Schémas Volumes Finis Nice 2017

30 et 31 mars 2017

 

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Liste des orateurs :

  • Boris Andreianov (Université François Rabelais)
  • Marianne Bessemoulin-Chatard (Université de Nantes)
  • Clément Cancès (INRIA Lille Nord Europe)
  • Claire Chainais-Hillairet (Université Lille 1)
  • Yves Coudière (Université de Bordeaux)
  • Vivien Desveaux (Université Picardie)
  • Martin Gander (Université de Genève)
  • Hélène Mathis (Université de Nantes)
  • Sandie Moody (Université de Genève)
  • Flore Nabet (Ecole Polytechnique)
  • Pascal Omnès (Cea)
  • Nicolas Seguin (Université de Rennes 1)
  • Rémi Tesson (Aix-Marseille Université)


Programme :


Jeudi Vendredi
9:20-10:00 -
Yves Coudière
10:00-10:30 Accueil et Pause café Pause café
10:30-11:10 Hélène Mathis
Vivien Desveaux
11:15-11:55 Clément Cancès
Pascal Omnès
12:00-14:00 Déjeuner Déjeuner
14:00-14:40 Nicolas Seguin
Sandie Moody
14:45-15:25 Marianne Bessemoulin-Chatard
Rémi Tesson
15:30-16:00 Pause café Pause café
16:00-16:40 Flore Nabet
Claire Chainais-Hillairet
16:45-17:25 Martin Gander
-


Programme détaillé :

