Sur les difféomorphismes d’Anosov affines.

Yves Benoist, Centre de Mathématiques Université Paris VII

François Labourie, Centre de Mathématiques URA D.0169 du C.N.R.S. Ecole Polytechnique

Introduction

0.1 Soit V une variété C^{∞} compacte que l’on munit d’une métrique riemannienne auxiliaire. Rappelons la

Définition : ([An]) un difféomorphisme C^{∞} φ : V → V est dit d’Anosov si il existe une décomposition invariante par φ, du fibré tangent : T V = E^{+} ⊕ E^{−} et des réels a, b strictement positifs tel que

\begin{matrix}∀Z^{+} ∈ E^{+} ∀n > 0 & on a ||T φ^{−n}(Z^{+})|| ≤ a||Z^{+}||e^{−bn} \\ ∀Z^{−} ∈ E^{−} ∀n > 0 & on a ||T φ^{n}(Z^{−})|| ≤ a||Z^{−}||e^{−bn} \end{matrix}

Les distributions E^{+} (et E^{−}) sont appelées les distributions instables (et stables) de φ. Elles sont automatiquement continues et intégrables. Les variétés intégrales, appelées feuilles instables (et stables), sont de classe C^{∞}. En général, ces distributions sont transversalement peu différentiables.

0.2 L’exemple des automorphismes hyperboliques d’une infranilvariété - ou infranilautomorphismes hyperboliques - est bien connu. Rappelons en la construction.

Soient N un groupe de Lie (réel) nilpotent connexe et simplement connexe, 𝔫 son algèbre de Lie, Aut(N) = Aut(𝔫) le groupe des automorphismes de N ou, ce qui est équivalent, de 𝔫, Aff(N) le groupe produit semi-direct Aut(N)⋉N qui agit naturellement sur N : l’action de N sur lui-même est la translation à gauche.

Soit Γ un sous-groupe discret de Aff(N) qui agit sans point fixe sur N tel que

- le quotient Γ/Γ ∩ N est fini

- la variété V_{0} := Γ \ N est compacte ; la variété V_{0} est appelée une infranilvariété.

Soit Φ_{0} un automorphisme de 𝔫 (ou N) tel que

- Φ_{0}ΓΦ_{0}^{−1} = Γ

- les valeurs propres de Φ_{0} ont un module différent de 1 ; le difféomorphisme φ_{0} de V_{0}, déduit de Φ_{0}, est d’Anosov et ses distributions stables et instables sont C^{∞} ; ce difféomorphisme est appelé un infranilautomorphisme hyperbolique de V_{0}.

Remarques :

1) Si N est abelien et si Γ est inclus dans N, V_{0} est un tore T^{n} = ℝ^{n}/ℤ^{n} et φ_{0} un automorphisme linéaire hyperbolique de ce tore.

2) Remarquons qu’il existe toujours une connexion affine C^{∞} sur V_{0} invariante par φ_{0} (cf. 4.3.2.) et que la mesure sur V_{0}, localement égale à la mesure de Haar de N est invariante par φ_{0} (car det_{n}(Φ_{0}) = ±1). En particulier φ_{0} est topologiquement transitif.

0.3 Une vieille conjecture attribuée à Franks affirme que tout difféomorphisme d’Anosov sur une variété compacte est C^{0} conjugué à un infranilautomorphisme hyperbolique. Une extension naturelle et classique de cette conjecture est la suivante

Conjecture. Sur une variété compacte, tout difféomorphisme d’Anosov, dont les feuilletages stable ou instable sont de classe C^{∞}, est C^{∞} conjugué à un infranilautomorphisme hyperbolique.

Etienne Ghys nous a un jour expliqué une démonstration de cette conjecture dans le cas du tore T^{2}, reposant sur le théorème d’Herman sur la conjugaison des difféomorphismes du cercle.

0.4 Nous donnons une réponse affirmative à cette conjecture lorsque φ préserve une connexion affine C^{∞} sur V

Théorème. Soit V une variété C^{∞} munie d’une connexion affine C^{∞}. Soit φ un difféomorphisme d’Anosov topologiquement transitif qui préserve cette connexion et tel que E^{+} et E^{−} soient C^{∞}. Alors φ est C^{∞} conjugué à un infranilautomorphisme hyperbolique.

Nous en déduisons le

Corollaire. Soient V une variété symplectique C^{∞} et φ un difféomorphisme d’Anosov symplectique tel que E^{+} et E^{−} sont C^{∞}. Alors φ est C^{∞} conjugué à un infranilautomorphisme hyperbolique.

Voici quelques remarques :

1) La conjugaison C^{∞} transforme la connexion (resp. la 2-forme symplectique) en une connexion (resp. une 2-forme) sur l’infranilvariété V_{0} = Γ \ N, dont le relevé à N est invariant par translation à gauche : ceci résultera de la démonstration (voir aussi théorème 1).

2) Le point de départ est le théorème 3 de [B-F-L] qui affirme que, sous ces hypothèses, V_{0} est un espace localement homogène complet ; ici nous précisons les groupes susceptibles d’apparaître (et apparaissant effectivement, cf. 4.3.5.).

3) Lorsque V = T^{2}, le résultat est dû à Avez [Av], lorque V = T^{4} il est dû à Flaminio et Katok [Fl-Ka]. Lorsque V est de dimension 4, il a été annoncé indépendamment par Flaminio.

4) Pour un résultat analogue pour les flots d’Anosov contact voir [B-F-L].

0.5 Signalons enfin que dans le cours de la démonstration, nous sommes amenés à nous intéresser aux sous-groupes Zariski denses des groupes réductifs. En particulier, grâce à des résultats de Guivarc’h - Raugi et Gol’dsheid - Margulis, nous précisons un résultat classique de Tits (Corollaire A.6).

Nous tenons à remercier Patrick Foulon et Yves Guivarc’h pour de fructueuses conversations.

1 - Structure de la démonstration

2 - Présentation du problème

2.1 La variété Ṽ comme espace homogène.

2.2 Le stabilisateur d’un point et d’une feuille.

2.3 Des groupes algébriques.

3 - Existence d’une structure produit.

3.1 La décomposition de Levi et le petit espace des feuilles.

3.2 Points fixes d’un élément de Δ.

3.3 L’adhérence de Zariski de π ∘ Ad (Δ). 3.4 A la recherche de bons éléments de Δ. 3.5 Conclusion.

4 - Le groupe fondamental est virtuellement nilpotent 4.1 Le cadre du problème. 4.2 L’alternative. 4.3 Conclusion et remarque finale.

Appendice : Sur les sous-groupes Zariski denses des groupes réductifs. A.1 Les éléments h-réguliers. A.2 Action des éléments h-réguliers sur 6/P. A.3 Multiplicité des exposants de Liapounov. A.4 Existence d’éléments h-réguliers. A.5 Zariski densité des éléments h-réguliers. A.6 Sous-groupes libres des groupes réductifs.

1. La structure de la démonstration.

La démonstration se fait en trois étapes. Tous d’abord, nous montrons que sur Ṽ, le revêtement universel de V, le groupe des difféomorphismes G de Ṽ qui préservent la connexion et les distributions stable et instable est un groupe de Lie qui agit transitivement. Ceci avait été essentiellement démontré dans [B-F-L] et notre section 2 consiste en des rappels de cet article.

Ensuite, nous montrons dans la section 3, qu’un sous-groupe nilpotent simplement connexe et distingué U de G agit transitivement sur Ṽ. Cette démonstration fait un moment appel au théorème A.1.

Dans la section 4, nous concluons en montrant le théorème suivant.

Théorème 1. Soit (V, ∇) une variété compacte munie d’une connexion, φ un difféomorphisme d’Anosov topologiquement transitif de V qui préserve ∇ et dont les distributions stables et instables sont C^{∞}. Il existe alors un sous-groupe nilpotent simplement connexe N du groupe des difféomorphismes de Ṽ tel que

(i) N préserve ∇ ainsi que les distributions stable et instable de φ.

