Vers un cadre commun pour les diplômes de Mathématiques en
Europe
C’est
dans le sillage de la Déclaration de
Bologne [B], signée en 1999 par les ministres chargés de l’enseignement
supérieur de 29 pays européens, et de sa suite, le Communiqué de Prague [P], qu’un groupe d’universités a mis en place
le projet “Tuning educational structures in Europe” [T1, T2]. Il a été
coordonné par les Universités de Deusto et de Groningue et a bénéficié du
soutien financier de l’Union Européenne. Comme son nom le suggère, l’objectif
principal du projet était d’étudier comment accorder et (non uniformiser) les structures d’enseignement en Europe, et ainsi
contribuer au développement de l’espace européen d’enseignement supérieur.
Ceci, à son tour, devrait faciliter la mobilité et améliorer les perspectives
d’emploi des diplômés européens.
Les
mathématiques étaient l’un des domaines représentés dans Tuning, et ce texte
reflète le point de vue unanime du groupe de mathématiques du projet. Mais,
comme le groupe ne revendique aucun rôle représentatif, nous (les membres du
groupe) pensons nécessaire de le
diffuser pour commentaire auprès d’une large communauté de mathématiciens
européens. Nous pensons qu'aucune forme d’action (esquissée ici) ne sera
possible et fructueuse sans un large accord. En particulier, les membres
mathématiciens du groupe accueilleront avec plaisir tout commentaire sur ce
document. Leurs adresses électroniques figurent en fin de document.
Le
Groupe Tuning de Mathématique est heureux d’exprimer ses remerciements aux
coordinateurs du Projet, Julia González (Universidad de Deusto) et Robert
Wagenaar (Rijksuniversiteit Groningen), ainsi qu’à le Commission Européenne,
pour avoir créé les conditions d’interactions fructueuses et agréables entre
ses membres
§
Ce texte ne concerne que
les universités (universités techniques comprises), et non les autres types
d’établissements d'enseignement supérieur.
§
L'objectif
d’un “cadre commun pour les diplômes de mathématiques en Europe” est de
faciliter leur reconnaissance
automatique pour favoriser la mobilité.
§
L’idée d’un
cadre commun doit être associée à une
système d’habilitation.
§
Les deux
composantes d’un cadre commun sont des structures similaires (mais non
nécessairement identiques) et un tronc commun (autorisant une certaine
flexibilité locale) pour les deux ou trois premières années.
§
Au-delà
d’un tronc commun, les filières
pourront diverger de façon significative, notamment pour le deuxième cycle.
Comme il existe de nombreux domaines en mathématiques, et que parmi eux
beaucoup sont liés à d’autres champs du savoir, la souplesse est essentielle.
§
La base
commune de toutes les filières comprendra
de l'analyse à une et plusieurs variables et de l’algèbre linéaire.
§
Nous proposons
une liste large d’autres sujets auxquels tout diplômé devrait avoir été
famliarisé pour pouvoir être reconnu comme mathématicien. Mais il n’est pas
nécessaire que toutes les filières comprennent un module spécifique traitant de
chacun de ces domaines.
§
Nous ne
présentons pas de liste normative de sujets devant être traités, mais nous
indiquons précisément les trois compétences qui, à notre avis, peuvent être
attendues de tout diplômé en mathématiques :
(a) l’aptitude
à concevoir une preuve,
(b)
l’aptitude à
modéliser une situation en termes mathématiques
(c)
l’aptitude
à résoudre un problème au moyen d’outils mathématiques.
§
Le premier
cycle devrait normalement laisser du temps pour l’apprentissage du calcul sur
ordinateur et la confrontation à au moins un domaine majeur d’application des
mathématiques.
§
Nous
devrions viser une grande variété de dominantes dans les filières de deuxième cycle de mathématiques.
Leur caractéristique commune devrait être l’exigence que tous les étudiants
fournissent une quantité significative de travail personnel. A cette fin, un
minimum de 90 crédits[1] ECTS devrait être requis pour
l’attribution d’un Master.
