## LABORATOIRE J.A. DIEUDONNE

UMR CNRS-UNS N°7351
 Erwann Aubry Page in English

Maître de conférences (CV)
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 Adresse : Laboratoire J.A.Dieudonné UMR CNRS-UNS N°7351 Université de Nice Sophia-Antipolis Parc Valrose 06108 NICE Cedex 2 Téléphone : +33(0)4 89 15 05 39 Mail : Erwann.Aubry [at] unice [dot] fr Bureau : 608 (2ème étage)
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Domaines de Recherches
• Géométrie Riemannienne, Géométrie conforme, Théorie spectrale
• Théorèmes de comparaison, Rigidité et stabilité géométriques, Opérateurs covariants conformes
Membre du Réseau Platon (GDR CNRS n°3341) et du GDR Afhp.
Directeur Adjoint du département de mathématiques.
Enseignement
Enseignements 2010 - 2018
Publications
• Revues à comités de lecture

1. Avec Bruno Colbois, Patrick Ghanaat et Ernst Ruh
Curvature, Harnack's inequality, and a spectral characterization of nilmanifolds, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003), n° 3, 227--246. (Résumé).

For closed $$n$$-dimensional Riemannian manifolds $$M$$ with almost positive Ricci curvature, the Laplacian on $$1$$-forms is known to admit at most $$n$$ small eigenvalues. If there are $$n$$ small eigenvalues, or if $$M$$ is orientable and has $$n-1$$ small eigenvalues, then $$M$$ is diffeomorphic to a nilmanifold, and the metric is almost left invariant. We show that our results are optimal for $$n\geqslant 4$$.

2. Pincement sur le spectre et le volume en courbure de Ricci positive, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38 (2005), n°3, 387--405. (Résumé, pdf).

$$n$$-Manifolds with $${\rm Ric}\geqslant n-1$$ and $$n$$ eigenvalues close to $$n$$ are both Gromov-Hausdorff close and diffeomorphic to the canonical sphere. $$n$$-Manifolds with $${\rm Ric}\geqslant n-1$$ and volume close to $${\rm Vol}\;\mathbb{S}^n/\#\pi_1(M)$$ are both Gromov-Hausdorff close and diffeomorphic to a smooth space form $$\mathbb{S}^n/\pi_1(M)$$. These extend results of T.Colding, P.Petersen and T.Yamaguchi.

3. Finiteness of $$\pi_1$$ and geometric inequalities in almost positive Ricci curvature, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 40 (2007), n°4, 675--695. (Résumé, pdf).

Complete $$n$$-manifolds whose part of Ricci curvature less than a positive number is small in $$L^p$$ norm (for $$p>n/2$$) have bounded diameter and finite fundamental group. On the contrary, complete metrics with small $$L^{n/2}$$-norm of the same part of the Ricci curvature are dense in the set of metrics of any compact differentiable manifold.

4. Avec Jérôme Bertrand et Bruno Colbois
Eigenvalue Pinching on convex domains in space forms, Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009), 1-18. (Résumé, pdf)

In this paper, we show that the convex domains of $$\mathbb{H}^n$$ which are almost extremal for the Faber-Krahn or the Payne-Polya-Weinberger inequalities are close to geodesic balls. Our proof is also valid in other space forms and allows us to recover known results in $$\mathbb{R}^n$$ and $$\mathbb{S}^n$$.

5. Diameter pinching in almost positive Ricci curvature, Comm. Math. Helv. 84(2009), n°2, 223--233. (Résumé, pdf)

In this paper we prove a diameter sphere theorem and its corresponding $$\lambda_1$$ sphere theorem under $$L^p$$ control of the curvature. They are generalizations of some results due to S. Ilias.

6. Bounds on the volume entropy and simplicial volume in Ricci curvature $$L^p$$ bounded from below, Int. Math. Res. Notices 2009 (2009), n°10, 1933-1946. (Résumé, pdf)

Let $$(M,g)$$ be a compact manifold with Ricci curvature almost bounded from below and $$\pi: \overline{M}\to M$$ be a normal, Riemannian cover. We show that, for any non-negative function $$f$$ on $$M$$, the means of $$f\circ\pi$$ on the geodesic balls of $$\overline{M}$$ are comparable to the mean of $$f$$ on $$M$$. Combined with logarithmic volume estimates, this implies bounds on several topological invariants (volume entropy, simplicial volume, first Betti number and presentations of the fundamental group) in Ricci curvature $$L^p$$-bounded from below.