(ii) N agit transitivement et librement sur Ṽ.

(iii) N est normalisé par le groupe fondamental Γ de V ainsi que par un relevé de φ.

(iv) N ∩ Γ est d’indice fini dans Γ et cocompact dans N.

En corollaire, nous obtenons bien sûr le résultat cité dans l’introduction.

En conclusion, nous rappelons pourquoi nous obtenons ainsi tous les infranilautomorphismes hyperboliques.

En appendice, nous montrons le théorème A.1 et précisons, avec son aide, un résultat de Tits sur les sous-groupes discrets des groupes de Lie.

Une notation importante : dans toute la suite

Si F est un groupe de Lie, on note 𝔣 son algèbre de Lie et (F)_{e} la composante connexe de l’identité de F. L’expression “groupe algébrique” signifiera “points réels d’un groupe algébrique défini sur R”.

2. Présentation du problème.

Le but essentiel de cette section est de montrer la proposition 2.1.2 qui décrit Ṽ comme un espace homogène. Nous précisons alors nos notations et nous nous intéressons tout particulièrement aux stabilisateurs d’un point et d’une feuille. La proposition 2.2.3 et les remarques qui suivent seront utilisées très souvent dans la suite. L’un des objets fondamentaux est, comme dans [B-F-L], le logarithme de la partie hyperbolique d’une “application premier retour”.

Enfin en 2.3, nous précisons en quoi nous pouvons considérer le groupe des transformations affines de Ṽ qui préservent les distributions stable et instable comme un groupe algébrique.

2.1 La variété Ṽ comme espace homogène.

2.1.1. Soit (V, ∇) une variété compacte munie d’une connexion et φ un difféomorphisme d’Anosov affine topologiquement transitif de V dont les distributions stable E^{−} et instable E^{+} sont de classe C^{∞}.

Soit v_{0} un point périodique de φ de période k, un tel point existe toujours ([An], th. 3).

Soit Ṽ le revêtement universel de V, ṽ_{0} un point de Ṽ relevant v_{0}, φ̃ un difféomorphisme de Ṽ relevant φ.

On notera ˜∇ et Ẽ^{±} les relevés de ∇ et E^{±}.

2.1.2. Notre point de départ est la proposition.

Proposition. Le groupe G des difféomorphismes affines de Ṽ qui préservent Ẽ^{±} est un groupe de Lie qui agit transitivement sur Ṽ.

Cette proposition est une généralisation facile du théorème 3 de [B-F-L]. Nous n’en reproduisons pas la démonstration. Voici la principale modification :

Rappelons que le théorème 3 de [B-F-L] est énoncé pour un difféomorphisme symplectique au lieu de affine : cette situation est plus restrictive car le difféomorphisme est alors automatiquement affine par la connexion de Kanai ([B-F-L], 3.4.4.).

Dans notre nouvelle situation, on montre facilement, en utilisant φ, que les feuilles instables F_{v}^{+} sont totalement géodésiques (i.e. ∇_{E^{+}}E^{+} ⊂ E^{+}).

Ceci permet de reprendre le même raisonnement bien que l’on ne sache pas si les feuilles F_{v}^{+} sont plates.

La démonstration du théorème 3 de [B-F-L] utilise un théorème de Gromov [Gr] sur les structures rigides. Elle s’appuie sur quelques lemmes préliminaires que nous rappelons dans le paragraphe suivant car nous en ferons un usage constant.

2.2. Le stabilisateur d’un point et d’une feuille.

2.2.1. On notera H le stabilisateur de ṽ_{0} dans G :

H = {g ∈ G/gṽ_{o} = ṽ_{0}}.

Par construction, ce groupe contient φ̃_{k}, le relevé de φ^{k} ayant ṽ_{0} comme point fixe. D’après 2.1.2, la variété Ṽ s’identifie à G/H.

Par ailleurs, une transformation affine étant fixée par son 1-jet, l’application de H dans GL(Tṽ_{0} Ṽ), donnée par

h ↦ Tṽ_{0}h,

est injective. Nous identifierons ainsi souvent par la suite H à son image dans GL(Tṽ_{0} Ṽ). Enfin le morphisme de H dans GL(𝔤/𝔥) obtenu à l’aide du précédent et de l’identification de 𝔤/𝔥 avec Tṽ_{0} Ṽ_{0} est celui obtenu à l’aide de la restriction de la représentation adjointe de G à H.

2.2.2. Notons F̃ṽ, la feuille instable passant par ṽ dans Ṽ et P^{+} le stabilisateur de la feuille F̃ + ; ṽ_{0}. De même, P^{−}, F̃ − ; ṽ.

P^{±} = {g ∈ G, gF̃ ± ; ṽ_{0} = F̃ ± ; ṽ_{0}}.

Puisque G préserve les distributions Ẽ^{±}, le groupe H est inclus dans P^{±}, et 𝔭^{+}/𝔥 s’identifie à Ẽ+ ; ṽ_{0}.

2.2.3. La proposition suivante, issue de ([B-F-L] 3.4.) résume les propriétés importantes de ces différents groupes et de leurs algèbres de Lie.

Proposition.

(a) Le groupe H vu comme sous-groupe de GL(Tṽ_{0} Ṽ) est un sous-groupe algébrique.

(b) Soit L_{0} le logarithme de la partie hyperbolique de la décomposition de Jordan de Tṽ_{0} φ̃_{k} dans GL(Tṽ_{0} Ṽ). Alors L_{0} appartient à 𝔥.

(c) Les valeurs propres de L_{0} dans Ẽ+ ; ṽ_{0} resp. Ẽ− ; ṽ_{0}) sont strictement positives (resp. négatives).

(d) On a l’égalité 𝔥 = 𝔭^{+} ∩ 𝔭^{−} et en particulier, le centralisateur dans 𝔤 de L_{0} est inclus dans 𝔥.

(e) Le centre de 𝔤 est nul, et donc le centre Z de G est discret.

2.2.4. Nous utiliserons très souvent un corollaire de (a) et de 2.2.1.

Corollaire. Soit Ad la représentation adjointe de G dans End(𝔤). Sa restriction à H est injective, et Ad (H) est un sous-groupe algébrique de End(𝔤).

Démonstration : Dans [B-F-L] 2.4.1., on a vu que 𝔤 s’identifie en tant que H-module à un sous espace vectoriel que Tṽ_{0} Ṽ × End(Tṽ_{0} Ṽ). On en déduit le corollaire. ▷

2.2.5. Enfin G/H étant simplement connexe H et G ont le même nombre (fini, cf. 2.2.4.) de composantes et on a donc H_{e} = G_{e} ∩ H. Pour des raisons analogues P_{e}^{±} = G_{e} ∩ P^{±}.

2.2.6. Soit Γ = π_{1}(V) le groupe fondamental de V que nous voyons agir sur Ṽ. Bien sûr, Γ est inclus dans G et

V = Γ\G/H

Nous considérerons également Δ =< φ̃, Γ >, le groupe engendré par φ̃ et Γ, géométriquement c’est le groupe fondamental de la variété obtenue par suspension de φ sur V.

2.3. Des groupes algébriques.

2.3.1. Nous voulons démontrer dans cette section que le groupe Ad(G_{e}), l’image de G_{e} par la représentation adjointe dans GL(𝔤) est une composante connexe d’un groupe algébrique.

2.3.2. Ce paragraphe est constitué par des rappels de [Ch] § 14.

Soient W un espace vectoriel de dimension finie et 𝔨 ⊂ End(W) une sous-algèbre de Lie.

Proposition, définition. La sous-algèbre 𝔨 est dite algébrique si l’une des deux affirmations suivantes équivalentes est satisfaite.

(i) Il existe un sous-groupe algébrique K de GL(W) dont 𝔨 est l’algèbre de Lie.

(ii) Il existe une base (X_{1}, ⋯, X_{n}) de 𝔨 telle que pour i = 1, ⋯, n, soit X_{i} est nilpotent soit X_{i} est semi-simple et les valeurs propres de X_{i} engendrent un ℚ-espace vectoriel de dimension un.

