,0)])+line3d([(0,0,0),(0,ymax,0),(0,0,0)])+line3d([(0,0,0),(0,0,zmax),(0,0,0)])#bug avec line3d et threejs
T=text3d(' x ', (xmax/2, -.5, -.5))+text3d(' y ', (-.5, ymax/2, -.5))+text3d(' z ', (-.5, -.5,zmax/2))+text3d('0',(-.5, -.5,-.5))+text3d(str(xmax),(xmax, -.5,-.5))+text3d(str(ymax),(-.5,ymax,-.5))+text3d(str(zmax),(-.5,-.5,zmax))
B=implicit_plot3d(b,(x,0,r/5),(y,0,r/3),(z,0,zmax),color='green', opacity=0.8)
I=implicit_plot3d(z==u,(x,0,xmax),(y,0,ymax),(z,0,zmax),color='lightblue', opacity=0.5)+text3d('z='+str(u),(-.5,-.5,u))
P = implicit_plot3d(z-U(x,y),(x,0,xmax),(y,0,ymax),(z,0,zmax),color='orange', opacity=0.7)#,region=b

show(P+B+A+T+I,frame=false,aspect_ratio=[1,1,.1],viewer='threejs')
Out[2]:
2. Lignes de niveau (appelées courbes d'indifférence en microéconomie) de la fonction d'utilité U
In [3]:
JJ=contour_plot(U(x,y),(x,0,xmax),(y,0,ymax),contours=15,fill=False,labels=True,label_inline=False)
show(JJ)
Out[3]:

Courbe d'indifférence U(x,y)=42 (en orange), région (x≥0 et y≥0 et 5x+3y≤20) en vert, 1/10ème du gradiant de U en (2,y) où U(2,y)=42 :

In [4]:
var('y')
x0=2;y0=solve(U(x0,y)==42,y)[0].rhs()
print y0, U(x0,y0)

17/6 42
In [8]:
var('x,y')
R=region_plot([b(x,y)>=0,x>=0,y>=0],(x,-.1,xmax),(y,-.1,ymax),incol='lightgreen',bordercol='green')+implicit_plot(U(x,y)==u,(x,0,xmax),(y,0,ymax),color='orange')
G=arrow((x0,y0),vector((x0,y0))+1/10*U.gradient()(x0,y0),color='orange')
show(R+G,aspect_ratio=1)
Out[8]:
3. La courbe d'indifférence portée sur le graphe de la fonction d'utilité U
In [6]:
N=implicit_plot(U(x,y)==u,(x,0,xmax),(y,0,ymax)).matplotlib().get_children()[1].collections[0].get_paths()[0].to_polygons(closed_only=False)[0]
N3d=line3d([[p[0],p[1],u] for p in N],color='red')+text3d('z='+str(u),(-.5,-.5,u))
N3d0=line3d([[p[0],p[1],0] for p in N],color='black')
show(P+B+A+T+I+N3d+N3d0+line3d([[r/5,0,0],[0,r/3,0],[r/5,0,0]],color='black'),frame=false,aspect_ratio=[1,1,.1],viewer='threejs')
Out[6]:
4. Documentation Sagemath

https://ask.sagemath.org/question/9262/get-list-of-coordinates-from-plot-object/

https://matplotlib.org/3.1.0/api/path_api.html

In [7]:
N3d=[[p[0],p[1],u] for p in N]#;print N3d
show(line3d(N3d,color='black'),aspect_ratio=[1,1,.1],viewer='threejs')

#I=implicit_plot3d((z-1)^2+(x-1)^2,(x,0,xmax),(y,0,ymax),(z,0,zmax),color='black')#n'est pas dessiné
#I=implicit_plot(U(x,y)==u,(x,0,xmax),(y,0,ymax),color='black').plot3d()#produit une erreur
#NN=line2d(N,color='black').plot3d(u)+text3d('z='+str(u),(-.5,-.5,u))
Out[7]: