Séminaire Géométrie, analyse et dynamique

Séminaire Géométrie, analyse et dynamique

(2021-2022)

Laboratoire Dieudonné-CNRS-UNS UMR 7351

Le Séminaire a lieu le Mardi à 11h00 en salle I du LJAD

Accès au laboratoire J.A. Dieudonné




Prochain exposé


Mardi 7 Juin            
     Pierre Jammes (LJAD)

Systole et petites valeurs propres des surfaces hyperboliques
Résumé

Un problème central de la géométrie spectrale des surfaces hyperboliques est l'étude des valeurs propres du laplacien contenues dans l'intervalle \([0,\frac14]\), de leur nombre et de leur éventuelle absence, avec comme motivation notable leur lien avec la dynamique du flot géodésique.

Un résultat essentiel dans ce domaine, obtenu par J.P.~Otal et E.~Rosas (2009) à l'aide d'une méthode topologique introduite par B.~Sévennec, est que sur une surface hyperbolique compacte de caractéristique d'Euler \(\chi\), le nombre de valeurs propres dans l'intervalle \([0,\frac14]\) est majoré par \(-\chi\). Cette borne est atteinte par des exemples connus de longue date.

Dans cet exposé, je montrerai que si la systole de la surface (c'est-à-dire la longueur de la plus petite géodésique périodique) dépasse une certaine constante explicite et indépendante de la topologie, alors la borne d'Otal et Rosas peut être améliorée. Autrement dit, les exemples ayant \(-\chi\) petites valeurs propres ne sont possibles que si la systole est inférieure à cette constante.


Au programme


Juin

Mardi 28 Juin            
     Xiaojun Huang (Rutgers University)
Holomorphic extension of multi-valued holomorphic functions on a Stein space with isolated singularities
Résumé

Classical Hartogs theorem says a single-valued holomorphic function extends to a whole domain if it is holomorphic at most away from a compact subset. The multi-valued Hartogs phenomenon was first studied by Kerner in 1962 for Stein manifold. A version of the classical Kerner's theorem for a singular Stein space with a compact strongly pseudoconvexboundary has been recently established by Huang-Xiao (Crelle's 2021) when the space has complex dimension at least 3. In this talk, I will discuss a joint paper with X. Li that answers the two dimensional case left open in the work of Huang-Xiao.



Exposés passés


Septembre

Mardi 7 Septembre      Alexis Drouot (University of Washington (US))
Dirac operators and topological insulators
Résumé

In this talk, I will study Dirac operators that emerge in the macroscopic analysis of topological insulators. I will analytically construct canonical edge states: coherent states that propagate along interfaces, but do not admit natural counter-propagating companions. I will illustrate the results with various numerical simulations.



Mardi 28 Septembre      Marc Chaperon (IMJ)
Faits élémentaires et questions naïves
Résumé

On propose ici un point de vue un peu dissident sur les singularités, où elles apparaissent comme limites de situations plus régulières et plus faciles à expliquer. Dans cet exposé, les cas singuliers sont quasi-périodiques, les plus réguliers étant périodiques.



Octobre

Mardi 5 Octobre      Xianghong Gong (University of Wisconsin - Madison (US))
Global Newlander-Nirenberg theorem for domains with \(C^2\) boundary
Résumé

The Newlander-Nirenberg theorem says that a formally integrable complex structure is locally equivalent to the standard complex structure in the complex Euclidean space. We consider two natural generalizations of the Newlander-Nirenberg theorem under the presence of a \(C^2\) strictly pseudoconvex boundary. When a given formally integrable complex structure \(X\) is defined on the closure of a bounded strictly pseudoconvex domain with \(C^2\) boundary \(D \subset \mathbb C^n\), we show the existence of global holomorphic coordinate systems defined on \(\overline{D}\) that transform \(X\) into the standard complex structure provided that \(X\) is sufficiently close to the standard complex structure. Using the global Newlander-Nirenberg theorem, we prove the existence of local one-sided holomorphic coordinate systems provided that \(M\) is strictly pseudoconvex with respect to the given complex structure. This is joint work with Chun Gan.