§
Divers
systèmes non identiques devraient pouvoir
coexister, mais de grands écarts par rapport à la norme (en terme de
tronc commun ou de structure en cycles) devraient être fondés sur des exigences
de niveau d’entrée appropriés, ou sur d’autres facteurs spécifiques à la filière, pouvant être l'objet d'une
habilitation externe. A défaut, de tels diplômes risqueraient de ne pas bénéficier
de la reconnaissance automatique européenne fournie par un cadre commun, même
si par ailleurs ils constituent une filière
d’enseignement supérieur de qualité.
1.
Un cadre commun: ce qu’il doit ou ne doit pas être ou faire
1.1 Le seul but possible en s’accordant sur
un “cadre commun européen” devrait être de faciliter la reconnaissance
automatique de diplômes de mathématiques en Europe, de manière à faciliter la
mobilité. Nous entendons par là que lorsqu’une ou un titulaire d’un diplôme de
mathématique d’un pays A se rendra dans un pays B :
a)
elle ou il sera légalement reconnu(e) comme titulaire de ce diplôme, et le
gouvernement du pays B n’exigera pas d’autre preuve de compétence.
b)
un employeur potentiel du pays B pourra considérer qu’elle ou il détient le
savoir général que l’on peut attendre de quelqu’un ayant ce même diplôme.
Bien
sûr, aucun de ces diplômes ne garantit un emploi : leurs titulaires auront
encore à prendre part aux procédures (concours, entretien, examen du
curriculum, valeur accordée par l’employeur à l’institution ayant délivré le
diplôme) en vigueur dans le pays B pour obtenir un emploi privé ou public.
1.2 Une composante importante d'un cadre
commun aux diplômes de mathématiques en Europe tient à ce que toutes les filières aient des structures similaires, bien
que non identiques. Une autre se situe dans l'accord sur un tronc commun laissant place à une part de flexibilité
locale.
1.3 Insistons sur le fait qu'en aucune
manière nous pensons que de s'accorder sur une quelconque forme de cadre commun
puisse constituer un mode de transfert automatique entre universités. Ceux-ci exigeront toujours une étude au cas
par cas, puisque s'il est vrai que des filières différentes peuvent conduire à des niveaux adéquats par
des voies différentes mais cohérentes, il se peut que des mélanges inappropriés
n'y parviennent pas.
1.4 Dans de nombreux pays
européens il existe des établissements d'enseignement supérieur qui diffèrent
des universités tant par le niveau exigé des étudiants que par leur manière
d'enseigner et apprendre. En fait, de manière à de ne pas exclure un nombre
substantiel d'étudiants, il est essentiel que ces différences soient
maintenues. Nous tenons à dire explicitement que ce texte ne traite que des universités (universités techniques
comprises), et qu'une proposition de cadre commun conçu pour les
universités ne s'appliquerait pas obligatoirement à d'autres types
d'établissements.
2. Vers un tronc commun
de mathématiques
2.1 Remarques générales
A
première vue, les mathématiques semblent bien se prêter à la définition d'un tronc commun, par exemple pour
les deux ou trois premières années. Par leur nature propre et leur structure
logique, il y a bien une part commune à toutes les filières de mathématiques, constituée
des notions fondamentales. D'un autre côté, il existe de nombreux domaines en
mathématiques, beaucoup d'entre eux étant liés à d'autres champs du savoir
(informatique, physique, sciences de l'ingénieur, économie, etc.). La souplesse
est donc de la plus haute importance pour conserver cette diversité ainsi que
les interactions qui enrichissent notre science.
Il
pourrait peut-être y avoir un accord sur une liste de sujets qui doivent
absolument figurer (algèbre linéaire, analyse élémentaire) ou qui devraient
figurer (probabilités/statistiques, une certaine familiarité avec l'usage en
mathématiques de l'ordinateur) dans tout diplôme de mathématiques. Dans le cas
de certains cours spécialisés, tels que la physique mathématique, il y aura
certainement des différences entre les pays voire entre les universités d'un
même pays, sans que cela n'implique une différence de qualité entre les filières.
