partie 1)   INTERPOLATION DE FONCTIONS PAR DES POLYNOMES de degre r>=0

    a) AU TABLEAU

Introduction sur ce qui signifit ``Interpoler une fonction par un polynome''

Choix de la base pour ecrire les polynomes.

Definition de polynome d'interpolation (preuve de l'existence et de l'unicite de ce polynome)

Construction en 1D du polynome d'interpolation par la methode de Lagrange, de Newton, de la matrice de Vandermonde V

Construction en 2D du polynome d'interpolation par la methode de la matrice de Vandermonde V.

Presence et signification de la constante de Lebesgue dans l'estimation de l'erreur d'interpolation en norme infinie.

     b) EN SALLE MACHINE  (SCilab)

Construction du polynome sur differents ensembles de points (uniformes or non uniformes comme ceux de  Tchebychev)

Influence du choix de la base (canonique ou Legendre) de polynomes sur le conditionnement de la matrice V

Comparaison du comportement par rapport au degre d'interpolation r de la constante de Lebesgue 
quand les points sont uniformement distribues ou pas sur le domaine d'interpolation.

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partie 2)   ELEMENTS FINIS

     a) AU TABLEAU 

Definition d'un  element fini  comme triplet constitue'            
      d'un support geometrique,         
       d'un espace de polynomes, 
        d'un ensemble de degres de liberte (avec la propriete d'unisolvence).

Definition de maillage  et  ce qui servira au niveau numerique pour definir un maillage

Formulation variationnelle  forte et formulation variationnelle discrete

Equivalent matriciel du probleme  discret: Calcul des integrales par formules de quadratures, assemblage

Imposition de conditions au bord de type Dirichlet, Neumann et mixte

Equation Advection-diffusion.


     b) EN SALLE MACHINE   (Scilab)

Implementation ``from scratch'' d'un code EF pour la resolution de  -a u'' + b u = f  sur un intervalle
avec conditions au bord de Dirichlet.
Pour ce probleme, on a fait en 1D 
               le code pour les EF de degre  1 
                    le code pour les EF de degre  2 
         avec dans les deux cas, l'etude du comportement de l'erreur d'approximation en fonction de h

On a programme' la construction d'un maillage en 2D (domaine carre' divise' en petits carres, chaque en 2 triangles)

On a fait le code pour le pb    -Laplacien de u + u = f  avec condition de Dirichlet homogenes et non-homogenes 

On est revenu a' 1D, pour l'eq de diffusion advection et voir des exemples de stabilisation en EF.

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partie 3)   ELEMENTS FINIS en espace + DIFFERENCES FINIES en temps  


Pb de Cauchy  sur un intervalle de temps [0,T], T>0.

    Trouver y(t) (trajectoire) en connaissant la position initiale y(0) = y_0 
                                           et la vitesse a' chaque instant     y'(t) = g(t,y(t))  


Principe de la methode des differences finies :
      le domaine [0,T] continu est remplace' 
          par un nombre fini de pas temporels  t_k = 0 + k dt, avec dt = T/N, k = 0, N
      la derivee temporelle en  t_k  par un rapport incremental 

Discretisation du pb de Cauchy par theta-methode (theta dans [0,1])
 
    (y_{k+1} - y_k)/dt  =  theta g_{k+1} + (1-theta) g_k         k= 0, N

        avec y_{k+1} l'inconnue a' chaque pas    (  y_{k+1} est une approximation de y(t_{k+1})  
           g_k = g(t_k, y_k)

    1) signification de ``schema implicit'' et ''schema explicit''

    2) etude de l'erreur de troncature      
 
         err = (y_ex(t_{k+1}) -  y_ex(t_k) - theta y_ex'(t_{k+1}) - (1-theta) y_ex'(t_k)  ) / dt

         err = c (dt)^a + reste    (a sera l'ordre de la methode)      

    3) etude de la stabilite' de la suite {y_k}_k pour k --> +oo  sur le pb modele

          y'(t) = - L y(t)   pour   t>0 ,  L reel positif
          y(0) = 1

      pour lequel on connait la solution exacte  y_ex(t) = exp(-L t) qui tend a' 0 pour t --> +oo

      En demandant que la solution numerique {y_k}_k reste bornee pour k --> +oo on peut
      deriver    une condition de stabilite' sur le pas de temps dt pour   theta dans [0,1/2]

   
Discretisation de l' Equation de la chaleur en 1d par EF de Lagrange d'ordre 1 et en temps par la mathode theta 


     b) EN SALLE MACHINE   (Scilab)

Implementation du code pour l'eq de la chaleur et verification de l'ordre de convergence et de 
     la condition de stabilite sur le pas de temps pour certaines valeurs de theta