La seance a commence' avec les trois definitions (metrique, topologique, par les suites) de limite d'une fonction f en un point x_0 de I' (attention, ce n'est pas dit que x_0 soit dans I) f : I --> R, I intervalle de R, et (attention) x_0 dans I' on dit que lim_{x-->x_0} f = l si et seulement si Metrique : pour tout epsilon > 0, il existe un delta > 0 ( qui dependra du epsilon et du x_0) tel que pour tout x dans I, x different de x_0, on a ( |x - x_0| < delta ==> |f(x) - l| < espilon) Topologique : pour tout voisinage W(l,epsilon) (de centre l et rayon epsilon) il existe un voisinage U(x_0,delta) (de centre x_0 et rayon delta) tel que pour tout x dans I, x different de x_0, on a ( x dans U ==> f(x) dans W ) Par les suites numeriques: pour toute suite numerique reelle (u_n)_n qui tend a' x_0 pour n-->+oo on a que la suite numerique (f(u_n))_n tend a' l pour n-->+oo Continuite' d'une fonction reelle de variable reelle en un point ------------------------------------------------------------------ Soit f : I --> R, avec I un intervalle de R, et x_0 dans I Def. On dit que f est continue en x_0 si ( lim_{x-->x_0} f ) existe fini ET VAUT f(x_0). Rq. x_0 est un reel, ce ne sera jamais +oo ni -oo. Rq. Si la limite de f existe pour x-->x_0, vu qu'on a ecrit que x doit etre different de x_0, pour la continuite on doit forcemment dire que la valeur de cette limite est f(x_0). Def equivalente : x_0 dans I On dit que ( lim_{x-->x_0} f) existe fini si et seulement si on a verifie' les TROIS conditions suivantes : (1) il existe fini la limite a' droite lim_{x-->x_0^+} f = l^+ (2) il existe fini la limite a' gauche lim_{x-->x_0^-} f = l^- (3) les deux limites coincident l^+ = l^- (4) l^+ = l^- = f(x_0) Def. de discontinuite on dit que f presente en x_0 une discontinuite ELIMINABLE si on a (1), (2), (3) mais pas (4) on dit que f presente en x_0 une discontinuite de PREMIERE ESPECE si on a (1),(2) mais pas (3) on dit que f presente en x_0 une discontinuite de SECONDE ESPECE si on n'a pas (1) ou (2) On note C^0(I) l'ensemble des fonctions continues en tous les points de I, a' valeurs reelles. On a les proprietes suivantes : . la fonction identite' est dans C^0(I) . C^0(I) est un espace vectoriel sur R . C^0(I) est stable pour la multiplication La composee, si elle est definie, de fonctions continues est continue. theoreme des valeurs intermediaires : I un intervalle de R, f:I --> R fonction continue, a,b dans I, tels que f(a) <= f(b). Alors, pour tout valeur gamma dans [f(a),f(b)], il existe c dans I tel que f(c) = gamma. Ce theoreme dit que si f est continue et I est un intervalle (un connexe), f(I) est un intervalle aussi (un connexe aussi) Theoreme de Bolzano Weierstrass f continue sur I = [a,b] (I est un intervalle ferme' et borne' de R) alors f(I) = [m,M] avec m = min_{x dans I} f et M = max_{x dans I} f Prop (pour la fonction reciproque) soit I un intervalle de R et f : I --> R une fonction soit fnew : I --> f(I) x |--> fnew(x) = f(x) Si f est continue et strictement monotone, alors . f(I) est un intervalle . fnew est continue . fnew est bijective . fnew^{-1} est strictement monotone du meme type que f . fnew^{-1} est continue sur f(I)