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Page Web de Pierre Dreyfuss
Théorie EDP
Calc. scientif. Théorie EDP Océanographie  

 

Je me suis intéressé aux thèmes suivants: 

   . Equations de type Navier-Stokes  

   . Equations elliptiques dégénérées du second ordre

   . Couplages non linéaires elliptique-elliptique

 

Equations de type Navier-Stokes

J'ai participé (en 2002-2005) à un projet avec N. Hungerbuehler de l'université de Fribourg, intitulé ' Young measure method for non linear PDEs: perspectives in applied and numerical analysis'.

Nous avons considéré un problème de Navier-Stokes dans lequel le tenseur de viscosité dépend directement de la vitesse du fluide. Ce modèle permet de mieux décrire l'écoulement de fluides électrorhéologicaux, pour lesquels la viscosité dépend très fortement du champs électrique E ambient  (et en particulier de l'angle entre la vitesse du fluide et E, voir R.H. Hoppe, W.G. Litvinov: 'Problems on electrorheological fluid flows, Commun. Pure Appl. Anal. 3 (2004), nº4, 809-848).

De tels fluides sont utilisés dans la conception de nouvelles technologies (nouveaux types de suspension pour véhicules,..)

Nous avons établi des résultats d'existence de solution faible pour des problèmes d'écoulements de fluides électrorhéologicaux. D'un point de vue technique nos preuves utilisent des résultats fins issus de la théorie des mesures de Young. Ces résultats sont présentés dans les deux publications ci dessous:

[A3] P. Dreyfuss, N. Hungerbühler: 'Results on a Navier-Stokes system with applications to electrorheological fluid flow', Int. J. Pure Appl. Math. 2004 14, nº2: 241-271. télécharger l'article

[A4] P. Dreyfuss, N. Hungerbühler: 'Navier-Stokes system with quasimonotone viscosity tensor', Int. J. Differ. Equ. Appl. 2004 9, nº1: 59-79. télécharger l'article

 

Equations elliptiques dégénérées du second ordre

J'ai établi des résultats de régularité de la solution faible pour une classe d'équations elliptiques du second ordre dont les coefficients peuvent être non bornés. Les propriétés de régularité étudiés sont: caractère borné, degré d'intégrabilité du gradient, hölder continuité.

Les techniques s'inspirent de travaux de Gianquinta-Modica. Des résultats de G. Stampacchia sont aussi utilisés.

[A5] P. Dreyfuss: 'higher integrability of the gradient in degenerate elliptic equations', Potential Analysis 2007 26:101-119. télécharger l'article

Couplages non linéaires elliptique-elliptique

Dans ma thèse (chap. 3),  j'ai analysé un problème elliptique-elliptique issu du chauffage par induction. L'existence d'une solution a été obtenue en utilisant une technique de point fixe. Sous des hypothèses additionelles je prouve qu'il y a aussi unicité.

[D1] P. Dreyfuss: 'Analyse numérique d'une méthode intégrale sans singularité - Application à l'électromagnétisme', thèse EPFL, sept. 1999. télécharger ma thèse

Plus récemment, j'ai analysé un problème issu de l'océanographie. Ici les coefficients (viscosités) par lesquels intervient le couplage peuvent devenir infinis. De plus l'un des second membre n'est a priori que dans L1. Malgré cela je montre l'existence de solution classique dans certains cas.

[A6] P. Dreyfuss: 'Results for a turbulent system with unbounded viscosities: weak formulations, existence of solutions, boundedness, smoothness', Nonlinear Analysis TMA 2008, 68-6: 1462-1478. télécharger l'article .