  • Marianne Bessemoulin-Chatard : Convergence exponentielle vers l'équilibre d'un schéma volumes finis pour des systèmes de dérive-diffusion.
    On s'intéresse au comportement en temps long d'un schéma numérique discrétisant des systèmes de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs. Le schéma volumes finis considéré est une généralisation du schéma de Scharfetter- Gummel classique, permettant de prendre en compte des lois de pression aussi bien linéaires que non linéaires. On étudie la convergence en temps long des solutions approchées vers une approximation de l'équilibre thermique, et on obtient un taux de décroissance exponentiel grâce à un contrôle de l'entropie relative discrète par la production d'entropie. Ce résultat est prouvé sous des hypothèses d'existence et d'estimations L ∞ uniformes en temps pour les solutions numériques, que nous discuterons également. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Claire Chainais-Hillairet (Lille).
  • Clément Cancès : Schémas dissipant l'entropie pour des problèmes paraboliques.
    Depuis une vingtaine d'années, il a été compris que le contrôle de l'entropie et de sa dissipation permettait de caractériser le comportement en temps grand de certaines équations paraboliques. Je parlerai de trois schémas numériques permettant de contrôler l'entropie au niveau discret en essayant de mettre en avant leurs points forts et points faibles.
  • Claire Chainais-Hillairet : Obtention d'une borne inférieure strictement positive pour la solution numérique d'une équation de convection-diffusion.
    Dans cet exposé, je présenterai comment étendre une méthode due à De Giorgi à une solution approchée d'une équation de convection-diffusion obtenue par un schéma volumes finis. Cette méthode permet d'obtenir, comme sur l'équation continue, une borne inférieure strictement positive pour la solution approchée.
    Il s'agit d'un travail en collaboration avec B. Merlet et A. Vasseur.
  • Yves Coudière : Very high order finite volume methods for cardiac electrophysiology (Y. Coudière and R. Turpault)
    Numerical simulation of the propagation of electrical signals in the heart is a very demanding application. In fact, very fine meshes and small time steps are currently required to capture the phenomena. I will present and explore a very high-order scheme specifically designed for this application. Its numerical properties will be detailed and the different choices on both the scheme's definition and implementation will be discussed and justified. The numerical results will show the importance of considering very high-order schemes, even for classical tests such as the propagation of planar or spiral waves.
  • Vivien Desveaux : Schémas d'ordre élevé entropiques pour les équations d'Euler.
    Les solutions des systèmes de lois de conservation doivent satisfaire des inégalités d'entropie pour être physiquement admissibles. D'un point de vue numérique, cela se traduit par un ensemble d'inégalités d'entropie discrètes qui doivent être satisfaites par les schémas. Dans cet exposé, nous montrerons que les inégalités d'entropie satisfaites par les méthodes d'ordre élevé usuelles ne sont pas pertinentes. Nous présenterons alors une méthode d'ordre élevé avec limitation a posteriori de la reconstruction qui permet de forcer la vérification des inégalités d'entropie requises.
  • Martin Gander : What is Non-Linear Preconditioning ?
    The idea of preconditioning iterative methods for the solution of linear systems goes back to Jacobi (1845), who used rotations to obtain a system with more diagonal dominance, before he applied what is now called Jacobi's method. The preconditioning of linear systems for their solution by Krylov methods has become a major field of research over the past decades, and there are two main approaches for constructing preconditioners: either one has very good intuition and can propose directly a preconditioner which leads to a favorable spectrum of the preconditioned system, or one uses the splitting matrix of an effective stationary iterative method like multigrid or domain decomposition as the preconditioner. Much less is known about the preconditioning of non-linear systems of equations. The standard iterative solver in that case is Newton's method (1671) or a variant thereof, but what would it mean to precondition the non-linear problem ? An important contribution in this field is ASPIN (Additive Schwarz Preconditioned Inexact Newton) by Cai and Keyes (2002), where the authors use their intuition about domain decomposition methods to propose a transformation of the non-linear equations before solving them by an inexact Newton method. Using the relation between stationary iterative methods and preconditioning for linear systems, we show in this presentation how one can systematically obtain a non-linear preconditioner from classical fixed point iterations, and present as an example a new two level non-linear preconditioner called RASPEN (Restricted Additive Schwarz Preconditioned Exact Newton) with substantially improved convergence properties compared to ASPIN.
  • Hélène Mathis : Suivi d'interface liquide-solide par une approche lagrange-projection aléatoire.
    on s'intéresse à solidification d'un liquide contenant un soluté. La transition de phase liquide-solide se traduit alors par des transferts de masse et de chaleur et le déplacement du front de solidification dépend de contraintes de sauts de température et de concentration à l'interface. On propose un schéma de type ALE-projection pour gérer le déplacement de l'interface, l'étape de projection étant réalisée de manière aléatoire.
  • Sandie Moody : DDFV sur des domaines non-convexes avec de grandes restrictions sur la construction de la grille.
    Nous voulons modéliser le processus de diffusion des constituants de l'eau dans l'atmosphère sur un domaine non-convexe avec une grille dite "terrain-following". Le service météorologique Suisse utilise un changement de coordonnées suivi d'un schéma de différences finies. Ce schéma est instable dans les régions montagneuses. La méthode DDFV est stable sur n'importe quel domaine pour une solution régulière. Des singularités apparaissent lorsque le domaine considéré est fortement non-convexe. La convergence de la méthode DDFV a été prouvée sur des domaines non-convexes sous certaines conditions que la grille doit respecter, conditions qui ne sont pas respectées par la grille utilisée par MétéoSuisse. Nous etudions l'extension de cette analyse à notre grille.
  • Flore Nabet : Revue autour du schéma DDFV pour les équations de Stokes et Navier-Stokes.
    Les méthodes DDFV ont été introduites initialement pour le problème de Laplace et ont depuis été étendues à une classe plus large de problèmes. Cette méthode a notamment pour avantages de pouvoir s'adapter facilement à des maillages quelconques ou à des écoulements bi-fluides, tout en conservant au niveau discret les propriétés principales des opérateurs différentiels mis en jeu. Dans cet exposé je me concentrerai sur les avancées récentes autour de l'approximation des problèmes de Stokes et Navier-Stokes 2D par le schéma DDFV.
  • Pascal Omnès : Analyse de la perte de précision du schéma de Godunov à bas nombre de Mach.
    Le schéma de Godunov pour les équations d'Euler est réputé peu précis lorsque le nombre de Mach de l'écoulement devient faible. Nous analysons les causes de cette perte de précision, en distinguant le cas des maillages cartésiens des maillages triangulaires, et nous proposons un remède.
  • Nicolas Seguin : Stabilité non linéaire pour les systèmes hyperboliques avec terme source singulier.
    Prenons comme exemple les équations de Saint-Venant modélisant un écoulement à surface libre d'eau soumis à la gravité. Elles forment un système hyperbolique classique pour lequel de nombreux schémas numériques ont été proposés depuis plusieurs années. Quand il s'agit de tenir compte du gradient de fond, un compétition intervient entre les termes de flux et le terme source. Depuis une vingtaine d'années sont développés des schémas volumes finis dits « équilibre » qui permettent une discrétisation exacte des solutions stationnaires. Nous étudions ici l'impact de cette propriété sur la stabilité numérique de ces solutions via une analyse par entropie adaptée.
  • Rémi Tesson : WENO schemes for transport equations with a DDFV approach.
    WENO schemes are known to be very efficient on convection problems, in particular in the case of non-smooth functions. We present in this talk a DDFV approach for WENO schemes in the context of transport equations. This approach allows us to use unstructured grids and to couple WENO schemes easily with other DDFV schemes. An application to level-set methods will be given. Numerical tests will be presented to emphasize the robustness of the method.


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