Algèbre
catégorielle
(Avec Clémens Berger, 2002-04)
Premier trimestre, 30 heures.
La théorie des catégories offre un cadre
général pour étudier les
propriétés
d'objets mathématiques indépendamment du contexte
particulier dans lequel ils apparaissent. Elle s'intéresse
donc
d'avantage aux relations entre les objets qu'aux objets
eux-mêmes. Elle joue actuellement un rôle
fondamental en
algèbre, en topologie et en géométrie.
Le cours s'appuiera sur divers exemples empruntés
essentiellement à l'algèbre commutative.
Plan
1. Catégories et foncteurs. Définitions,
exemples, dualité.
2. Limites et colimites. Produit fibré, somme
amalgamée, notion générale de limite
et de
colimite.
3. Foncteurs représentables et foncteurs adjoints. Lemme
de Yoneda, préservation des limites ou colimites,
théorème d'existence de Freyd.
4. Catégories abéliennes. Noyau,
conoyau, suites
exactes, foncteurs exacts, objets projectifs, objets injectifs,
générateurs, cogénérateurs,
théorème d'équivalence de Morita.
Références
F. Borceux, Handbook
of
Categorical Algebra I, II, Cambridge University Press,
1994.
B. Pareigis, Categories
and Functors,
Academic Press, 1970.
Feuilles de TD sur les limites,
les épimorphismes,
les catégories
abéliennes.
Examen de décembre 2002.
(La
question 1a est incorrecte ce qui rend la
question 2c involontairement trop
difficile, si ce n'est fausse.)
Examen de décembre 2003.