2.3.3. On en déduit alors la

Proposition. La sous-algèbre ad (𝔤) est algébrique.

Démonstration : En effet nous pouvons écrire

𝔤 = ⊕_{i} 𝔤_{i}

où

𝔤_{i} = {X ∈ 𝔤/[L_{0}, X] = iX}

Si i est différent de 0, ad(X_{i}) est nilpotent : en effet ad(X_{i})𝔤_{j} ⊂ 𝔤_{j+i}.

Par ailleurs, 𝔤_{0} ⊂ 𝔥 (cf. (d) de 2.2.3.).

On a donc

ad (𝔤) = ad (𝔥) + ∑_{i≠0} ad (𝔤_{i})

D’après la proposition précédente, on en déduit donc qu’il suffit de montrer que ad (𝔥) est algébrique. Ce qui provient de 2.2.4. ▷

2.3.4. Il sera par contre difficile de faire comme si G lui-même était algébrique : la présence éventuelle d’un centre infini compliquant sérieusement les choses.

3. Existence d’une structure produit.

Le but de ce chapitre est de montrer la proposition

Proposition 3. Il existe un sous-groupe distingué nilpotent simplement connexe U de G qui agit transitivement sur Ṽ

Le groupe va apparaître comme (l’image inverse) du radical unipotent de Ad(G_{e}). Nous commencerons donc par présenter la décomposition de Levi réductive du groupe Ad(G_{e}) (cf. 3.1.) et l’on montre que la proposition 3 se ramène à prouver qu’un “petit” espace des feuilles, sur lequel fibre le véritable espace des feuilles, est réduit à un point (3.1.6).

L’esprit de la démonstration est alors très proche de celui de [B-F-L] : les points fixes d’un élément de Δ sur Ṽ se projettent maintenant en des points fixes \underline{tous} attracteurs (ou tous répulseurs) de cet espace des feuilles (3.2.1). Le but est alors de construire un élément de δ qui va avoir trop de points fixes sur le petit espace des feuilles si celui-ci n’est pas réduit à un point. La construction d’un tel élément, d’un “bon” élément selon 3.4.1, est délicate et repose sur une application du théorème A.1. Signalons à ce stade que l’utilisation du théorème A.1, que nous ignorions à l’époque, permet d’alléger considérablement la démonstration de [B-F-L].

Dans toute cette démonstration apparaît de façon cruciale la caractérisation du petit espace des feuilles comme une variété de drapeaux.

La proposition 3 entraîne l’existence d’une structure produit sur Ṽ ce qui explique le titre mais n’intervient pas dans la démonstration...

3.1. La décomposition de Levi et le petit espace des feuilles.

3.1.1. Nous utiliserons à partir de maintenant la décomposition de Levi-réductive du groupe Ad(G_{e}), c’est-à-dire la décomposition en produit semi-direct :

Ad (G_{e}) = R × U_{0}

où U_{0} est le radical unipotent du groupe (presque) algébrique Ad(G_{e}) et R sa partie réductive. Nous choisissons cette décomposition de façon à ce ad(L_{0}), qui est un élément hyperbolique, appartienne à 𝔯. Nous noterons enfin π la projection de Ad(G_{e}) sur R = Ad (Ge)/U_{0}, et par abus de langage π également la projection de 𝔤 dans 𝔯 qui s’en déduit.

3.1.2. En anticipant sur la suite révèlons que dans la proposition 3, U sera égal à (Ad^{−1}(U_{0}))_{e}.

3.1.3. Considérons maintenant les sous-algèbres 𝔮^{±} = π(𝔭^{±}) de 𝔯. Comme dans [B-F-L], un point clef est alors le

Lemme.

(a) les sous-algèbres de Lie 𝔮^{±} sont paraboliques.

(b) Nous avons l’égalité

π(𝔥) = 𝔮^{+} ∩ 𝔮^{−}

Démonstration : identifions 𝔤 et ad (𝔤) et considérons 𝔯 l’algèbre de Lie de R qui contient L_{0}.

Notons maintenant pour toute sous-algèbre 𝔨

𝔨_{i} = {X ∈ 𝔨, [L_{0}, X] = iX}.

Nous avons donc

𝔤_{i} ⊂ 𝔭^{+} si i ≤ 0

𝔤_{i} ∩ 𝔯 = 𝔯_{i}

Ceci nous permet d’affirmer que la sous-algèbre 𝔮^{+} = π(𝔭^{+}) contient la sous-algèbre parabolique 𝔯^{+} = ∑_{i≤0} 𝔯_{i}. Elle est donc également parabolique [Bo, ch VIII, § 3 n^{∘} 4].

Comme 𝔥 est inclus dans 𝔭^{+}∩𝔭^{−} on en déduit que π(𝔥) est inclus dans π(𝔭^{+})∩π(𝔭^{−}). Réciproquement, nous savons que π(𝔭^{+}) ∩ π(𝔭^{−}) = 𝔨 contient L_{0}.

Montrons que 𝔨 = 𝔨_{0} ⊂ 𝔥.

Considérons donc 𝔨_{i} tel que 𝔨_{i} ≠ {0}. La sous-algèbre π^{−1}𝔨_{i} est stable par l’action adjointe de L_{0}. Comme π^{−1}(𝔨_{i}) ∩ 𝔭^{+} ≠ {0}, on en déduit i ≤ 0, de même i ≥ 0 et donc i = 0. ▷

3.1.4. On est ainsi amené à considérer les normalisateurs Q^{+} de 𝔮^{+} dans R c’est-à-dire

Q^{±} = {g ∈ R, Ad (g)𝔮^{±} = 𝔮^{±}}.

Les sous-algèbres 𝔮^{±} étant paraboliques, elles sont égales à leurs normalisateurs et donc Q^{±} est d’algèbre de Lie 𝔮^{±}. Le groupe π ∘ Ad (P_{e}^{+}) est alors la composante connexe de l’identité de Q^{+}.

3.1.5. Le lemme 3.1.3 entraîne donc que l’espace R/Q^{+} est une variété de drapeaux que nous appellerons petit espace des feuilles, petit car le véritable espace des feuilles G/P^{+}, qui d’après 2.2.6 s’identifie à G_{e}/P_{e}^{+}, fibre au dessus de R/Q^{+} d’après 3.1.4...

Par abus de notations, nous noterons π la projection de Ṽ = G/H dans R/Q^{+}. Elle est par construction G-équivariante.

3.1.6. Nous voulons donc maintenant montrer que les petits espaces des feuilles sont réduits à un point. En effet, ceci entraîne la proposition 3 d’après la

Proposition. Si les petits espaces des feuilles R/Q^{+} et R/Q^{−} sont réduits à un point alors le sous-groupe nilpotent simplement connexe et distingué U = (Ad^{−1}(U_{0}))_{e}, agit transitivement sur Ṽ.

Démonstration : en effet les hypothèses entraînent que 𝔯 = 𝔮^{+} = 𝔮^{−}. D’après 3.1.(b) on a π(𝔥) = 𝔯 et donc 𝔤 = 𝔥 + 𝔲. Ceci entraîne le résultat en remarquant que puisque le centre Z de G est discret, le morphisme Ad de U dans U_{0} est un revêtement et donc une bijection. ▷

3.2. Points fixes d’un élément de Δ.

3.2.1. Rappelons, que Δ est le sous-groupe de G engendré par Γ et φ̃. Notons par abus de langage π la projection de Ṽ sur le petit espace des feuilles R/Q^{+}.

Nous voulons démontrer la

Proposition. Soit δ un élément de Δ relevant une puissance positive de φ et v un point fixe de δ dans Ṽ. La projection π(v) de v sur R/Q^{+} est un point fixe attracteur de δ dont le bassin d’attraction est un ouvert dense.

