Des regles en integration 
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On souhaite calculer l'integrale 
                 _ b
                /  
          I  = /  f(x) dx   
              /
            -- a

mais il faut savoir que ce n'est pas toujours possible de le faire EXACTEMENT.
EN generale, on calculera une valeur APPROCHEE (comme explique' plus bas).
Il existe des formules pour calculer l'integrale avec une tres grande precision,
mais c'est une autre histoire.


Dans le cas ou' on connait une primitive F : [a,b] --> R de la fonction f sous le signe d'integrale
c'est-a'-dire une fonction F derivable sur [a,b] et telle que sa derivee F'(x) = f(x)
en tout point x de [a,b],
alors le theoreme fondamentale du calcul de l'integrale de Riemann atteste que 

                     |b
            I = F(x) |    =  F(b) - F(a).
                     |a

Il faut connaitre les primitives AU MOINS des fonctions  dont vous connaissez la derivee'.

Il peut etre utile de faire des passages mathematiques pour transformer
l'integrale donne' dans un autre plus abbordable.
On peut donc faire une integration par parties ou un changement de variable 
comme explique' ci-dessous.

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Integration par parties

On s'appuie sur la regle de derivation d'un produit de fonctions 
     (f g)' = f' g + f g'

pour integrer par exemple  la fonction f' g   en utilisant   l'integrale de la fonction [ (f g)'- f g' ]

                 _ b                                          _ b
                /                                            / 
          I  = /  f'(x) g(x) dx  =  (f g)(b) - (f g)(a)  -  /   f(x) g'(x) dx
              /                                            /
            -- a                                         -- a

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Changement de variable

  soit   x = phi(t)   le changmenet de variable avec

    phi : [alpha, beta] --> [a,b]
     une fonction derivable et strictement monotone sur [alpha, beta]
        telle que   phi(alpha) = a  et   phi(beta) = b 
                 et   dx = phi'(t) dt

   Si phi est croissante, alors  
            ( etant a < b  , on obtient  phi(a) < phi(b) 
                                   donc  alpha < beta    et     phi'(t) > 0 )

                 _ b                 _ beta
                /                   / 
          I  = /  f(x) dx  =       /   f( phi(t) )  phi'(t) dt
              /                   /
            -- a                -- alpha

  Si phi est decroissante, alors 
            ( etant a < b  ,  on obtient  phi(a) >  phi(b) 
                                   donc   alpha  >  beta    et    phi'(t) < 0 
                  et les deux signes negatifs qui appairessent s'eliminent entre eux )

  Dans les deux cas, on calcule la meme chose.

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Calcul numerique d'un integrale  (on peut le programmer sur un ordinateur)
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On peut TOUJOURS calculer une valeur approchee de l'integrale donne'
en utilisant une formule de quadrature
                                           N
                 _ b                       _ 
                /                         \   
          I  = /  f(x) dx  approche' par  /   f(x_k) w_k = S (somme)
              /                           --
            -- a                         k = 1  

   avec  les noeuds de la formule  x_k dans [a,b] 
         les poids de la formule  w_k (de preference positifs) et tels que
  
             w_1 + w_2 + ... + w_N = (b-a)  (la somme des poids fait la mesure de l'intervalle)   
   
  On a vu trois formules de quadrature

    i) la formule du point de milieu

        L'integrale est approche' par l'aire du rectangle de base (b-a) et hauteur f( (a+b)/2 )
            donc   x_1 =  (a+b)/2    et    w_1 = (b-a)

                  S =  (b-a) f( (a+b)/2 )
         
        Si la fonction f est un polynome de degre' 1  (du type c_0 + c_1 x) la formule est exacte.

   ii) la formule des trapezes

        L'integrale est approche' par l'aire du trapeze de base mineure f(a) 
                                                           base majeure f(b)
                                                           et hauteur (b-a)

        donc   x_1 = a, x_2 = b, w_1 = (b-a), w_2 = (b-a)

                  S = ( f(a) + f(b) ) (b-a)/2

        Si la fonction f est un polynome de degre' 1  (du type c_0 + c_1 x) la formule est exacte.

  iii) la formule de Cavalieri-Simpson

        L'integrale est approche' par l'aire de la surface delimitee par les droites
            y = 0, x = a, x = b et la parabole qui passe par les points
                              (a, f(a)), ( (a+b)/2,  f( (a+b)/2) )  et   (b, f(b)) 

        donc  x_1 = a, x_2 = (a+b)/2, x_3 = b,  w_1 = (b-a)/6,  w_2 = 4(b-a)/6, w_3 = (b-a)/6  

               S = ( f(a) + 4 f( (a+b)/2 ) + f(b) ) (b-a)/6

        Si la fonction f est un polynome de degre' 2 (du type c_0 + c_1 x + c_2 x^2) la formule est exacte.