Proposition de mémoire de master 2
"Nombre de géodésiques et modèle rationnel pour l'homotopie"

On considère une variété différentiable $M$ munie d'une métrique. Une géodésique de $M$ est une courbe tracée sur $M$ minimisant la distance parcourue entre deux points. On s'intéresse au lien entre le nombre de géodésiques fermées de $M$ et la cohomologie rationnelle de $M$.

Le mémoire s'appuiera sur les deux travaux suivants :
- Gromoll et Meyer ont montré qu'une variété compacte simplement connexe admet une infinité de géodésiques fermées si la suite des dimensions de la cohomologie de l'espace $\Lambda M$ des lacets libres de $M$ est non bornée.
[Gromoll, Detlef; Meyer, Wolfgang Periodic geodesics on compact riemannian manifolds. J. Differential Geometry 3 1969 493--510.]

- Sullivan et Vigué-Poirrier ont donné une condition nécessaire et suffisante portant sur la cohomologie de $M$ pour que l'hypothèse indiquée ci-dessus sur la cohomologie de $\Lambda M$ soit satisfaite. Pour ce faire ils établissent un calcul du modèle rationnel de $\Lambda M$ en fonction de celui de $M$.
[Vigué-Poirrier, Micheline; Sullivan, Dennis The homology theory of the closed geodesic problem. J. Differential Geometry 11 (1976), no. 4, 633--644.]

Ce projet de mémoire repose sur le cours de master 2 "Modèles rationnels pour l'homotopie"

Contact : François-Xavier Dehon