Démonstration : mettons l’origine de Ṽ en v. Pour n suffisamment grand δ^{n} est une application contractante de F̃_{v}^{−} dans elle-même. En particulier, comme la projection de F̃_{v}^{−} dans R/Q^{+} est ouverte, nous en déduisons que π(v) est un point fixe attracteur pour δ et que son bassin d’attraction contient π(F̃_{v}^{−}) et en particulier l’orbite de π(v) sous Q^{−}. Ce dernier groupe étant parabolique, nous en déduisons que le bassin d’attraction est dense d’après le lemme de Bruhat. ▷

3.2.2. Nous avons le

Corollaire. Soit δ un élément de Δ \ {1} et F l’ensemble des points fixes de δ dans Ṽ. L’ensemble π(F) a alors zéro ou un élément.

Démonstration : en effet, un difféomorphisme ne peut avoir plus d’un point fixe attracteur dont le bassin est dense. ▷

3.3. L’adhérence de Zariski de π ∘ Ad (Δ).

3.3.1. Soit R_{1} = \overline{π ∘ Ad (Δ)_{e}}, la composante connexe de l’adhérence de Zariski de π ∘ Ad (Δ) dans R. Nous avons donc alors comme dans [B-F-L], la proposition

Proposition. Le groupe R_{1} est un groupe réductif qui agit transitivement sur R/Q^{+}.

Démonstration : en effet, de la densité des feuilles instables pour un difféomorphisme d’Anosov topologiquement transitif, on en déduit que chaque orbite de π ∘ Ad (Δ) sur R/Q^{+} est dense. Dès lors comme dans [B-F-L], ceci montre que \overline{π ∘ Ad (Δ)} agit transitivement et est donc réductif. Ce qui entraîne le résultat pour R_{1}. ▷

3.3.2. Soit alors Q_{1}^{+} = R_{1} ∩ Q^{+}, on en déduit le

Corollaire. Les deux variétés R_{1}/Q_{1}^{+} et R/Q^{+} sont isomorphes. En particulier 𝔮_{1}^{+} est une sous-algèbre parabolique de 𝔯_{1}.

3.3.3. Remarquons que 𝔯_{1} contient nécessairement L_{0} et que le groupe G_{1} = R_{1} × U est la composante connexe d’un groupe algébrique et contient un sous-groupe d’indice fini de Ad (Δ).

3.3.4. Rappelons que nous voulons montrer que R_{1}/Q_{1}^{+} = R/Q^{+} est réduit a un point (cf. 3.1.6.). Nous supposerons dans la suite que R_{1} n’est pas commutatif, puisque dans ce cas le résultat est trivial.

3.4. A la recherche de bons éléments de Δ.

3.4.1. Soit 𝔯1 l’algèbre de Lie de R_{1} que nous voyons comme une sous-algèbre de Lie de 𝔤 identifiée à ad (𝔤).

Soit 𝔠 une sous-algèbre de Cartan de 𝔯1 contenant L_{0} et la plus déployée (c’est-à-dire contenant un sous-espace de Cartan) et considérons J le centralisateur de 𝔠 dans G :

J = {x ∈ G/ ∀Y ∈ C, Ad (x)Y = Y }

Nous posons alors la

Définition : un élément de G est dit bon si il est conjugué à un élément de J_{e} et différent de l’identité.

Remarquons que puisque 𝔧 ⊂ 𝔥, on a toujours J_{e} ⊂ H et dès lors, un bon élément a toujours un point fixe dans Ṽ. Le but de cette section est de montrer la

Proposition. Il existe un bon élément dans Δ.

3.4.2. Posons nous tout d’abord un problème analogue de G_{1}. Soit I le centralisateur de 𝔠 dans G_{1} :

I = {x ∈ G_{1}/ ∀Y ∈ 𝔠, Ad (x)Y = Y }.

Par ailleurs, pour tout x de G_{1}, notons G_{1}^{x} son centralisateur et posons

d = inf_{x∈R_{1}} dim 𝔤_{1}^{x}

Considérons alors

R_{1}^{reg} = {x ∈ R_{1}/ dim 𝔤_{1}^{x} = d}

Remarquons que si R_{1} n’est pas commutatif (ce que nous supposerons, cf. 3.3.4.), R_{1}^{reg} ne contient pas l’identité.

Notre but est de montrer le lemme suivant dont la démonstration n’utilise que la Zariski densité de π ∘ Ad (Δ).

Lemme. Il existe un élément δ de Δ tel que Ad (δ) soit conjugué à un élément g de I_{e} vérifiant de plus 𝔤_{1}^{g} ⊂ 𝔦 3.4.3. Nous avons besoin du lemme préparatoire :

Lemme. Soit g un élément de G_{1} tel que π(g) ∈ I ∩ R_{1}^{reg}, alors g est conjugué à un élément g_{1} de I tel que 𝔤_{1}^{g_{1}} ⊂ 𝔦.

Démonstration : remarquons tout d’abord que si h ∈ I ∩ R_{1}^{reg}, alors 𝔤_{1}^{h} = 𝔦. Ceci suit d’un raisonnement élémentaire. En effet considérons C = I ∩ R_{1}, c’est un groupe commutatif (car R_{1} est linéaire) d’algèbre de Lie 𝔠 et dont tous les éléments agissent de façon semi-simple sur 𝔤1 par la représentation adjointe.

Pour tout caractère α de C on peut écrire

(𝔤_{1})_{ℂ}^{α} = {X ∈ (𝔤_{1})_{ℂ}/ ∀c ∈ C ; Ad(c)X = α(c)X}.

et considérer l’ensemble des poids

P = {α caractères non triviaux de C/ (𝔤_{1})_{ℂ}^{α} ≠ {0}}

On a alors

(𝔤_{1})_{ℂ} = 𝔦_{ℂ} ⊕_{α∈P}(𝔤_{1})_{ℂ}^{α}.

L’ensemble R_{1}^{reg} étant un ouvert de Zariski (et donc un ouvert dense pour la topologie usuelle) invariant par conjugaison, on en déduit que I ∩ R_{1}^{reg}, est non vide (l’ensemble des éléments conjugués à I contenant un ouvert) et que I ∩ R_{1}^{reg} est égal au complémentaire de la réunion du noyau des poids :

I ∩ R_{1}^{reg} = {x ∈ C/ ∀α ∈ P, α(x) ≠ 1}

Ce qui prouve notre assertion. Soit maintenant g un élément de G_{1} vu comme sousgroupe de GL(𝔤). Ecrivons sa décomposition de Jordan

g = g^{s}g^{u}

où g^{s} est semi-simple et g^{u} = exp(X) où ad(X) est nilpotent.

Comme G_{1} est la composante connexe d’un groupe algébrique, on en déduit que g^{s} et g^{u} appartiennent tous deux à G_{1}.

On peut maintenant conjuguer g par un élément de U de façon à obtenir un élément g_{1} de décomposition de Jordan

g_{1} = g_{1}^{s} exp (X_{1})

tel que g_{1}^{s} appartienne à R_{1}. Remarquons que π(g) = π(g_{1}).

Par ailleurs, nous savons que ad(g_{1})(X_{1}) = X_{1} c’est-à-dire que X_{1} ∈ 𝔤_{1}^{g_{1}}. De même nous savons que 𝔤_{1}^{g_{1}} ⊂ 𝔤_{1}^{g_{1}^{s}}.

En projetant, nous obtenons donc que Dπ(X_{1}) appartient à 𝔤_{1}^{π(g_{1})} ∩ 𝔯_{1}.

Si maintenant π(g) (= π(g_{1})) appartient à I ∩ R_{1}^{reg}, notre remarque initiale entraîne que Dπ(X_{1}) appartient à 𝔦 ∩ 𝔯_{1} = 𝔠. Or 𝔠 ne contient que des éléments semi-simples, ce qui entraîne Dπ(X_{1}) = 0.