7. Avec Colin Guillarmou
Conformal harmonic forms, Branson-Gover operators and Dirichlet problem at infinity, J. Eur. Math. Soc (2011) n°13, 911--957. (Résumé, pdf)

For odd dimensional Poincaré-Einstein manifolds $$(X^{n+1},g)$$, we study the set of harmonic $$k$$-forms (for $$k < n/2$$) which are $$C^m$$ (with $$m\in N$$) on the conformal compactification $$\overline{X}$$ of $$X$$. This is infinite dimensional for small $$m$$ but it becomes finite dimensional if $$m$$ is large enough, and in one-to-one correspondence with the direct sum of the relative cohomology $$H^k(\overline{X},\partial\overline{X})$$ and the kernel of the Branson-Gover differential operators ($$L_k,G_k)$$ on the conformal infinity $$(\partial\overline{X},[h_0])$$. In a second time we relate the set of $$C^{n-2k+1}(\Lambda^k(\overline{X}))$$ forms in the kernel of $$d+\delta_g$$ to the conformal harmonics on the boundary in the sense of Branson-Gover, providing some sort of long exact sequence adapted to this setting. This study also provides another construction of Branson-Gover differential operators, including a parallel construction of the generalization of $$Q$$ curvature for forms.

8. Avec Jean-François Grosjean
Spectrum of hypersurfaces with small extrinsic radius or large $$\lambda_1$$ in Euclidean spaces. J. Funct. Anal. 271 (2016), no. 5, 1213–1242.(Résumé, pdf)

The Reilly and Hasanis–Koutroufiotis inequalities give sharp bounds on $$\lambda_1$$ and on the extrinsic radius of Euclidean hypersurfaces in terms of the $$L^2$$ norm of their mean curvature. The equality case of these inequalities characterizes the Euclidean spheres. In this paper, we study the spectral properties of the almost extremal hypersurfaces. We prove that the spectrum of the limit sphere asymptotically appears in the spectrum of almost extremal hypersurfaces for these inequalities. We also construct some examples of extremizing sequences that prove that the limit spectrum can be essentially any closed subset of $$\mathbb{R}^+$$ that contains the spectrum of the limit sphere. We also provide natural sharp condition to recover exactly the spectrum of the unit sphere.

• Prépublications

1. Avec Jean-François Grosjean et Julien Roth
Hypersurfaces with small extrinsic radius or large $$\lambda_1$$ in Euclidean spaces (2010) (Résumé, pdf).

Hypersurfaces of $$\mathbb{R}^{n+1}$$ which are almost extremal for the Reilly inequality on $$\lambda_1$$ and have $$L^p$$-bounded mean curvature are Hausdorff close to a sphere, have almost constant mean curvature and have a spectrum which asymptotically contains the spectrum of the sphere. The same result stands for the Hasanis-Koutroufiotis inequality on extrinsic radius. When a supplementary $$L^q$$ bound on the second fundamental is assumed, the almost extremal manifolds are Lipschitz close to a sphere when $$q > n$$, but not necessarily diffeomorphic to a sphere when $$q\leqslant n$$.

Ce papier ne sera pas publié. Il a été redécoupé et amélioré dans dans le papier suivant
J.-F. Grosjean, J. Roth, Eigenvalue pinching and application to the stability and the almost umbilicity of hypersurfaces Math. Z. 271 (2012), no. 1-2, 469–488.
et dans les deux papiers qui suivent.

2. Avec Jean-François Grosjean
Metric shape of hypersurfaces with small extrinsic radius or large $$\lambda_1$$ (2012) (Résumé, pdf).

We determine the Hausdorff limit-set of the Euclidean hypersurfaces with large $$\lambda_1$$ or small extrinsic radius. The result depends on the $$L^p$$ norm of the curvature that is assumed to be bounded a priori, with a critical behaviour for $$p$$ equal to the dimension minus $$1$$.

3. Avec Jean-François Grosjean
On the boundary of almost isoperimetric domains (2017) (Résumé, pdf).

We prove that finite perimeter subsets of $$\mathbb{R}^{n+1}$$ with small isoperimetric deficit have boundary Hausdorff-close to a sphere up to a subset of small measure. We also refine this closeness under some additional a priori integral curvature bounds. As an application, we answer a question raised by B. Colbois concerning the almost extremal hypersurfaces for Chavel's inequality.