Mardi 12 Octobre      Zhiyan Zhao (LJAD)
Geometry of hyperbolic Cauchy-Riemann (CR) singularities and KAM-like theory for holomorphic involutions
Résumé

We consider the real analytic perturbed Bishop quadric surfaces in \((\mathbb{C}^2,0)\), having an isolated CR singularity at the origin. There are two kinds of stable CR singularities: elliptic and hyperbolic. The elliptic case was studied by Moser-Webster, where they showed that such a surface is locally, near the CR singularity, holomorphically equivalent to normal form from which lots of geometric features can be read off.



We focus on the hyperbolic case. As shown by Moser-Webster, such a surface can be transformed to a formal normal form by a formal change of coordinates (but usually not holomorphic in any neighborhood of origin). For a non-degenerate real analytic surface \(M\) having a hyperbolic CR singularity at the origin, we prove the existence of Whitney smooth family of curves intersecting \(M\) along holomorphic hyperbolas. This is shown by a KAM-like theorem for a pair of holomorphic involutions at the origin, a common fixed point. Joint work with L. Stolovitch.



Mardi 19 Octobre      Jonathan DeWitt (University of Chicago (US))
(en distanciel) Simultaneous Linearization of Diffeomorphisms of Isotropic Manifolds
Résumé

Suppose that M is a closed isotropic Riemannian manifold and that R_1,...,R_m generate the isometry group of M. Let f_1,...,f_m be smooth perturbations of these isometries. We show that the f_i are simultaneously conjugate to isometries if and only if their associated uniform Bernoulli random walk has all Lyapunov exponents zero. This extends a linearization result of Dolgopyat and Krikorian from S^n to real, complex, and quaternionic projective spaces.



Mardi 26 Octobre      Ao Cai (Universidade de Lisboa (Portugal))
Lyapunov exponent and spectrum of 1-d lattice Schrödinger operators
Résumé

In this talk, we will focus on two specific examples of dynamically defined 1-d lattice Schrödinger operators. Namely, the quasi-periodic model and the mixed random-quasiperiodic model. We will compare the influence of quasi-periodic potentials and random potentials on the Lyapunov exponent and the spectrum from the perspective of Metal-Insulator Transition. We show that randomness somehow dominates quasi-periodicity.



This includes a joint work with Pedro Duarte ( from University of Lisbon) and Silvius Klein (from PUC-Rio).



Novembre

Mardi 9 Novembre      Emmanuel Militon (LJAD)
Graphe des courbes fin et ensemble de rotation
Résumé

Pour une surface compacte S de genre supérieur ou égal à 1, on appelle graphe des courbes fin de S le graphe dont les sommets sont les courbes fermées simples de S et où l'on joint deux sommets par une arête si les deux sommets correspondent à deux courbes disjointes (ou qui n'ont qu'un seul point d'intersection si S est le tore). Le groupe des homéomorphismes de S agit par isométries sur ce graphe. Bowden, Hensel et Webb ont montré qu'un tel graphe est hyperbolique au sens de Gromov. Dans cet exposé, on se placera dans le cas où la surface S est le tore. On explorera les liens entre les propriétés dynamique d'un homéomorphisme du tore, notamment via un invariant dynamique appelé l'ensemble de rotation, et la classe d'isométrie, elliptique, parabolique ou hyperbolique, de son action sur le complexe des courbes fin. Travail en commun avec Jonathan Bowden, Sebastian Hensel, Kathryn Mann et Richard Webb.



Décembre

Vendredi 3 Décembre      Alexandre Sukhov (Université de Lille)
Sur les singularités réelles analytiques Levi-plates
Résumé

On va discuter des résultats récents sur la géométrie des hypersurfaces Levi-plates analytiques réelles près de points singuliers.



