Séminaire Géométrie, analyse et dynamique

Séminaire Géométrie, analyse et dynamique

(2020-2021)

Laboratoire Dieudonné-CNRS-UNS UMR 7351

Le Séminaire a lieu le Mardi à 14h00 en salle I du LJAD

Accès au laboratoire J.A. Dieudonné




Prochain exposé


Mardi 8 Décembre            
     Frank Loray (Université Rennes 1)

(en distanciel) Voisinages de courbes dans les surfaces complexes
Résumé

Nous considérons le problème de classification des voisinages de courbes (complètes lisses et irréductibles) dans les surfaces complexes (non nécessairement compactes). Nous rappellerons des résultats classiques de Grauert, Arnol'd, Ilyashenko, ... spécialement dans le cas des courbes rationnelles et elliptiques. Nous terminerons par énoncer le résultat de classification récemment obtenu en collaboration avec Frédéric Touzet et Sergei Voronin pour les voisinages de courbes elliptiques avec fibré normal de torsion.


Au programme


Décembre

Mardi 15 Décembre            
     Mauricio Garay (Lycée Franco-Allemand Buc)
(en distanciel) Déformations verselles de champ de vecteurs singuliers
Résumé

(Travail en commun avec Duco van Straten). Lorsqu'un point singulier d'un champ de vecteurs traverse une résonance, un cône invariant formel apparaît. Dans les années soixante-dix, Pyartli a prouvé que pour la résonance (−1,1), le cône est en fait analytique et est la dégénérescence d'une famille de cylindres invariants. Dans sa thèse, Stolovitch a établi un nouveau type de forme normale et a prouvé que pour une résonance simple et dans des conditions arithmétiques, le cône est (le germe) d'une variété analytique. Dans cet article, nous prouvons un théorème de déformation verselle pour les champs de vecteurs analytiques avec une singularité isolée sur des ensembles de Cantor. Notre résultat implique que, dans des conditions arithmétiques, le cône résonnant de Stolovitch est, comme dans l'exemple de Pyartli, la dégénérescence d'un ensemble de variétés invariantes. Pour la bifurcation multi-Hopf, c'est-à-dire pour la résonance (−1,1)^d, cela implique l'existence de tores portant des mouvements quasi-périodiques. Ce résultat généralise des résultats antérieurs de Chenciner et Li pour les cas n=2 et n=3. La démonstration est basée sur la théorie abstraite des foncteurs de Banach et la théorie générale des formes normales qui en découle.



Janvier

Mardi 12 Janvier            
     David Sauzin (CNRS-Paris IMCCE PSL Research University)
(en distanciel)


Mardi 19 Janvier            
     Zhuchao Ji (Fudan University (Chine))
(en distanciel)


Avril

Mardi 20 Avril            
     Claire Chavaudret (IMJ-PRG)
TBA


Exposés passés


Octobre

Mardi 20 Octobre      Laurent Stolovitch (LJAD)
Equivalence de voisinages de variétés complexes compactes plongées et feuilletages holomorphes
Résumé

Dans ce travail en collabaration avec X. Gong (Madison), nous considèrons une n-variété complexe compacte C plongée dans une variété complexe de dimension n+d. On s'interesse à la classification holomorphe des voisinages de C, faisant partie du programme 'Formale Prinzip" de Grauert. Nous donnons des conditions suffisantes qui assurent qu'un tel voisinage soit biholomorphe à un voisinage de la section nulle dans son fibré normal. Cela étend les résultats d' Arnold concernant les voisinages d'un tore plongé dans une surface avec auto-intersection nulle. Nous montrons aussi l'existence d'un feuilletage holomorphe au voisinage de C qui admet C comme feuille. Ces deux problèmes apparaissent comme des problèmes de "linéarisation" qui repose des notion appropriés des "résonances" et "petits diviseurs".



Novembre

Mardi 10 Novembre      Thibault Lefeuvre (IMJ)
(en distanciel) Propriétés dynamiques génériques des connexions sur les fibrés vectoriels
Résumé

Etant donné une variété riemannienne fermée (M,g) et un fibré vectoriel hermitien E -> M équipé d'une connexion unitaire, on peut se demander dans quelle mesure l'holonomie de la connexion le long des géodésiques périodiques détermine la connexion (à un terme de jauge près). Dans le cas où (M,g) est à courbure négative, il s'agit d'un problème analogue à la fameuse conjecture de géométrie de Burns-Katok-stipulant que le spectre marqué des longueurs (i.e. la donnée de la longueur des géodésiques périodiques marquée par l'homotopie libre de la variété) devrait déterminer la structure riemannienne -mais plus simple car linéaire "par nature". J'expliquerai ce problème, ainsi que les obstructions à le résoudre, dont notamment l'existence potentielle de "tenseurs de Killing conformes tordus" ; je montrerai que génériquement, ces obstructions ne sont pas présentes. Il s'agit de travaux en collaboration avec Mihajlo Cekic.



Mardi 17 Novembre      Ludovic Sacchelli (LAGEPP)
(en distanciel) Localisation et uniformité des asymptotiques de noyaux de la chaleur sous-riemanniens
Résumé

La méthode de Molchanov offre une approche systématique pour la construction d’asymptotiques en temps petit de noyaux de la chaleur sous-riemanniens. Les développements asymptotiques sont fortement liés à la structure des géodésiques minimisantes entre deux points. Si la forme normale de l’application exponentielle est suffisamment explicite au voisinage d’une géodésique minimisante, des développements asymptotiques complets peuvent en principe être donnés. Il est néanmoins possible d’exhiber des métriques pour lesquelles l’application exponentielle est particulièrement dégénérée. Cette approche permet en outre d’obtenir des bornes a priori des noyaux qui sont uniformes sur les compacts sans anormales minimisantes.

En collaboration avec Robert Neel.



Mardi 24 Novembre      Yacine Chitour (Université Paris-Saclay)
(en distanciel) Fuller Singularities for generic control-affine systemes
Résumé

We study how bad can be the singularities of a time-optimal trajectory of a generic control affine system. Under the assumption that the control has an even number of scalar components and belongs to a closed ball, we prove that singularities cannot be, generically, worse than finite order accumulations of Fuller points, with order of accumulation lower than a bound depending only on the dimension of the manifold where the system is set. Joint work with F. Boarotto and M. Sigalotti.



Décembre

Mardi 1 Décembre      David Sauzin (CNRS-Paris IMCCE PSL Research University)
(en distanciel) Introduction to Resurgence theory and Alien Calculus
Résumé

Resurgence theory was developed by J.Ecalle in the 1980s to deal with divergent series originating with dynamical system problems. Based on Borel-Laplace summation, it defines interesting subalgebras of the space of formal series, in which the so-called alien derivations act. This is an infinite family of operators satisfying the Leibniz rule, which happen to generate a free Lie algebra. Using these operators, one is naturally led to go from series to transseries to measure resummation ambiguities. Resurgence is used in mathematical problems involving differential or difference equations (giving rise to moduli spaces for analytic dynamical systems), but also in mathematical physics, in relation with WKB expansions and more recently string theory and quantum field theory. I'll illustrate the basic definitions and facts of resurgence theory on some examples.




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Organisation: Zhiyan Zhao (écrire) et Emmanuel Militon (écrire)