Les fonctions uniformement continues sur un INTERVALLE (jamais en un point)
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Def : Soit f : I --> R une fonction, I intervalle de R
        f est uniformement continue sur I si
          pour tout epsilon>0 il existe un delta>0 (qui depend seulement du epsilon) tel que
            pour tout couple de points differents de I, x_1, x_2 on a 
              (|x_1 - x_2|< delta  implique  |f(x_1) - f(x_2)| < epsilon)

 Prop: si f est uniformement continue sur I alors f est continue en tout point de I

 Remarque: en generale, une fonction continue en tout point d'un intervalle I
             n'est pas uniformement continue sur I, pour un intervalle I quelconque

 Prop: Soit I = [a,b] (ferme' et borne'): Toute fonction continue sur cet intervalle I est uniformement continue sur I 



Les fonctions Lipschitziennes
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Def : Soit f : I --> R une fonction, I intervalle de R
        On dit que f est Lipschitzienne sur I 
          s'il existe une constante reelle  k>0 (constante de Lipschitz de f) telle que
            pour tout couple de points x_1, x_2 differents dans I on a  |f(x_1) - f(x_2)|<= k |x_1 - x_2|

 Prop: Si f : I-->R est lipschitzienne sur I alors f est uniformement continue sur I
    (preuve faite en cours, il suffit de choisir delta = espilon * k/(k+1) )
 
 Prop: Soit f :I -->R  derivable sur I.
      f est Lipschitzienne sur I si et seulement si f' est bornee sur I

  (la constante de Lipschitz de f sera k = ||f'||_oo, 
           ou' ||g||_oo est la norme infinie d'une fonction g:I-->R, c'est-a'-dire 
                ||g||_oo = sup_{x dans I} |g(x)| ) 



Des proprietes de la fonction f'
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1) theoreme de Darboux ou theoreme des valeurs intermediaires sur [a,b] pour f':

     Soit f : ]a,b[ --> R une fonction derivable sur ]a,b[,
        et x_1,x_2 deux points differents dans ]a,b[.
          Alors, f' prend toutes les valeurs comprises entre f'(x_1) et f'(x_2).

   De ce theoreme, on deduit que f' est une fonction qui peut etre soit continue sur ]a,b[
       soit presenter une (ou plus)  discontinuite' de 2nde espece

2) definition de primitive d'une fonction phi   (*** verifier les cahiers, j'ai peut-etre fait une faute d'ecriture ***)

      Soit  phi : ]a,b[ --> R.
      On dit que f est une primitive de phi sur ]a,b[ si f est derivable sur ]a,b[ et f'(x) = phi(x) pour tous x dans ]a,b[

      remarque 1) si une fonction phi a une primitive f, elle en a une infinite' (toutes les f + c, avec c constante reelle)

      remarque 2) si phi a une (ou plus) discontinuite de 1ere espece, elle ne peut pas avoir une primitive

3) monotonie de la fonction f' 

      Soit f : ]a,b[ --> R une fonction derivable sur ]a,b[.
          f est croissante sur ]a,b[   si et seulement si  f' >= 0 sur ]a,b[ 

      Avec une preuve similaire a' celle faite au tableau, on peut aussi montrer que
          f est strictement croissante sur ]a,b[   si et seulement si  f' > 0 sur ]a,b[ 

          f est decroissante sur ]a,b[   si et seulement si  f' <= 0 sur ]a,b[ 
          f est strictement decroissante sur ]a,b[   si et seulement si  f' < 0 sur ]a,b[   
         
4) Extrema de fonction

      Soit f :]a,b[ --> R une fonction derivable dans ]a,b[ et soit x_0 un point dans ]a,b[ tel que f'(x_0) = 0.
         Alors x_0 est un point de maximum local pour f si f'> 0 pour x < x_0 et f'< 0 pour x > x_0
               x_0 est un point de minimum local pour f si f'< 0 pour x < x_0 et f'> 0 pour x > x_0 

5) Theoreme de de l'Hopital (pour resoudre les formes indeterminees [0/0], [oo/oo]

    Soient a,b dans Rbar = R U {+oo} U {-oo}, avec a<b, et on considere l'intervalle I = ]a,b[
    Si les conditions suivantes sont verifiees :
          (i)    lim_{x-->a^+} f(x) = lim_{x-->a^+} g(x) = 0  ou  +oo  ou  -oo  
          (ii)   f, g derivable in ]a,b[ avec g'(x) differente de 0 sur ]a,b[
          (iii)  lim_{x-->a^+} ( f'(x) / g'(x) ) = L  
    alors 
            lim_{x-->a^+} ( f(x) / g(x) ) = L
 
    (meme chose, pour x -->b^-). Preuve faite au tableau dans le cas [0/0].


6) Inegalite des accroissement finis (IAF)

   Si on connait un encadrement pour f' sur l'intervalle I=[a,b] du type     m <=  f' <= M
    on peut encadrer f(b)
         f(a) + m (b-a) <=  f(b)  <= f(a) + M (b-a)
    on peut encadrer f(a)
         f(b) - M (b-a) <=  f(a)  <= f(b) - m (b-a)
    on peut encadrer f(x) en tout point de I (en passant par I = [a,x] U [x,b] )
        max { f(a)+m(x-a) , f(b)-M(b-x) }  <=  f(x)  <=  min {  f(a)+M(x-a) , f(b)-m(b-x) } 

   On peut aussi determiner le voisinage de x_0   de la forme ]x_0-delta, x_0+delta[ pour que   alpha < f < beta 

                  (beta-alpha) ~ M (2 delta)   d'ou'   delta ~  (beta-alpha)/2/M