De
plus, une large diversité de filières mathématiques existe actuellement en Europe. Leurs
exigences à l'entrée diffèrent, tout comme leur durée ou ce qui est attendu des
étudiants. Il est extrêmement important que cette diversité soit maintenue,
tant pour des raisons d'efficacité du système éducatif que pour des raisons
sociales, pour s'adapter aux capacités du plus grand nombre d'étudiants
possible. Fixer une définition unique de contenu, de méthodes ou de niveau pour
tout l'enseignement supérieur européen exclurait de nombreux étudiants du
système, et serait, en général, contre-productif.
En
fait, le groupe est unanime sur le fait que les filières pourraient diverger de façon significative au-delà d'un
tronc commun (par
exemple dans la direction mathématiques "pures", des
probabilités-statistiques appliquées à l'économie ou la finance, de la physique
mathématique, ou de l'enseignement des mathématiques dans le secondaire). La
présentation et le niveau de rigueur montreront que ces filières sont valablement des filières de mathématiques, même si
l'on accepte qu'il y ait, et qu'il faudra qu'il continue à y avoir, une
variabilité dans l'importance accordée voire, dans une certaine mesure, dans
les contenus, y compris dans les deux ou trois premières années.
Quant
au deuxième cycle, non seulement nous pensons que les filières peuvent différer, mais
nous sommes convaincus que, pour refléter la diversité des mathématiques et ses
relations avec d'autres disciplines, toutes sortes de deuxièmes cycles
différents devraient être développés, faisant en particulier appel aux points
forts spécifiques à chaque établissement.
2.2 Nécessité d'une
habilitation
L'idée
d'un tronc commun doit
être combinée avec un système d’habilitation. Pour reconnaître que des universités remplissent les exigences du
tronc commun,
il convient de vérifier trois aspects:
§
une liste
de contenus
§
une liste
de savoirs -faire
§
un niveau
de maîtrise des concepts
Ceux-ci
ne peuvent pas être ramenés à un critère unique.
L'expertise
par un groupe d'évaluation constitué par des pairs, principalement
mathématiciens, est nécessaire pour donner cette habilitation. Les points clés
de l'évaluation devraient être:
(a)
la filière dans son ensemble
(b)
les unités
de la filière (tant en
contenu qu'en niveau)
(c)
les
conditions d'accès
(d)
les acquis
de la formation (savoirs –faire et
niveau atteints)
(e)
l’évaluation tant par les diplômés que par les employeurs
Le
groupe ne pense pas qu'un (lourd) système d'habilitation européen soit
nécessaire, mais que les université agiront au niveau national, dans le cadre
de leur quête de reconnaissance automatique. Pour que cette reconnaissance
automatique acquiert un niveau international, la présence de mathématiciens
d'autres pays semble essentielle.
3. Quelques
principes pour un tronc commun pour le premier degré (Licence) en mathématiques
Nous
n'avons pas le sentiment qu'une liste détaillée des sujets couverts soit
nécessaire, ni même utile. Mais nous pensons qu'il est possible de formuler
quelques lignes directrices pour un "premier niveau européen en
mathématiques", et, plus important, pour les savoir-faire que tous les diplômés
devraient avoir acquis.
3.1 Contenus
3.1.1 Tout diplômé en mathématiques devra
connaître, comprendre, et savoir mettre en pratique les méthodes et techniques
figurant au programme. La base commune à toutes les filières comprendra
·
l'analyse
élémentaire à une et plusieurs variables
·
l'algèbre
linéaire
3.1.2
Les domaines mathématiques de base que devront connaître les diplômés ne
se réduisent pas à ceux qui ont historiquement motivé l'activité mathématique,
mais doivent également en comporter d'autres, d'origine plus moderne. Ainsi,
les diplômés devront être familiarisés avec la plupart des domaines suivants,
et de préférence tous:
·
équations
différentielles élémentaires
·
fonctions
complexes élémentaires
·
des
éléments de probabilités
·
des
éléments de statistique
·
quelques
méthodes numériques
·
géométrie
élémentaire des courbes et surfaces
·
quelques
structures algébriques
·
des
éléments de mathématiques discrètes
Il
n'est pas nécessaire que chacun de ces points soit l'objet d'un module
spécifique traitant le sujet en profondeur d'un point de vue abstrait. Par
exemple, on peut aborder l'étude des groupes aussi bien dans un cours de
théorie (abstraite) des groupes que dans le cadre d'un cours de cryptographie.