En particulier, g_{1}^{s} = π(g_{1}) appartient à I ∩ R_{1}^{reg} et donc 𝔤_{1}^{g} ⊂ 𝔤_{1}^{g_{s}} = 𝔦. Enfin X_{1} ∈ 𝔤_{1}^{g} ⊂ 𝔦 et donc g_{1} = exp(X_{1})g_{1}^{s} appartient à I. ▷

3.4.4. Démonstration du lemme 3.4.2.

Grâce au lemme précédent c’est une application du théorème A.1. En effet par construction R_{1} = \overline{π ∘ Ad (Δ)_{e}}, il existe donc un sous-groupe D_{1} d’indice fini dans π∘ Ad (Δ) tel que

(i) D_{1} ⊂ R_{1}

(ii) R_{1} = (\overline{D_{1}})_{e}.

Soit p le nombre de composantes connexes de I. D’après A-1, l’ensemble des éléments h-réguliers de D_{1} (qui sont automatiquement conjugués à C = I ∩ R_{1}) est Zariski dense. Par ailleurs, R_{1}^{reg} est un ouvert de Zariski. Il existe donc un élément x de D_{1} conjugué à un élément de I tel que x^{p} (et donc aussi x) appartient à R_{1}^{reg}.

Soit δ′ tel que π(δ′) = x, alors d’après le lemme précédent (appliqué à δ′ et δ^{′p}) on en déduit que δ = δ^{′p} appartient à I_{e} et vérifie 𝔤_{1}^{δ} ⊂ 𝔦. ▷

3.4.5. Il nous faut maintenant montrer que le lemme 3.4.2 entraîne la proposition 3.4.1. A cause de la présence éventuelle d’un centre infini dans G, cela ne suit pas d’une démarche directe. Soit δ_{1} un élément produit par le lemme 3.4.2. Nous allons construire un bon élément de δ_{2} en cherchant un élément commutant avec δ_{1} et ayant un point fixe.

Comme G/Z s’identifie à Ad(G) on en déduit qu’il existe un élément z du centre de G tel que zδ_{1} soit conjugué à un élément de J_{e}. c’est-à-dire

zδ_{1} ∈ xJ_{e}x^{−1}

et donc

zδ_{1} ∈ xH_{e}x^{−1}

Le difféomorphisme zδ_{1} de Ṽ a donc ṽ_{1} = xṽ_{0} comme point fixe. Puisque zδ_{1} normalise π_{1}(Γ), il donne naissance a un difféomorphisme ψ de V. Soit v_{1} la projection de ṽ_{1}, montrons alors le

Lemme. Le point v_{1} est périodique pour φ.

Démonstration : remarquons tout d’abord que si g a comme point fixe xṽ_{0} dans Ṽ, les valeurs propres de la différentielle de g en xṽ_{0} sont celles de Ad(g) sur 𝔤/Ad(x)𝔥 (cf. 2.2.1.).

En particulier, les valeurs propres de la différentielle de g en xṽ_{0} et en z^{p}xṽ_{0} sont identiques (z^{p}xṽ_{0} étant bien évidemment un point fixe de g).

Par ailleurs, comme 𝔤^{zδ_{1}} ⊂ x𝔧x^{−1} ⊂ x𝔥x_{1}^{−1} on en déduit que les valeurs propres de zδ_{1} en xṽ_{0} sont toutes différentes de 1.

En conclusion, les valeurs propres de ψ en v_{1} sont identiques à celle de ψ en z^{p}v_{1} et sont toutes différentes de 1.

Le point v_{1} est donc périodique pour l’action de z (sur V) et donc pour φ. Dans le cas contraire, soit v_{2} = lim_{i→∞} z^{p_{i}}v_{1}, où z^{p_{i}}v_{1} ≠ v_{2} pour tout i. Le point v_{2} est alors un point fixe par ψ et, par continuité, les valeurs propres de Dψ en v_{2} sont toutes différentes de 1, on obtient ainsi que v_{2} est un point fixe isolé et la contradiction. ▷

3.4.6. Remarquons maintenant que puisque v_{1} est périodique par φ, il existe donc δ_{2} appartenant à Δ, relevant une puissance non nulle de φ tel que δ_{2}ṽ_{1} = ṽ_{1}.

Nous avons alors la

Proposition. Les éléments δ_{1} et δ_{2} commutent.

Démonstration : en effet, considérons δ_{1}δ_{2}δ_{1}^{−1}δ_{2}^{−1}. Tout d’abord c’est un élément de Γ, puisque Δ =< φ̃, Γ > où φ̃ normalise Γ. Ensuite, v_{1} est un point fixe de δ_{1}δ_{2}δ_{1}^{−1}δ_{2}^{−1}. On en déduit donc que δ_{1}δ_{2}δ_{1}^{−1}δ_{2}^{−1} = Id. ▷

3.4.7. Nous sommes en mesure enfin de montrer le corollaire suivant qui achève la démonstration de 3.4.1.

Corollaire. Il existe n > 0 tel que δ_{2}^{n} soit un bon élément.

Démonstration : changeons de point base pour simplifier de façon à ce que ṽ_{1} = ṽ_{0}. L’élément δ_{2} appartient à H. Considérons comme toujours le morphisme Ad de G dans End(𝔤) et Ad(H) l’image de H.

Puisque δ_{1} et δ_{2} commutent, Ad(δ_{2}) appartient à G_{1}^{Ad(δ_{1})} ∩ Ad(H) = G_{2}. Ce groupe est un sous-groupe algébrique de End(𝔤) (cf. 2.2.4. et 2.3.5.) qui a donc un nombre fini de composantes connexes.

Nous en déduisons donc qu’il existe r > 0 tel que Ad(δ_{2}^{r}) appartienne à (G_{2})_{e}. Par ailleurs 𝔤_{2} ⊂ 𝔤_{1}^{Ad(δ_{1})} ⊂ J (cf. 3.4.2).

Ceci entraîne que Ad(δ_{2}^{r}) appartient à (I ∩ Ad(H))_{e}. La restriction de Ad à H est injective (cf. 2.2.4), On en déduit donc que δ_{2}^{r} appartient à (J ∩ H)_{e} ⊂ J_{e}. Enfin δ_{2}^{r} relevant une puissance non nulle de φ est différent de l’identité. ▷

3.5. Conclusion

3.5.1. Nous savons depuis 3.1.6 qu’il nous faut montrer que R/Q^{+} (et R/Q^{−}) sont réduits à un point pour obtenir la proposition 3. Comme R_{1}/Q_{1}^{+} = R/Q^{+} (cf. 3.3.2.), nous allons montrer en exhibant trop de points fixes d’un bon élément la

Proposition. Les variétés R_{1}/Q_{1}^{+} et R_{1}/Q_{1}^{−} sont réduites à un point.

Démonstration : Nous allons faire le raisonnement sur R_{1}/Q_{1}^{+}, le cas de R_{1}/Q_{1}^{−} s’en déduisant par symétrie.

Soit donc δ un bon élément dans Δ (cf. 3.4.1) et soit x tel que xδx^{−1} ∈ J_{e}. Comme J_{e} ⊂ H, δ fixe le point ṽ_{1} = xṽ_{0}.

Soit ensuite N le normalisateur de 𝔠 dans G.

N = {g ∈ G/ Ad(g)𝔠 = 𝔠}.

le sous groupe J étant le centralisateur de 𝔠, N normalise J et donc J_{e}.

Autrement dit, pour tout n dans N, δ fixe le point n.ṽ_{1}. Considérons donc π la projection de Ṽ sur R_{1}/Q_{1}^{+}. Nous en déduisons (cf. 3.2.1) que l’orbite de π(ṽ_{1}) sous π ∘ Ad(N) est réduite à un point.

Or π ∘ Ad(N) ∩ R_{1} contient le groupe W défini par

W = {w ∈ R_{1}/Ad(w)𝔠 = 𝔠}.

Maintenant le lemme de Bruhat (cf. [Wa] prop. 1.2.1.10) entraîne que W/W ∩ Q_{1}^{+} a au moins deux éléments si Q_{1}^{+} ≠ R_{1}.