Janvier

Mardi 4 Janvier      Victor Vilaça Da Rocha (Georgia Tech, U.S.)
Etude de l'intermittence et de la flatness à travers la fonction non-différentiable de Riemann
Résumé

Il existe plusieurs façons de définir l'intermittence dans la théorie de la turbulence, comme par exemple la non gaussianité, le manque d'auto-similarité, ou encore la déviation de la théorie de Kolomogorov de 1941.

L'outil usuel pour mesurer l'intermittence est la flatness, qui mesure la variation de vitesse d'un fluide à petite échelle, à l'aide des fonctions de structure dans le domaine spatial, ou des filtres passe-haut dans le domaine des fréquences. Cependant, ces deux approches donnent des résultats différents dans certaines expériences.

Le but ici est d'étudier et comparer ces deux méthodes et de montrer que le résultat dépend de la régularité de la fonction étudiée. Pour ce faire, on utilise la fonction non-différentiable de Riemann. La motivation derrière ce choix vient de l'apparition de cette fonction dans l'étude de la turbulence, du formalisme multifractal, et dans l'étude des tourbillons filamentaires.

Il s'agit ici d'un travail en collaboration avec Daniel Eceizabarrena (University of Massachusetts Amherst).



Mardi 11 Janvier      Valentino Tosatti (McGill University (Canada))
(en distanciel) Smooth asymptotics for collapsing Ricci-flat metrics
Résumé

I will discuss the problem of understanding the collapsing behavior of Ricci-flat Kahler metrics on a Calabi-Yau manifold that admits a holomorphic fibration structure, when the Kahler class degenerates to the pullback of a Kahler class from the base. I will describe recent work with Hans-Joachim Hein where we obtain a priori estimates of all orders for the Ricci-flat metrics away from the singular fibers of the fibration. This is a consequence of an asymptotic expansion for the solution, which relies on a new analytic method where each additional term of the expansion arises as the obstruction to proving a uniform bound on one additional derivative of the remainder.



Mardi 25 Janvier      Viet Anh Nguyen (Université de Lille)
Equidistribution speed for Fekete points associated with an ample line bundle
Résumé

Let \(K\) be the closure of a bounded open set with smooth boundary in \(\mathbb{C}^n \). A Fekete configuration of order p for \(K\) is a finite subset of \(K\) maximizing the Vandermonde determinant associated with polynomials of degree ≤ p. A recent theorem by Berman, Boucksom and Witt Nyström implies that Fekete configurations for \(K\) are asymptotically equidistributed with respect to a canonical equilibrium measure, as p → ∞. We give here an explicit estimate for the speed of convergence. The result also holds in a general setting of Fekete points associated with an ample line bundle over a projective manifold. Our approach requires a new estimate on Bergman kernels for line bundles and quantitative results in pluripotential theory which are of independent interest.



This is a joint-work with Tien-Cuong Dinh and Xiaonan Ma.



Février

Mardi 8 Février      Jorge Mozo (Universidad de Valladolid (Espagne))
Feuilletages holomorphes nilpotents de type Poincaré-Dulac généralisé
Résumé

La classification analytique de feuilletages holomorphes de type nilpotent, en dimension deux, a été étudiée par divers auteurs. Dans cet exposé, on va parler d'un cas, que nous appelons Poincaré-Dulac généralisé. Dans la réduction de singularités de ces feuilletages, une singularité de type Poincaré Dulac apparaît. On verra qu'il y a un phénomène de rigidité pour ces feuilletages.



Il s'agit d'un travail en cours de rédaction en collaboration avec Percy Fernández (PUCP, Lima, Pérou).



Mars

Mardi 1 Mars      Gérard Iooss (LJAD et IUF)
Patterns and quasipatterns from the superposition of two hexagonal lattices
Résumé

Ce travail résulte d’une collaboration avec A. M. Rucklidge (Leeds)



We consider the Swift - Hohenberg PDE with quadratic as well as cubic nonlinearities, and look for solutions built with fhe superposition of two hexagonal lattices rotated by an angle ß with respect to each other. We prove existence of several new types of quasipatterns, in particular quasipatterns made from the superposition of hexagons and stripes (rolls) oriented in almost any direction and with any relative translation, and quasipatterns made from the superposition of hexagons with unequal amplitude (provided the coefficient of the quadratic nonlinearity is small). We consider the periodic case as well, and extend the class of known solutions, including the superposition of hexagons and stripes. For the quasiperiodic cases, the proofs follow the process used by the author with B.Braaksma and L.Stolovitch on a simpler problem.



