La seance a commence' avec la preuve du theoreme des
valeurs intermediaires pour une fonction continue sur un intervalle.

Cette preuve s'appuit sur quatre outils mathematiques:

    le fait que, en cas de convergence,  deux suites numeriques adjacentes ont la meme limite
    la methode de dichotomie pour la recherche d'un zero de fonction non-lineaire (f-gamma)
    le definition de limite de fonction en un point en termes de suites numeriques
    le fait que les inegalites passent a' la limite

Rappel sur les symboles de Landau et leur interpretation dans le cas de fonctions
  attention, dans les cas des suites, il y a une seule possibilite', c'est pour n --> +oo
  mais dans le cas des fonctions, il faut specifier si x --> x_0 ou bien si x --> +-oo
  
  par exemple,  x^4 = o(x^3) pour x --> 0  mais pas pour x --> +oo


Derivation en un point d'une fonction reelle de variable reelle
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Def. Le taux d'accroissement de f : I --> R en x_0 point de I est 
      le nombre     (f(x_0+h)-f(x_0))/h     
      avec h different de 0 et tel que   (x_0 + h) soit encore dans I
                   
     le nombre       (f(x_0+h)-f(x_0))/h   
          est la pente de la droite passant par les points (x_0, f(x_0)) et (x_0+h, f(x_0+h))

La pente m d'une droite est donnee par  m = tg(alpha)
  ou' tg est la fonction tangente logarithmique et 
     alpha est l'angle en radiants  que la droite forme avec l'axe des abscisses
 

Une droite horiz. (alpha = 0)  a donc une pente nulle
Une droite verticale (alpha = pi/2 ou alpha = -pi/2)  a une pente ( + ou -) infinie
Une droite oblique (-pi/2 < alpha < pi/2) a une pente ni nulle ni infinie.  

Intuitivement, quand h --> 0, 
   le point (x_0+h) bouge vers x_0 et la droite passant par  
      les points (x_0, f(x_0)) et (x_0+h, f(x_0+h)) devient tangente au graph de f en x_0
         si cette tangente existe (elle existe si la fonction f est derivable en x_0)

Def. Soient f : I --> R, un point x_0 dans I et h dans R tel que (x_0 + h) est encore dans I
       On dit que f est derivable en x_0 s'il EXISTE FINI la limite L = lim_{h-->0} ( (f(x_0+h)-f(x_0))/h ) 
         et cette valeur limite L est appellee  f'(x_0).

Geometriquement, f'(x_0) est la pente de la droite tangente en x_0 au graph de f
  mais on dit que f est derivable en x_0 seulement quand cette pente n'est pas infinie.
    Par exemple, la fonction f : x |--> + sqrt(x) (racine carree positive de x)
      est definie pour x>=0, possede une droite tangente en x_0 =0 de pente +oo    
        mais donc f n'est pas derivable en x_0 = 0.


Def. Soient f : I --> R, un point x_0 dans I et h dans R tel que (x_0 + h) est encore dans I
       On dit que f est derivable en x_0 si et seulement si
           i)  il EXISTE FINI la limite gauche  lim_{h-->0^-} ( (f(x_0+h)-f(x_0))/h ) = f'_- (x_0)  (derivee gauche)
            ii)  il EXISTE FINI la limite droite  lim_{h-->0^+} ( (f(x_0+h)-f(x_0))/h ) = f'_+ (x_0)  (derivee droite)
              iii) les deux valeurs limites sont egales, c'est-a'-dire    f'_- (x_0) = f'_- (x_0) ( = f'(x_0) )

Def. Un point x_0 est dit point anguleux si on a (i), (ii) et pas (iii)   (comme la fonction valeur absolue de x en x_0 = 0)
       ou bien si on n'a pas (i) ou (ii) (comme la fonction racine carree positive de x en x_0 = 0)

Def. Soit f : I --> R une fonction derivable en un point x_0 de I
      La linearisee g de f en un voisinage V dans I de x_0 est la fonction lineaire en x
          definie comme   g(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0)     ( on rappelle que o(x-x_0)-->0 pour x-->x_0 ) 
        
Rq: la linearisee de f en x_0 est un premier exemple de developpement de Taylor de f
      On peut remplacer f par sa linearisee (si f est derivable en x_0) SEULEMENT DANS UN VOISINAGE V de x_0
         car plus on s'eloigne du point x_0 plus l'erreur o(x-x_0) est grande

   Le graph de la linearisee coincide avec celui de la 
       droite tangente y = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) au graph de f en x_0 DANS LE VOISINAGE V de x_0