Dès lors l’orbite de W sur R_{1}/Q_{1}^{+} a au moins deux éléments ce qui amène la contradiction. ▷

4. Le groupe fondamental est virtuellement nilpotent.

Nous allons dans cette section achever la démonstration du théorème 1. Pour cela il nous faut essentiellement montrer que Γ est virtuellement nilpotent. Remarquons que le problème se pose déjà, lorsque V est une variété affine plate compacte et complète. Conjecturalement, une telle variété a un groupe fondamental virtuellement polycyclique [Mi] [To]. Dans notre cas, nous allons exploiter l’hypothèse donnée par l’existence d’un difféomorphisme d’Anosov.

En 4.1., nous précisons quelques faits concernant les espaces homogènes, et tout particulièrement aux homogènes sous un groupe nilpotent U.

En particulier, nous montrons qu’un spectre est associé à tout difféomorphisme d’un tel espace normalisant l’action de U. L’existence d’un point fixe se manifeste alors au niveau de ce spectre.

En 4.2., nous exploitons l’existence d’un difféomorphisme d’Anosov (en fait un difféomorphisme affine ayant un nombre fini non nul de points fixes suffirait) sous la forme d’une alternative (4.2.2.).

Grâce à cette alternative, nous concluons finalement en 4.3.

4.1. Le cadre du problème

4.1.1. Commençons par quelques faits élémentaires concernant les espaces homogènes. Soit Ṽ une variété sur laquelle agit transitivement et fidèlement un groupe U. Modulo le choix d’un point barre m_{0}, Ṽ s’identifie donc à U/U′ où U′ est le stabilisateur de m_{0}.

Soit Aff(U; Ṽ) - ou Aff(U, U′) - le groupe des difféomorphismes de Ṽ qui normalisent l’action de U. Le groupe U lui-même en est un sous-groupe distingué et Aff(U, Ṽ)/U s’identifie au groupe Aut(U, U′)/In(U′) où Aut(U, U′) désigne le groupe des automorphismes de U laissant invariant U′ et où In(U′) le sous-groupe distingué de Aut(U, U′) provenant des automorphismes intérieurs dus à U′.

4.1.2. Spécialisons nous maintenant au cas où le groupe U est nilpotent simplement connexe. C’est notre cas d’après la proposition 3, et de plus G, et donc Δ, est un sousgroupe de Aff(U, Ṽ). Par ailleurs Aut(U, U′), s’identifie alors au groupe Aut(𝔲, 𝔲′) des automorphismes de 𝔲 qui préservent 𝔲′. En particulier Aut(U, U′) s’envoie sur un sousgroupe algébrique de GL(𝔲/𝔲′) tel que l’image de In(U′) en soit un sous-groupe unipotent distingué.

4.1.3. Ceci va nous permettre de définir le spectre d’un élément de Aff(U; Ṽ). Définissons tout d’abord le spectre d’un élément de Aut(U, U′) comme celui de son image dans GL(𝔲/𝔲′). Comme In(U′) est unipotent distingué dans Aut(U, U′), le spectre d’un élément ne dépend que de sa projection dans Aut(U, U′)/In(U′). Par définition, le spectre d’un élément de Aff(U; Ṽ) est celui de sa projection dans Aut(U, U′)/In(U′) = Aff (U; Ṽ)/U.

4.1.4. On vérifie que cette définition est indépendante du choix d’un point base dans Ṽ. De plus le spectre d’un élément est invariant par conjugaison.

En particulier, si un élément g de Aff(U; Ṽ) a un point fixe v, le spectre de g est celui de T_{v}g, la différentielle de g en v.

4.1.5. Comme dans le cas où Ṽ est l’espace affine de dimension n et U est R^{n} nous avons le lemme.

Lemme. Tout élément de Aff(U; Ṽ) dont le spectre ne contient pas 1 a un point fixe.

Démonstration : représentons un tel élément par un élément g = (a, u) de Aut(U, U′)⋉U tel que le spectre de a sur 𝔲/𝔲′ ne contienne pas 1.

Nous allons le démontrer par récurrence.

Soit C^{i}(𝔲) la suite centrale descendante de 𝔲 : C^{∘}(𝔲) = 𝔲 et C^{i}(𝔲) = [𝔲, C^{i−1}(𝔲)]. Soit C^{i}(U) le sous-groupe connexe d’algèbre de Lie C^{i}(𝔲) et U_{i} = U′C^{i}(U) : c’est le sous-groupe connexe de U d’algèbre de Lie 𝔲_{i} := 𝔲′ + C^{i}(𝔲). On a, pour i > i_{0}, U_{i} = U′.

Remarquons que g est aussi un élément de Aff(U, U_{i}). Montrons, par récurrence sur i, que g a un point fixe dans U/U_{i} : c’est vrai pour i = 0 ; supposons le résultat vrai pour i − 1 et montrons le pour i.

Soit v dans U tel que vU_{i−1} est un point fixe de g dans U/U_{i}. Quitte à remplacer g par v^{−1}gv ∈ Aff(U, U′), qui a même spectre, on peut supposer que v = 1.

Ecrivons g = exp(X).a avec X ∈ U_{i−1} et a ∈ Aut(U, U′) et cherchons Y dans C^{i−1}(𝔲) tel que le point exp(Y)U_{i} de U/U_{i} est fixé par g, c’est-à-dire tel que w := exp(−Y) exp(X) exp(a(Y)) est dans U_{i}.

Or, on peut écrire

w = exp (a(Y) − Y + X + Z) avec Z ∈ C^{i}(U)

L’hypothèse sur les valeurs propres de g permet de trouver Y dans C^{i−1}(U) tel que a(Y) − Y = −X modulo C^{i}(𝔲) + 𝔲′ ∩ C^{i−1}(𝔲). Pour un tel Y, W est dans U_{i}. C’est ce que l’on voulait.

4.2. L’alternative

4.2.1. Soit φ^{n} une puissance de φ ayant un point fixe sur V, et soit {v_{0}, ⋯, v_{p}} l’ensemble (fini) de ces points fixes. Pour chaque i, soit ṽ_{i} un relevé de v_{i} dans Ṽ et δ_{i} un relevé de φ^{n} tel que δ_{i}ṽ_{i} = ṽ_{i}.

4.2.2. Le but de cette section est la démonstration (triviale) de l’alternative suivante.

Lemme. Soit γ un élément de Γ, on a alors l’alternative

(i) le spectre de δ_{0}γ contient 1. (ii) δ_{0}γ est conjugué à l’un des δ_{i}

Démonstration : Nous avons l’alternative suivante (a) soit δ_{0}γ n’a pas de point fixe.

(b) soit δ_{0}γ a un point fixe.

Pour la démonstration, nous renvoyons à [C].

D’après 4.1.5., (a) entraîne (i). Ensuite si δ_{0}γ a un point fixe, celui-ci est de la forme γ_{0}ṽ_{i} pour γ_{0} appartenant à Γ. Dès lors γ_{0}^{−1}δ_{0}γ γ_{0}^{−1} a ṽ_{i} comme point fixe et relève φ. On a donc γ_{0}^{−1}δ_{0}γ γ_{0} = δ_{i}, c’est-à-dire (b) entraîne (ii).

Enfin, 1 n’appartient pas au spectre des δ_{i} puisque δ_{i} est affine et que ses points fixes sont isolés (car ceux de φ le sont). L’alternative est donc exclusive. ▷

4.3. Conclusion

4.3.1. Nous allons conclure la démonstration du théorème en montrant la

Proposition. il existe un sous-groupe N de G agissant transitivement et librement sur Ṽ tel que

(i) Δ normalise N, (ii) N ∩ Γ est un sous-groupe d’indice fini de Γ, et cocompact dans N.

4.3.2. Le groupe N va apparaître comme une adhérence de Zariski. Le groupe U étant simplement connexe, il admet une représentation unipotente. Le groupe Aff(U, U′) = (Aut(U, U′)/In(U′))⋉U peut alors être muni d’une structure algébrique. Pour cette structure, l’ensemble des éléments dont le spectre contient un réel donné est une sous-variété algébrique.