Paper to appear in SIADS 2021.

https://math.unice.fr/~iooss/publis1/Io-Ruck2020.pdf



Mardi 8 Mars      Jessica Massetti (Università degli Studi Roma Tre (Italie))
On the existence of Weak Sobolev almost-periodic solutions for the 1-dimensional NLS
Résumé

Existence of almost periodic solutions (i.e. solutions which are limit, in the uniform topology in time, of quasi-periodic functions) for evolution PDEs is a tough problem, with a lot of open questions. Very few results are known on this topic and most of them deal with the construction of very regular solutions for semilinear parameter dependent PDEs (mainly the Nonlinear Schrödinger (NLS) equation). In this talk I shall discuss some recent results on the existence of finite regularity solutions of this kind for the translation invariant NLS. Actually our solutions typically solve the equation only in a weak sense, which constitutes, as far as we know, the first result on weak almost-periodic or quasi-periodic solutions for a PDE.



Mardi 15 Mars      Simon André (Université de Münster)
Groupes strictement 2-transitifs infinis simples de type fini
Résumé

Une action d’un groupe G sur un ensemble X de cardinal au moins 2 est dite strictement 2-transitive si, pour tous couples (x1,y1) et (x2,y2) de points distincts de X, il existe un unique élément de G envoyant x1 sur x2 et y1 sur y2. Par exemple, le groupe affine sur un corps K agit strictement 2-transitivement sur K ; notons que dans ce groupe les translations forment un sous-groupe abélien distingué. Pendant longtemps, on ignorait s’il existait des groupes strictement 2-transitifs autres que le groupe affine, mais Rips, Segev et Tent ont récemment construit les premiers exemples de groupes strictement 2-transitifs infinis sans sous-groupe abélien distingué non trivial. Dans mon exposé, j’expliquerai que l’on peut aller plus loin et construire des groupes strictement 2-transitifs infinis simples, et qui sont même, en outre, de type fini. Ces résultats sont issus de travaux avec Katrin Tent, et avec Vincent Guirardel.



Mardi 15 Mars      Martin Klimeš (Universität Wien, Autriche)
Analytic classification of reversible parabolic diffeomorphisms of (C^2,0) and of holomorphically flat exceptional hyperbolic CR-singularities
Résumé

A germ of analytic diffeomorphism of (C^2,0) is reversible if it is conjugated to its inverse by an analytic involution. It is parabolic if some of its iteration is tangent to the identity. The talk is about analytic classification of such diffeomorphisms with respect to conjugation under an additional condition on existence of an analytic first integral of Morse type. The obtained description is a generalization to a higher dimension of the Birkhoff, Ecalle & Voronin modulus of parabolic diffeomorphisms of (C,0).

A particular motivation comes from a problem of Moser & Webster of normal forms of certain CR-singularities of real-analytic surfaces in C^2. We address this problem for holomorphically flat surfaces (those contained in a real hyperplane) in the, so called, exceptional hyperbolic case.

The talk is based on a joint work with Laurent Stolovitch.



Mardi 22 Mars      Boris Wembe (Paul Sabatier University - Toulouse III)
Problèmes de Navigation de Zermelo sur les Surfaces de Révolution
Résumé

Ce travail est motivé par le problème historique posé par Zermelo-Carathéodory [1] qui consiste à minimiser le temps de transfert d'un navire naviguant à vitesse constante sur une rivière et visant à atteindre la rive opposée. Le contrôle étant l'angle de cap du navire. Ce problème historique peut être défini dans un cadre plus général, en prenant une surface de révolution avec la métrique riemannienne induite, le courant étant un champ de vecteurs sur la surface, invariant par rotation. La surface se décompose alors en domaines de courant faible et fort, le second étant celui où la vitesse du courant ne peut être compensée par la vitesse du navire.