Quant aux idées géométriques, compte tenu de leur rôle central, elles
pourraient apparaître dans bien des cours.
3.1.3 Les autres méthodes et techniques seront
traitées selon les exigences et les spécificités de la filière, ce qui
déterminera également pour une bonne part le niveau auquel elles seront développées. Dans tous les cas, toute filière devrait
comporter un nombre substantiel de cours à contenu mathématique.
3.1.4 Il y a en réalité deux types de cursus
qui coexistent en Europe, et les deux sont utiles. Suivant [QAA][2], appelons-les filières "à approche
théorique" et filières "à approche pratique". Le poids de chacun
de ces deux types de filières varie largement selon les pays, et il serait
intéressant de déterminer si la majeur partie des filières des universités
européennes sont "à approche théorique" ou non.
Les
diplômés des filières à approche théorique auront une connaissance et une
compréhension de résultats couvrant un large choix des principaux domaines des
mathématiques. L'algèbre, l'analyse, la géométrie, la théorie des nombres, les
équations différentielles, la mécanique, la théorie des probabilités ou la
statistique sont des exemples possibles de tels domaines, mais il y en a bien
d'autres. Cette connaissance et cette compréhension viendront à l'appui de
méthodes et techniques mathématiques, en fournissant un contexte théorique
solidement construit.
Les
diplômés de filières à approche pratique auront également une bonne
connaissance de résultats couvrant plusieurs domaines des mathématiques, mais ce savoir sera généralement conçu pour
soutenir la compréhension de modèles et la manière dont on peut les appliquer.
Outre ceux mentionnés ci-dessus, ces domaines incluent l'analyse numérique, la
théorie du contrôle, la recherche opérationnelle, les mathématiques discrètes,
la théorie des jeux (domaines qui peuvent bien sûr être aussi étudiés dans les filières à approche théorique) et bien d'autres.
3.1.5 Il est nécessaire que tout diplômé ait
été confronté à au moins un domaine
important d'application des mathématiques où elles sont utilisées sérieusement
car ceci est essentiel pour une bonne appréciation du domaine. La nature du
domaine d'application et la manière dont il est étudié peut varier selon qu'il
s'agit d'une filière à approche théorique ou à approche pratique. Parmi les
domaines d'application possibles figurent la physique, l'astronomie, la chimie,
la biologie, les sciences de l'ingénieur, les techniques de l'information et de
la communication, l'économie, la comptabilité, la finance, et bien d'autres.
3.2 Les savoir-faire
3.2.1 Même pour une notion classique telle que
l'intégration à une variable, le même intitulé pourrait recouvrir des contenus
bien différents, comme:
§
le calcul
d'intégrales simples
§
la
compréhension de la définition de l'intégrale de Riemann
§
la preuve
de l'existence et des propriétés de l'intégrale de Riemann pour une classe de
fonctions
§
l'usage
d'intégrales pour modéliser et résoudre des problèmes de diverses sciences.
Ainsi,
il y a un contenu qui doit être clairement expliqué, mais en même temps divers
savoir-faire doivent être développées à travers l'étude du sujet.
3.2.2 Les étudiants qui achèvent avec succès
des études en mathématique ont un choix extrêmement vaste de carrières qui
s'offrent à eux. Les employeurs apprécient grandement les capacités et la
rigueur intellectuelles, l'aptitude au raisonnement que ces étudiants ont
acquis, leur capacités de calcul solidement établie, et l'approche analytique
dans la résolution de problèmes qui leur est caractéristique.
C'est
pourquoi nous considérons que les trois aptitudes que l'on peut attendre de tout diplômé en mathématiques sont:
(a)
l'aptitude
à concevoir une preuve,
(b)
l'aptitude
à modéliser mathématiquement une situation,
(c)
l'aptitude
à résoudre des problèmes au moyen d'outils mathématiques.
