Commentaires sur la leçon “formes quadratiques”
18 janvier 2006
1. Deux questions qu’on devrait se poser avant d’écrire un plan et dont les réponses
rendront plus vivante la présentation du plan :
Quelques réponses : Différentielle seconde d’une application, développement de Taylor, courbure d’une surface dans Rn ;
Distance en géométrie affine euclidienne
Penser à l’analyse : forme locale du graphe d’une fonction et problèmes de minima locaux, polynômes orthogonaux et approximation des fonctions,..
à la théorie des nombres : racines d’un polynôme et trace,..
à la géométrie des groupes classiques : sous-groupe compact maximal, représentations linéaires des groupes compacts
à la géométrie différentielle : forme locale d’une surface de Rn, courbure globale et classification.
à la mécanique newtonienne : méthode du repère mobile, mouvement du solide.
à la géométrie classique : coniques, distances et angles en lien avec le groupe orthogonal
2. Quelques références
[Serre, cours d’arithmétique] en particulier le chap. 4,
[Perrin, cours d’algèbre] chap 5 à 8,
Quelques textes sur le site de la préparation de Rennes qui fournissent matière à développement, en particulier :
Comptage de racines et signatures de formes quadratiques par M. Coste ; Trace, formes quadratiques et extensions de corps par Y. Coudene ; Diagonalisation des auto-adjoints par Annette Paugam ; Opérations élémentaires, Décompositions de matrice, Orthonormalisation de Gram-Schmidt par Annette Paugam
1) Donner l’expression de la forme bilinéaire associée à q(x,y,z) = xy + yz + zx. Quelle est sa matrice dans la base canonique ?
2) Sur Q trouver une base orthogonale pour les formes quadratiques xy + yz + zx et (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2.
L’écriture de ces formes comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes est elle unique ?
Sur R trouver une base orthogonale pour xy + yz + zx qui soit orthonormée pour le produit scalaire canonique de R3.
3) Soit q de matrice dans la base canonique de k2. Déterminer le groupe orthogonal O(q).
4. Quelques idées de développements
Droites de régression en dimension 3 : Soient M1,…,Mn des points de R3. On cherche une droite D = D(A,u) telle que
soit minimal.
Si u est de norme 1 on a . On observe alors :
Exemple : A = (1, 0), B = (2, 0), C = (0, 3) dans R2 qu’on plonge dans R3. Déterminer D.
Généralisation à Rn ? aux sous-espaces de dimension d de Rn ?
Orthonormalisation de Gramm-Schmidt et inégalité d’Hadamard,