4. Approximation of the spectrum of a manifold by discretization (Résumé, pdf).

We approximate the spectral data (eigenvalues and eigenfunctions) of compact Riemannian manifold by the spectral data of a sequence of (computable) discrete Laplace operators associated to some graphs immersed in the manifold. We give an upper bound on the error that depends on upper bounds on the diameter and the sectional curvature and on a lower bound on the injectivity radius.

• Revues sans comité de lecture et autres

1. Rapport de stage de Maîtrise sous la direction de G.Besson à l'UJF Grenoble.
Fonctions harmoniques sur les variétés Séminaire de Théorie spectrale et Géométrie, Vol 17, Année 1998--1999, 47--68. (Résumé, pdf)

On note (W) l'hypothèse de croissance du volume suivante.
(W) Il existe des constantes $$C_0$$ et $$\nu >0$$ tels que pour tout point $$x\in M$$ et tout couple de rayons $$r'\geqslant r >0$$, on a $$V_x(r')\leqslant V_x(r)C_0(\frac{r'}{r})^\nu$$ (où $$V_x(r)$$ est le volume de la boule géodésique de centre $$x$$ et de rayon $$r$$).
On note (M) l'inégalité de la moyenne suivante.
(M) Il existe $$\lambda >0$$ tel que pour tout point $$x\in M$$, pour tout rayon $$r > 0$$ et pour toute fonction sous-harmonique positive sur $$M$$, on a $$\lambda\int_{B_x(r)}f\geqslant V_x(r)f(x)$$ (où $$B_x(r)$$ désigne la boule géodésique de centre $$x$$ et de rayon $$r$$).

Il existe $$C(C_0,\nu) >0$$ tel que si $$M^n$$ est une variété Riemannienne complète vérifiant (W) et (M), E est un fibré vectoriel de rang $$m$$ sur $$M$$ et $$S$$ est un sous-espace linéaire de sections $$u$$ de $$E$$ vérifiant $$\Delta \|u\|^2\leqslant 0$$ et $$\|u\|\in O(\rho^d)$$ (où $$p\in M$$ et $$\rho(x)=d(x,p)$$), alors $${\rm dim}\, S\leqslant mC\lambda d^{\nu -1}$$.

2. Rapport de stage de DEA sous la direction de S.Gallot à l'UJF Grenoble
Théorème de la sphère Séminaire de Théorie Spectrale et Géométrie, Vol. 18, Année 1999--2000, 125--155. (Résumé, pdf)

On détaille une preuve des théorèmes de la sphère en courbure de Ricci positive de T.Colding et P.Petersen.

3. Thèse soutenue en Nov 2003 à l'UJF Grenoble sous la direction de S.Gallot.
Variétés de courbure de Ricci presque minorée: inégalités géométriques optimales et stabilité des variétés extrémales. (Résumé, pdf)

On s'intéresse à la géométrie des variétés de courbure de Ricci presque supérieure à $$k$$ (i.e. telle qu'une norme $$L^p$$-- locale ou globale--de la fonction ($$\underline{\rm Ric}-k)_-$$ soit petite, où $$\underline{\rm Ric}$$ est la plus petite valeur propre de la courbure de Ricci en $$x$$). On démontre sous cette hypothèse les équivalents des inégalités géométriques classiques de Myers, de Bishop-Gromov, de Lichnerowicz,... puis on caractérise les variétés qui réalisent presque les cas d'égalité (généralisant des travaux de T.Colding et de P.Petersen). Sur une variété compacte $$M^n$$ de courbure presque positive, le laplacien sur les $$1$$-formes a au plus $$n$$ petites valeurs propres. S'il a exactement $$n$$ petites valeurs propres ($$n-1$$ suffisent si $$M$$ est orientable) alors $$M$$ est difféomorphe à une Nilvariété et la métrique est presque invariante à gauche. Ces résultats découlent d'estimées analytiques établies dans la première partie de la thèse.

4. Notes de mon exposé au séminaire commun d'analyse géométrique (CIRM 2011) (Kleiner.pdf).
5. Notes de mes exposés sur la formule de trace de Selberg au groupe de travail de l'équipe GAD (2014) (Selberg.pdf).