Soit f : I --> R et x_0 un point dans I

Le polynome de Taylor
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On dit qu'une droite  y = y_0 + m (x-x_0), avec m dans R,
   a un contact d'ordre ZERO avec f en x_0 si    y_0 = f(x_0)           

Donc, une droite a un contact d'ordre ZERO avec f en x_0 si elle passe par le point (x_0, f(x_0))

On dit qu'une droite  y = y_0 + m (x-x_0)
   a un contact d'ordre UN avec f en x_0 si      y_0 = f(x_0)  ET  m = f'(x_0)             

Donc, une droite a un contact d'ordre UN avec f en x_0 si la droite passe par le point (x_0, f(x_0))
   et de plus elle est tangente au graphe de f en (x_0, f(x_0))

On va generaliser, et arriver a'  parler de contact d'ordre n >=0  entre un polynome et une fonction f en x_0

    notation :     f^(k) (x_0)  =  derivee d'ordre k de f evaluee en x_0
                                       si k = 0, alors f^(0)(x_0) = f(x_0),  si k = 1, alors f^(1)(x_0) = f'(x_0). 
         
    notation :     k! = 1*2*3* ..... *(k-1)*k     avec  0! = 1  (factoriel d'un entier k) 
                     

Le polynome     p = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + .... + a_n (x-x_0)^n
    a un contact d'ordre n avec f en x_0 si et seulement si
                    a_k = f^(k)(x_0) / k!
                    

Def 1) Le polynome de Taylor d'ordre n de f en x_0 est le seul polynome de degre' au plus n, qui a un contact d'ordre n en x_0 avec f
        Son expression en fonction de x est
              T  =  f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + (f^(2)(x_0)/2!)(x-x_0)^2 
                                        + (f^(3)(x_0)/3!) (x-x_0)^3 + ..... + (f^(n)(x_0)/n!) (x-x_0)^n.



Prop :   Soit T[.] le polynome de Taylor d'ordre n en x_0 de la fonction entre [ ]. On a les proprietes suivantes: 

          T[f+g]  = T[f] + T[g]     (f,g fonctions)  
              
          T[c*f]  = c * T[f]       (c constante, f fonction)
 
          T_n[f']   = ( T_{n+1}[f] )' 

          T[p] = p  pour tout polynome p de degree n


Le Developpement Limite (ou de Taylor) de f en un point x_0
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Un developpememt limite' est une expression composee de DEUX parties :   un POLYNOME   +    un RESTE

Il a par but de remplacer l'expression d'une fonction compliquee par celle d'un polynome dans le voisinage d'un point x_0 
    pour pouvoir, par exemple, calculer des limites, construire des formules de calcul, pour evaluer des erreurs.


Def 2) Soit f : I --> R une fonction derivable n fois en un voisinage d'un point x_0
        Le developpement limite' (ou de Taylor) d'ordre n de f au point x_0 est l'expression 
            
              f(x) =  T   +  reste       avec   
 
                    T = le polynome de Taylor d'ordre n de f en x_0 (voir def 1)  
                    et    reste = o ( (x-x_0)^n )   `` petit o de (x-x_0)^n ''   (reste de Peano)


Exemple    x_0 = 0  ,  n = 3,    f(x) = sin x 
 
             sin (x) = x - (1/3!) x^3 + o (x^3)   (ici,   T = x - (1/3!) x^3,   reste = o(x^3) )

Exemple    x_0 = 1  ,  n = 2,    f(x) = e^x

             e^x = e + e (x-1) + (e/2!) (x-1)^2 + o ( (x-1)^2 )   (ici,  T = e + e (x-1) + (e/2!) (x-1)^2,   reste = o( (x-1)^2) )