La derivation d'une fonction composee se fait toujours de la boite externe vers l'interieur, c'est-a'-dire ( f(g(h(x))) )' = f'( g(h(x)) ) * g'( h(x) ) * h'(x) * 1 (ici ``*'' signifie ``fois'') on derive f en gardant son argument tel quel, puis on multiplie la derivee de f par la derivee de g qui garde son argument tel quel, etc La derivation de la fonction composee permet de reconstruire la regle de derivation de la fonction reciproque, si elle existe, definie comme la fonction f^{-1} telle que f^{-1}( f(x) ) = x f: A --> B est bijective si et seulement si f est surjective, c'est-a'-dire, B = f(A) et f est injective, c'est-a'-dire, chaque veleur de f a un seul antecedent Soit f : I --> f(I) une fonction strictement monotone sur I et derivable en x_0 dans I avec f'(x_0) non nul (f est surjective par construction, car le domaine d'arrivee est f(I), f est injective sur I parce que f est strictemenet monotone sur I) alors la fonction reciproque f^{-1} est derivable en y_0 = f(x_0) et sa derivee vaut ( f^{-1})'(y_0) = 1 / f'(x_0) REVISER la table des regles de derivation de fonction Attention : ( e^x )' = e^x mais ( a^x )' = a^x * ln(a) pour tout reel a positif ( ln(x) )' = 1/x mais ( log_a (x) )' = 1 / ( x*ln(a) ) pour tout reel a positif -------------------------------------------- f : I --> R, I=]a,b[, x_0 dans I f admet un maximum local en x_0 s'il existe un voisinage V de x_0, V dans I, tel que pour tout x dans V, f(x) <= f(x_0) f admet un minimum local en x_0 s'il existe un voisinage V de x_0, V dans I, tel que pour tout x dans V, f(x) >= f(x_0) Quatre theoremes du calcul differentiel --------------------------------------- (1) Theoreme de Fermat f : I --> R, I = ]a,b[, x_0 dans I f continue sur I f derivable en x_0 Si f admet un extremum (maximum ou minimum local) in x_0 alors f'(x_0) = 0 Preuve faite au tableau. (2) Theoreme de Rolle f : I --> R, I = [a,b] f continue sur [a,b] f derivable sur ]a,b[ f(a) = f(b) Alors il existe un point c dans ]a,b[ tel que f'(c) = 0. Preuve faite au tableau. (3) Theoreme de Cauchy f,g : I --> R, I = [a,b] f,g continues sur [a,b] f,g derivable sur ]a,b[ Alors il existe un point c dans ]a,b[ tel que (f(b)-f(a)) g'(c) = (g(b)-g(a)) f'(c) Preuve faite au tableau. (4) Theoreme de Lagrange (ou des accroissements finis) f : I --> R, I = [a,b] f continue sur [a,b] f derivable sur ]a,b[ Alors il existe un point c dans ]a,b[ tel que ( f(b)-f(a) )/( b-a ) = f'(c) Le point c est dit point de Lagrange de f. Preuve faite au tableau.