Il
est clair que, de nos jours, la résolution de problèmes devrait inclure leur
résolution numérique, au moyen de l'ordinateur. Ceci exige de bonnes
connaissances en algorithmique et en programmation et l'usage de logiciels.
3.2.3 A noter également que savoir-faire et niveaux sont acquis
progressivement au travers de nombreux sujets. Nous ne débutons pas une filière
de mathématiques par un cours appelé "comment faire une preuve" et un
autre appelé "comment modéliser une situation", avec l'idée que ces
savoir-faire seront acquis immédiatement. Au contraire, c'est par la pratique
dans tous les cours que ceux-ci se développeront.
3.3 Le niveau
Tous
les diplômés auront, au moins dans certains domaines particuliers, des
connaissances et une compréhension développées à un haut niveau. Les contenus
de haut niveau des filières seront en rapport avec l'intitulé de la filière.
Par exemple, les diplômés de filières dont l'intitulé comporte la statistique
devront avoir une connaissance et une compréhension de l'essentiel de la théorie
de l'inférence statistique et de nombreuses applications de la
statistique. Des filières avec un
intitulé tel que mathématiques peuvent s'étendre assez largement sur diverses
branches du sujet, mais il convient néanmoins que les diplômés de telles filières
aient traité en profondeur au moins certains sujets.
4. Le deuxième degré (Master) en mathématiques
Nous
avons déjà clairement exprimé notre conviction que ce serait une erreur de
mettre en place une quelconque forme de tronc commun pour les études de
deuxième cycle. En raison de la diversité des mathématiques, les différentes filières devraient s'adresser à un
large éventail d'étudiants, y compris souvent certains dont le premier degré ne
serait pas à dominante mathématique, mais appartenant à des domaines plus ou
moins liés (informatique, physique, sciences de l'ingénieur, économie, etc.).
De ce fait, nous devrions viser des filières de deuxième cycle d'une grande diversité de thèmes.
Plutôt que
les contenus, nous pensons que c'est le niveau d'assimilation atteint par des
étudiants qui devrait être le dénominateur commun à tous les enseignements de
deuxième cycle. La réalisation d’un
travail personnel important pourrait être l’une des caractéristiques communes
exigible. Ceci pourrait se refléter dans la réalisation d'un projet individuel
substantiel.
Nous pensons
que, pour permettre un véritable travail individuel en mathématiques, le temps
requis pour obtenir le diplôme de Master devrait être l'équivalent d'au moins
90 crédits ECTS. C'est pourquoi, en fonction de la structure nationale des
études de premier et deuxième cycle, un Master devrait typiquement varier entre
90 et 120 crédits ECTS.
5. Cadre commun et accord de Bologne
5.1 La manière dont les différents pays
mettront en place l'accord de Bologne génèrera des différences entre les tronc
commun . En particulier, 3+2 pourra
de pas être équivalent à 5, car dans une structure 3+2 les 3 années pourraient
conduire à un diplôme professionnel; ce qui signifie qu'on passera moins de temps
sur des notions fondamentales, ou à 2 années supplémentaires, et dans ce cas
tout l'esprit de la filière
de 3 ans devrait être différent.
5.2 Savoir s'il vaut mieux pour les mathématiques qu'elles consistent en une
Licence de 180 ECTS suivies d'un master de 120 ECTS (une structure 3+2 en termes d'années universitaires),
ou si une structure 240+90 (4+1+projet) est préférable, peut dépendre de bien
des choses. Par exemple, un découpage 3+2 facilitera à coup sûr le changement
d'orientation, des étudiants suivant un master
dans un domaine différent de celui où ils ont acquis leur Licence.
Un
aspect qui ne peut être ignoré, au moins en mathématiques, est la formation de
professeurs du secondaire. Si les compétences pédagogiques doivent être
acquises durant les études de premier cycle, ces dernières devront probablement
durer 4 ans. Au contraire, si un Master est exigé pour enseigner dans le
secondaire, une Licence en trois ans peut convenir, la formation des maître
étant alors l'une des options de postgraduation (au niveau Master ou autre).