L'analyse du problème se fait en utilisant le principe du maximum de Pontryagin pour déterminer les courbes géodésiques, candidates en tant que minimisantes, et pour analyser le ot géodésique afin de déterminer les points conjugués et de coupure, en utilisant des méthodes géométriques et numériques pour calculer les ensembles d'accessibilité et leurs limites, en relation avec les propriétés de régularité de la fonction temps minimale. On s'intéresse en particulier à l'étude qualitative du flot géodésique en lien avec la classification des trajectoires et à l'étude de la fonction temps minimale en lien avec la construction d'une synthèse optimale du problème. Pour la classification du flot, on définit un cadre dans lequel on introduit une nouvelle méthode de classfication des géodésiques, s'appuyant sur la classification de Morse en géométrie, afin de stratifier le flot selon la nature topologique des trajectoires. Cette méthode permet alors d'exhiber des composantes de Reeb en contrôle optimal, trajectoires séparatrices du flot avec des propriétés particulières. Pour la construction d'une synthèse optimale, on présente des résultats permettant de décrire les lieux conjugués et de coupure. On étudie en particulier, dans le cas d'un courant fort, les phénomènes nouveaux qui apparaissent, en lien avec la perte d'optimalité des géodésiques. En fin, on présente brièvement deux cas d'études analysés en détail dans [3] en lien avec le déplacement d'une particule passive au voisinage d'un vortex en hydrodynamique et un toy modèle en mécanique spatiale lié au transfert orbital avec une faible impulsion.







Références :

[1] C. Carathéodory, Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order, Part 1, Part 2. Holden-Day, San Francisco, California, 1965-1967; Reprint: 2nd AMS printing, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, USA (2001), 412 pages.

[2] B. Bonnard, O. Cots, J. Gergaud, B. Wembe, Abnormal Geodesics in 2D-Zermelo Navigation Problems in the Case of Revolution and the Fan Shape of the Small Time Balls. To appear at System Control & Letters, hal-02437507 (2021).

[3] B. Wembe, Méthodes Géométriques et Numériques en Contrôle Optimal et Problèmes de Zermelo sur les Surfaces de Révolution - Applications, Phd thesis, Université Toulouse Paul Sabatier, Toulouse, 2021.



Mardi 29 Mars      Ivan Beschastnyi (Universidade de Aveiro, Portugal)
Théorèmes de l'indice de Morse pour les problèmes de contrôle optimal paramétrés par les graphes
Résumé

Dans de nombreuses applications, on trouve le problème de l'immersion minimale d'un graphe dans une variété. Ce type de problèmes généralise les problèmes standards de contrôle optimal, où l'on cherche une immersion minimale d'un intervalle. Dans cet exposé, j'explique comment on peut écrire des conditions de minimalité du premier et du second ordre en utilisant les outils de la géométrie symplectique. C'est un travail avec A. Agrachev et S. Baranzini.



Avril

Mardi 5 Avril      Lucas Kaufmann (IBS Center for Complex Geometry, Corée du Sud )
Marches aléatoires sur SL_2(C) via dynamique holomorphe
Résumé

Étant donné une suite de matrices aléatoires, c'est un problème classique d'étudier les propriétés statistiques de leur produit. Cette théorie remonte aux travaux fondamentaux de Furstenberg, Kesten, etc. et est toujours un sujet de recherche très actif. Dans cet exposé, je montrerai comment une nouvelle approche avec les méthodes d'analyse complexe et des analogies avec la dynamique holomorphe offrent un nouveau point de vue à ce problème. Ces techniques nous permettent de démontrer de nouveaux théorèmes limites pour ces processus aléatoires, souvent dans leur version optimale.



