Notions dans un espace metrique (ici R avec la distance Euclideenne ) -------------------------------------------------------------------- Notions sur la metrique deja introduites au moment de parler de limite d'une suite: La distance ou metrique d : R x R --> [0,+oo[ est une fonction qui associe a' chaque couple de points x, y un nombre reel positif ou nul, d(x,y) = |x-y| tel que 1) d(x,y) > 0 si x different de y, d(x,x) = 0 2) d(x,y) = d(y,x) (sym) 3) d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) , pout tout z dans R (inegalite' triangulaire) Maintenant on travaille dans R et pas dans N. Un voisinage d'un reel x_0 de rayon r > 0 est l'intervalle (ouvert) ]x_0-r , x_0 + r[ c'est-a'-dire l'ensemble des points z de R tels que d(x_0,z) < r Un voisinage de +oo est tout intervalle (ouvert) du type ]M, +oo[ avec M >0 un voisinage de -oo est tout intervalle (ouvert) du type ]-oo, -M[ avec M >0 Soit I un intervalle de R et x_0 un point de Rbar = R U {+oo, -oo} On dit que x_0 est d'accumulation pour I si chaque voisinage de x_0 contient un point z de I On dit que z est un point isole' s'il existe un voisinage de z qui ne contient rien d'autre que z. Les points z de I intervalle connexe de R ne sont jamais isole' pour la metrique donnee a' moins que I ne soit pas reduit au point z meme. L'ensemble des points x_0 de Rbar qui sont d'accumulation pour I est note' I' Dans R, en generale on a I sous-ensemble de I' L'ensemble I est dit ferme' si I' est un sous-ensemble de I autrement dit, si I contient touts ses points d'accumulation. La fermeture ou adherence de I est l'ensemble Ibar union de I et de I'. On dit aussi que Ibar est le plus petit ferme' qui contient I La frontiere de I est l'ensemble Ibar\I (Ibar prive' de I) compose' de points de Ibar dont chaque voisinage contient points de I et points qui ne sont pas de I Limite en un point d'une fonction reelle de variable reelle ------------------------------------------------------------ On considere une fonction f : I --> R, avec I un intervalle de R Soit x_0 un point de Ibar, la fermeture de I, dans Rbar On dit que lim_{x-->x_0} f = l (l existe fini) si pour tout epsilon > 0, il existe delta >0 (qui depend de epsilon et de x_0) tel que pour tout point x de I, x different de x_0, on a ( |x - x_0| < delta ==> |f(x) - l| < epsilon ) Rq : le point x_0 peut ne pas etre dans I et f n'etre pas definie en x_0 On dit que lim_{x-->x_0} f = +oo pour tout M > 0, il existe delta >0 (qui depend de M et de x_0) tel que pour tout point x de I, x different de x_0, on a ( |x - x_0| < delta ==> f(x) > M ) En ce cas, x = x_0 est asymptote verticale On dit que lim_{x-->x_0} f = -oo pour tout M > 0, il existe delta >0 (qui depend de M et de x_0) tel que pour tout point x de I, x different de x_0, on a ( |x - x_0| < delta ==> f(x) < -M ) En ce cas, x = x_0 est asymptote verticale On dit que lim_{x-->+oo} f = l pour tout epsilon > 0, il existe M >0 (qui depend de epsilon) tel que pour tout point x de I on a ( x > M ==> |f(x) - l| < epsilon ) En ce cas, y = l est asymptote horiz. On dit que lim_{x-->-oo} f = l pour tout epsilon > 0, il existe M >0 (qui depend de epsilon) tel que pour tout point x de I on a ( x < -M ==> |f(x) - l| < epsilon ) En ce cas, y = l est asymptote horiz. La droite y = m x + q, avec m et q non nuls, est asymptote oblique pour x-->+oo ssi lim_{x-->+oo} |f(x) - mx - q| = 0 c'est-a'-dire la distance entre le graphe de f et celui de la droite tend a' 0 pour x-->+oo. Rq 1: On recherche l'asymptote oblique quand lim_{x-->+oo} f = +oo ou -oo Rq 2: Il faut que les deux limites suivantes existent et soient finies: lim_{x-->+oo} (f/x) = m , lim_{x-->+oo} (f - m x) = q . Rq 3: Meme discour pour x-->-oo. De plus, l'asymptote oblique pour x-->-oo, s'il existe, peut etre different de celui pour x-->+oo, et meme l'existence de l'un n'implique pas l'existence de l'autre. Prop. Unicite' de la limite, algebre des limites, formes indeterminees Section 4.2.4. Prop. Soit f: I --> R une fonction croissante sur I = ]a,b[ (avec ab} f = sup_{x dans I} f(x) 2) si f n'est pas majoree, alors lim_{x-->b} f = +oo Rq. Cette prop. a d'autres variantes toutes resumees a' page 144. Concept d'ordre : pour un point x_0 dans R, on peut separer x-->x_0^+ (limite a' droite) de x-->x_0^- (limite a' gauche) si I = ]a,b[ alors on aura sous-intendu que x-->a^+ et que x-->b^- dire que lim_{x-->x_0} f = l (existe fini) est alors equivalent a' trois affirmations: 1) il existe fini la limite a' droite lim_{x-->x_0^+} f = l^+ 2) il existe fini la limite a' gauche lim_{x-->x_0^-} f = l^- 3) les deux limites coincident l^+ = l^- = l