5.3 Le groupe n'a pas tenté de résoudre des
contradictions qui pourraient apparaître entre différentes mises en places de
l'accord de Bologne (par exemple si des filières universitaires en trois ans et en cinq ans coexistaient;
ou si d'autres structures en cycles sont mises en vigueur: 3+1, 2+3, 4+1,
4+1+projet ont tous été proposés). Comme nous l'avons dit, la coexistence de
différents systèmes pourrait être acceptable, mais nous pensons qu'un grand
écart par rapport à la norme (comme une structure 3+1, ou une structure ne
respectant pas les principes de la section 3) demande à être justifiée pas une
exigence appropriée du niveau d'entrée, ou par d'autres facteurs spécifiques à
la filière, pouvant être l'objet d'une évaluation externe. A défaut, de tels
diplômes risqueraient de ne pas bénéficier de la reconnaissance européenne
automatique que
procure l'appartenance à un cadre commun, mêmes s’il s’agit de filières d'enseignement supérieur de qualité.
6. Références
[B]
http://www.bologna-berlin2003.de/pdf/bologna_declaration.pdf
[P]
http://www.bologna-berlin2003.de/pdf/Prague_communiqué.pdf
[QAA] Le document de référence (Benchmark document)
pour les mathématiques, la statistique et la recherche opérationnelle de l'agence
britannique "Quality Assurance Agency for Higher Education", http://www.qaa.ac.uk/crntwork/benchmark/phase2/mathematics.pdf.
[T1] les
sites officiels du projet Tuning educational structures in Europe: http://www.relint.deusto.es/TuningProject/index.htm, http://www.let.rug.nl/TuningProject/index.htm
[T2] Informations
sur le projet Tuning educational structures
in Europe
sur le site de la Commission Européenne http://europa.eu.int/comm/education/tuning.html
Stephen Adam, University of
Westminster (Higher education expert)
José
Manuel Bayod, Universidad de Cantabria
(bayodjm@unican.es)
Martine
Bellec, Université Paris IX Dauphine (martine.bellec@dauphine.fr)
Marc
Diener, Université de Nice (diener@math.unice.fr)
Alan Hegarty, University of Limerick
(Alan.Hegarty@ul.ie)
Poul Hjorth, Danmarks Tekniske
Universitet (P.G.Hjorth@mat.dtu.dk)
Anne Mette Holt, Danmarks Tekniske
Universitet (International relations expert)
Günter Kern, Technische Universität Graz
(Kern@opt.math.tu-graz.ac.at)
Frans J. Keune, Katholieke Universiteit
Nijmegen (keune@sci.kun.nl)
Luc
Lemaire, Université Libre de Bruxelles (luc.lemaire@ulb.ac.be)
Andrea
Milani, Università degli Studi di Pisa (milani@dm.unipi.it)
Julian Padget, University of Bath
(jap@maths.bath.ac.uk)
María do Rosário Pinto, Universidade
de Porto (mspinto@fc.up.pt)
Adolfo Quirós, Universidad Autónoma de
Madrid (adolfo.quiros@uam.es)
Wolfgang Sander, Technische Universität
Braunschweig (w.sander@tu-bs.de)
Hans-Olav Tylli,
University of Helsinki (hojtylli@cc.helsinki.fi)
[1] ECTS signifie "European Credit Transfer System". Les crédits ECTS mesurent le niveau d’études atteint par l’étudiant. L’idée générale de base est que le niveau d’étude qui devrait être atteint par un étudiant moyen à temps plein durant une année académique vaut 60 crédits ECTS. C’est pourquoi la charge de travail requise pour 60 crédits ECTS devrait correspondre à ce qu’un étudiant moyen, se consacrant à temps plein à ses études, est supposé faire en une année académique.
[2]
Ce document a été considéré extrêmement utile et a reçu l'agrément
unanime du groupe. En fait, nous l'avons cité presque mot pour mot à certains
endroits.