Mardi 5 Avril      Maxime Fairon (University of Glasgow/ Loughborough University)
Réduction géométrique des systèmes intégrables CM/RS
Résumé

Les systèmes de Calogero-Moser (CM) et Ruijsenaars-Schneider (RS) sont deux familles de systèmes intégrables qui décrivent l'interaction d'un nombre fini de particules contraintes de se déplacer dans un espace de dimension 1. Un problème important en physique mathématique consiste à obtenir la dynamique hamiltonienne de ces systèmes, qui est en général très difficile à dériver. Mon premier but est d'expliquer certaines approches géométriques à ce problème, qui permettent de construire les espaces de phases de tels systèmes (et les flots correspondants) par un procédé de réduction en géométrie de Poisson. Mon second but est de présenter de nouveaux cas où un tel procédé de réduction existe. En particulier, je compte introduire une conjecture formulée par Arutyunov et Frolov en 1998 au sujet d'un tel système dans le cas holomorphe, que j'ai récemment résolue avec O. Chalykh (Leeds). Je souhaite aussi parler de la version réelle de ce résultat, qui est un travail en cours avec L. Fehér (Szeged).



Mardi 12 Avril      Nicolas Augier (LAAS-CNRS)
On the use of quasi-resonant controls in quantum control
Résumé

This talk will be dedicated to an averaging approximation (Rotating Wave Approximation) which allows to duplicate controls in the quantum setting by using quasi-resonant control fields. I will present some recent results concerning the possibility to apply adiabatic control strategies to the effective dynamics, and give some ensemble controllability results and conjectures.



Mardi 12 Avril      Hussein Cheikh Ali (Université Libre de Bruxelles)
La deuxième meilleure constante pour l’inégalité de Hardy-Sobolev sur les variétés
Résumé

On considère la deuxième meilleure constante pour l’inégalité Hardy-Sobolev sur une

variété riemannienne. Plus précisément, on s’intéresse à l’existence des fonctions extrémales

pour cette inégalité. Ce problème a été étudié par Djadli-Druet pour les inégalités de

Sobolev. Ici, on établit le résultat correspondant pour le cas singulier. De plus, on effectue

une analyse de “blow-up” pour une équation de Hardy-Sobolev de type minimisante.

Cela nous donne des informations sur la valeur de la deuxième meilleure constante dans

l’inégalité fonctionnelle riemannienne associée.



Mai

Mardi 10 Mai      David Damanik (Université Rice, États-Unis)
Johnson's Approach to Gap Labelling
Résumé

We give an introduction to the gap labelling theorem, originally due to Jean Bellissard et al. Gap labelling involves the identification of a set of natural labels of spectral gaps of dynamically defined operators that only depends on the base dynamics and is uniform in the sampling function. In the special case of one-dimensional Schrödinger operators we present Russell Johnson's approach to this result, which is based on the Schwartzman homomorphism. We also discuss some recent applications of gap labelling, obtained in collaboration with Artur Avila, Jake Fillman, and Anton Gorodetski.



Mardi 17 Mai      Alain Albouy (IMCCE)
Existence de solutions positives pour un oscillateur harmonique forcé positivement.
Résumé

(avec Antonio J.\ Ureña)



Le résultat suivant, malgré sa simplicité, semble nouveau :



L'équation différentielle \(u''+u=h(\theta)\), où le forçage \(h\) est positif, périodique de période \(2\pi\) mais sans harmonique résonant, possède des solutions positives.



Ce que l'on appelle les harmoniques résonants sont les termes en \(\cos\theta\) et en \(\sin\theta\) de la série de Fourier de \(h\). Leur non-nullité interdit l'existence de solutions positives et de solutions périodiques. Leur nullité garantit que toutes les solutions sont périodiques de période \(2\pi\).



La seule preuve que nous connaissons est une simple traduction en terme de convexité. J'expliquerai des résultats très simples et très utiles sur la dérivation des fonctions homogènes. J'en présenterai quelques applications, dont celle qui a donné notre résultat : une généralisation due à Jacobi du problème de Kepler, pour laquelle nous cherchions à prouver l'existence d'orbites fermées.




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Organisation: Zhiyan Zhao (écrire) et Emmanuel Militon (écrire)