Introduction dans R 
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Definition de fonction f reelle de variable reelle, domaine de definition Dom(f) , image Image(f)
definition de fonction injective, surjective, bijective

composition de fonctions : (f o g)(x) = f(g(x))

remarques sur la
 . evaluation d'une fonction composee en un point : 
    on part de la boite interne (x) et on procede vers la boite externe (f)
      donc de  x on calcule  y = g(x) puis de y on calcule z = f(y)
 . derivation d'une fonction composee en un point :
    on part de la boite externe (f) et on procede vers la boite interne (x)
      donc  (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) * x'     (x' = 1)

definition de fonction inverse f-1 : Image(f) --> Dom (f)
   comme  (f-1 o f)(x) = x 
   graphe de f-1  (sym du graphe de f par rapport a' la droite y = x)


definition de la fonction valeur absolue f (x) = |x| ( vaut x si x >=0, vaut -x  si x<=0 )
definition de distance entre deux points de R
   d : R X R --> [0,+oo[         (R X R est le produit Cartesien entre R et lui meme) 
      pout tout x, z dans R, d(x,z) = |x - z| 

definition de voisinage d'un point z de rayon r>0  
     V(z,r) = {x dans R tel que  |x - z| < r }  (ouvert de R centre sur z)
           et  |x-z|<r  se lit comme   z-r < x < z + r    

introduction du concept de ``x tend vers z'' si la distance entre x et z diminue a' zero
    (ex. je tends vers la porte si je m'approche de la porte, donc ma distance a' la porte decroit a' zero) 

definition de z comme point d'accumulation ou d'adherence d'un ensemble A de R
    si pour tout r>0, il existe un x de A (different de z) qui appartient a' V(z,r)

Les points de Rbar= R U {+oo, -oo}  sont tous d'accumulation pour R

On peut bien definir le concept ``les elements d'un ensemble A tendent vers z dans Rbar''
si z est un point d'accumulation pour A


Suites numeriques sur R
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N ensemble des naturels

+oo seul point d'accumulation de N dans Rbar  

Une suite numerique (u_n)_{n in N} est une fonction f : N --> R, avec u_n = f(n) pour tout n dans N.

definition de L limite de la suite (u_n)_n pour  n-->+oo
  pout toute quantite epsilon > 0 il existe un n* dans N tel que pour tout n dans N
                        (n >= n*   ==>   |u_n - L| <= epsilon) 

illustration geometrique du concept de limite 
 (a' partir de la position n*, les nombres u_n de la suite entrent dans le tuyau centre' en L de taille epsilon ) 

On dit que la suite (u_n)_n converge si  L EXISTE et il est FINI
  autrement on dit que (u_n) diverge

ex.    u_n = 1/(n+1)         L = 0  (L existe fini, suite qui converge) 

        u_n = n                L = +oo  (L n'est pas fini, suite qui diverge)

          u_n = (-1)^n           L n'existe pas (L n'existe pas, la suite oscille entre 1 et -1, on dit qu'elle diverge)


proposition : Si la limite d'une suite numerique existe, alors elle est unique
preuve par l'absurde.