La proposition 4.3.1 va alors être une conséquence de la

Proposition. Le groupe N = (\overline{Γ})_{e}, composante connexe de l’identité de l’adhérence de Zariski de Γ dans Aff(U, U′) est un groupe nilpotent.

4.3.3. Démontrons tout d’abord cette dernière affirmation. Soit tout d’abord Z_{0} la sousvariété algébrique de Aff(U, U′) composé des éléments ayant 1 dans leur spectre. Soit ensuite O l’adhérence de Zariski de la réunion des classes de conjugaison des δ_{i} sous U′′

O = \overline{⋃_{i}\{gδ_{i}g^{−1}, g ∈ U′′\}}.

Les éléments de O ont comme spectre celui de l’un des δ_{i}. Comme ces derniers ne contiennent pas 1, on en déduit

O ∩ Z_{0} = ϕ

Par ailleurs, d’après l’alternative 4.2.2

δ_{0}N ⊂ O ∪ Z_{0}

Et donc par connexité, δ_{0}U′′ est inclus soit dans O soit dans Z_{0}. Par ailleurs, δ_{0}N ∩O est non vide (il contient δ_{0}).

On en déduit donc

δ_{0}N ⊂ O

la proposition va donc être une conséquence du

Lemme. Soit G un groupe algébrique, δ_{0} un élément de G, G_{1} un sous-groupe distingué tel que G soit l’adhérence de Zariski du groupe engendré par G_{1} et δ_{0}.

Supposons de plus qu’il existe des éléments δ_{1}, ⋯, δ_{p} de G tel que

δ_{0}G_{1} ⊂ \overline{⋃_{i}\{gδ_{i}g^{−1}, ∀g ∈ G_{1}\}}.

ou ce dernier ensemble désigne l’adhérence de Zariski de la réunion des orbites des δ_{i} sous la conjugaison de G_{1}.

Alors (G_{1})_{e} est unipotent.

Démonstration : soit tout d’abord R le radical résoluble de G et π la projection de G sur G/R. Comme G/R est semi simple et G/G_{1} commutatif, on en déduit que π(G) = π(G_{1}). L’hypothèse entraîne alors que π(G) est l’adhérence de Zariski de la réunion d’un nombre fini de classes de conjugaison, ce qui est impossible.

Le groupe G est donc résoluble, soit U son radical unipotent. G/U est commutatif et l’hypothèse entraîne que G_{1}/U est discret, et donc que (G_{1})_{e} est inclus dans U. ▷ 4.3.4. Il nous reste à montrer que la proposition 4.3.2 entraîne la proposition 4.3.1.

C’est-à-dire que

(i) N ∩ Γ est d’indice fini dans Γ et cocompact dans N

(ii) N agit transitivement et librement sur Ṽ.

(iii) N est inclus dans G.

Il est clair par ailleurs que Δ normalise N.

Tout d’abord, par construction N ∩ Γ est d’indice fini dans Γ (un groupe algébrique n’a qu’un nombre fini de composantes connexes). Comme \overline{N ∩ Γ} = N, on en déduit que N ∩ Γ est cocompact : un sous-groupe discret Zariski dense d’un unipotent est cocompact. Nous avons donc montré (i).

Comme Γ∩N est cocompact dans N et qu’il agit proprement dans U/U′ on en déduit que N agit librement sur U/U′.

Ensuite, en remplaçant éventuellement U par le groupe unipotent NU, on peut supposer que N est inclus dans U. Comme Γ\U/U′ est compact on en déduit que N\U/U′ est compact. Comme nous sommes en présence de trois groupes unipotents on en déduit que N\U/U′ est réduit à un point et donc que N agit transitivement sur U/U′. On a montré (ii).

Enfin N ∩ G contient N ∩ Γ qui est Zariski dense dans N. Un sous-groupe fermé d’un groupe unipotent étant toujours algébrique on en déduit N ∩ G = N, c’est à dire (iii).

4.3.5. Remarque finale.

Le lemme suivant est bien connu, il montre que le théorème 0.4 permet d’obtenir tous les infranilautomorphismes hyperboliques, avec en plus une connexion plate.

Lemme. Soit ϕ_{0} un infranilautomorphisme hyperbolique d’une infranilvariété V_{0}. Alors il existe une connexion ∇ (plate, sans torsion et complète) sur V_{0} preservée par ϕ_{0}.

Démonstration : reprenons les notations de 0.2. Identifions 𝔫 à l’algèbre de Lie des champs de vecteurs sur N invariants à gauche. Soit D le logarithme de la partie hyperbolique de Φ_{0} ; c’est une dérivation inversible de 𝔫 qui commute à Φ_{0}.

La formule de Scheuneman, pour X, Y dans N :

∇_{X}Y = D^{−1}([X, DY])

définit une connexion plate, sans torsion et complète sur N invariante par translation à gauche [Sc]. Cette connexion est préservée par Φ_{0} et par Γ (remarquons que l’image de Γ dans Aut(N) est un groupe fini normalisé par Φ_{0} , il commute donc à D). Elle induit donc une connexion plate sans torsion, complète et invariante par ϕ_{0} sur V_{o}. ▷

Appendice : sur les sous-groupes Zariski denses des groupes réductifs.

Le but de cette appendice est de démontrer une propriété de ces sous-groupes qui est utilisé en 3.4 et dont la démonstration est basée sur des résultats profonds de théorie ergodique : [Go-Ma] et [Gu-Ra].

Cet appendice doit beaucoup à une discussion avec Y. Guivarc’h.

A.1 - Les éléments h-réguliers.

Soient G un groupe algébrique réel réductif et 𝔤 son algèbre de Lie.

A.1.1. Introduisons la

Définition : un élément hyperbolique de G est dit h-régulier si son centralisateur est de dimension minimale (parmi les éléments hyperboliques). Un élément g de G est dit h-régulier (relativement à G) si sa partie hyperbolique (dans sa décomposition de Jordan) l’est.

Voici quelques exemples :

(i) Si G = GL(n, R) les éléments h-réguliers sont les éléments à valeurs propres réelles distinctes.

(ii) Si G = SO(n, 1) (ou si G est de rang réel 1) les éléments h-réguliers sont les éléments semi-simples non elliptiques.

(iii) Si [G, G] est compact, tout élément de G est h-régulier.

Le théorème suivant est une conséquence de [Gu-Ra] ou de [Go-Ma] (cf. [To] lemme 4.1 pour le cas où G est déployé).

Théorème. Soient G un groupe algébrique réel réductif et Γ un sous-groupe Zariski dense. Alors l’ensemble des éléments h-réguliers de Γ est encore Zariski dense.

Faute de référence écrite pour ce théorème, détaillons les principales étapes de la démonstration.

L’idée de départ est d’étudier les exposants de Liapounov d’une marche aléatoire sur Γ (A.3) et d’en déduire que cette marche aléatoire passe presque sûrement par des éléments h-réguliers (A.4).

Une fois qu’on dispose d’un élément h-régulier dans Γ, il n’est pas difficile d’en avoir “beaucoup” (A.5).

Dans la dernière partie (A.6), on améliore ce théorème en montrant que, si G n’est pas commutatif, on peut construire un sous-groupe libre à 2 générateurs de Γ qui est encore Zariski dense et dont tous les éléments (sauf l’identité) sont h-réguliers. Ce qui prouve que ce théorème est, en quelque sorte, optimal.

A.2 - Action des éléments h-réguliers sur G/P.

Introduisons quelques notations classiques : soient 𝔞 un sous-espace de Cartan de 𝔤, A = exp(𝔞), θ une involution de Cartan de G telle que θ(a) = a^{−1}, pour tout a dans A.

Soient également

K := {g ∈ G/θ(g) = g},
L = Z_{G}(𝔞) := {g ∈ G/∀X ∈ 𝔞, Adg(X) = X}

et M = K ∩ L. On a l’égalité L = M × A.

Pour tout caractère χ de A (ou 𝔞), on note

𝔤^{χ} := {X ∈ 𝔤/ ∀a ∈ A Ada(X) = χ(a)X}

l’espace de poids correspondant. Soient - Σ := {χ caractère de A/χ ≢ 1 et 𝔤^{χ} ≠ {0}} l’ensemble des racines restreintes,

- Σ^{+} un choix de racines positives,

- π la base de Σ^{+}, A^{+} := {a ∈ A/ ∀ χ ∈ π, χ(a) > 1},

- L^{+} := MA^{+},

- 𝔞^{+} := Log(A^{+}) la chambre de Weyl (ouverte) positive,

- 𝔫^{±} = ⊕_{χ∈Σ^{+}}𝔤^{χ^{±1}},

- N^{+} le sous-groupe connexe d’algèbre de Lie 𝔫^{+},

- P = MAN^{+} le sous-groupe parabolique minimal de G associé à Σ^{+}. Par définition, un élément g de G est h-régulier s’il est conjugué à un élément de L^{+},

autrement dit c’est un élément semi-simple dont la partie hyperbolique est conjugué à un élément de A^{+}. L’ensemble de ces éléments est un ouvert pour la topologie usuelle mais pas pour la topologie de Zariski.

On munit l’espace homogène G/P d’une métrique riemannienne K-invariante.

Critère. On a l’équivalence, pour g dans G.

(i) g est h-régulier.

(ii) g a un point fixe attracteur x dans G/P (i.e. g.x = x et il existe un voisinage V_{x} de n tel que lim_{n→∞} g^{n}(V_{x}) = {x}).

(iii) g a un point fixe attracteur hyperbolique x dans G/P (i.e. g.x = x et il existe n > 0 tel que l’application tangente en x à g^{n} est strictement contractante : ||T_{x}g^{n}|| < 1).

Démonstration :

(i)⇒ (iii) On peut supposer que g est dans L^{+}. Le point base x_{0} = P de G/P est un point fixe de g et l’application tangente en ce point, qui s’identifie à Adg|𝔫^{−}, a toutes ses valeurs propres en module strictement inférieurs à 1.

(iii)⇒ (i) On peut supposer que x = x_{0}. La décomposotion de Jordan de g permet d’écrire g = g_{e} g_{h} g_{u} où g_{e}, g_{h}, g_{u} sont des éléments de P qui commutent deux à deux tels que g_{e} est elliptique, g_{h} est hyperbolique et g_{u} est unipotent. Quitte à conjuguer g par un élément de P, on peut supposer que g_{h} est dans A. Par hypothèse Ad(g_{h})|𝔫^{−} est une application linéaire dont les valeurs propres sont strictement inférieures à 1. Donc g_{h} est dans A^{+}. On en déduit que g_{u} = 1 et que g_{e} est dans M. Ceci prouve bien que g est un élément de L^{+}.

L’équivalence (i)⇔ (ii) ne nous sera pas utile : elle est laissée au lecteur. ▷

A.3 - Multiplicité des exposants de Liapounov.

Le but de ce paragraphe et du suivant est de montrer que Γ contient au moins un élément h-régulier. Quitte à remplacer Γ par son adhérence pour la topologie usuelle et G par son quotient par son centre, on peut se restreindre au cas où G est semi-simple et Γ est fermé pour la topologie usuelle.

On suppose donc dans ce paragraphe et le suivant que G est semi-simple et que Γ est fermé pour la topologie usuelle.

Soit μ une mesure de probabilité sur G telle que Γ est le plus petit sous-groupe fermé contenant le support de μ et telle que on a la condition d’intégrabilité :

∫_{G} log (sup(||g||, ||g^{−1}||)) < ∞

On considère l’espace probabilisé (Ω = G^{ℤ}, B, P) où B est la tribu produit et P la mesure produit μ^{⊗ℤ}. La suite (Y_{n})_{n∈ℤ} donnée par la nième coordonnée est une suite de variables aléatoires indépendantes sur Ω de loi μ. Soit θ le shift de Ω : on a Y_{n+1} = Y_{n} ∘ θ. Soient

S_{n} = Y_{0} ⋯ Y_{n−1} et S_{−n} = Y_{−n}^{−1} ⋯ Y_{−1}^{−1} pour n ≥ 0

On a l’égalité, pour tout n, m dans ℤ, S_{n+m} = S_{n}(S_{m} ∘ θ^{n}).

Le théorème d’Osseledets décrit le comportement asymptotique de S_{n}. La proposition suivante précise que les multiplicités des exposants de Liapounov sont aussi petites que possible. C’est là le point clef de la démonstration du théorème.

Proposition. ([Go-Ma1] Théorème 3, [Gu-Ra2] p. 171). Il existe un élément λ dans 𝔞^{+} (appelé le Liapounov de la marche aléatoire), des variables aléatoires Φ à valeurs dans G, (M_{n})_{n∈Z} à valeurs dans M et A_{n} à valeurs dans A telles que, pour presque tout ω,

(i) lim_{n→±∞} \frac{1}{n} Log (A_{n}) = λ

(ii) lim_{n→±∞} \frac{1}{n} log ||Φ^{±1} ∘ θ^{n}|| = 0

(iii) pour tout n dans Z, S_{n} = Φ.M_{n}A_{n}(Φ ∘ θ^{n})

Heuristiquement, cela signifie qu’une marche aléatoire sur Γ se comporte asymptotiquement comme les puissances d’un élément (exp(λ)) qui est hyperbolique et h-régulier.

A.4 - Existence d’éléments h-réguliers.

Le lemme suivant est une conséquence de l’ergodicité de θ et du lemme de récurrence de Poincaré.

Lemme. ([Gu] lemme 2 p. 487). Pour presque tout ω dans Ω, il existe une suite n_{k}(ω) strictement croissante telle que

lim_{k→∞} Φ^{−1}(ω) Φ(θ^{n_{k}}(ω)) = e

On a alors, pour presque tout ω,

lim_{k→∞}(Φ^{−1}(ω) S_{n_{k}(ω)} Φ(ω))^{−1} M_{n_{k}(ω)}(ω)A_{n_{k}(ω)}(ω) = e.

Le lemme suivant prouve alors que, pour k suffisamment grand, S_{n_{k}}(ω) est h-régulier.

Lemme. Soit ℓ_{n} = m_{n}a_{n} une suite d’éléments de L = MA telle que, pour tout χ dans

π, on a lim_{n→∞} χ(a_{n}) = +∞.

Soit g_{n} une suite d’éléments de G telle que lim_{n→∞} g_{n}^{−1}ℓ_{n} = e. Alors, il existe n_{0} tel que, pour tout n ≥ n_{0}, g_{n} est h-régulier.

Démonstration : Soit e_{n} = ℓ_{n}^{−1}g_{n}. On a lim_{n→∞} e_{n} = e. Soit

C = sup_{n∈N} ( sup_{x∈G/P} ||T_{x}e_{n}||) < ∞.

Par hypothèse, il existe n_{0} ≥ 0 et ε > 0 tels que

∀n ≥ n_{0} ∀x ∈ B(x_{0}, ε) ||T_{x}ℓ_{n}|| < \frac{1}{2C}

où x_{0} désigne le point base de G/P et B(x_{0}, ε) est la boule de centre x_{0} et de rayon ε. On peut choisir n_{0} de sorte que

∀n ≥ n_{0} ∀x ∈ G/P d(e_{n}(x), x) ≤ ε/2.

Alors, pour tout n ≥ n_{0} et tout x dans B(x_{0}, ε/2), e_{n}(x) est dans B(x_{0}, ε), donc g_{n}(x) est dans B(x_{0}, ε/2) et ||T_{x}g_{n}|| < 1/2.

Donc g_{n} est une contraction de la boule B(x_{0}, ε/2) et g_{n}y a un point fixe attracteur hyperbolique. ▷

A.5 - Zariski densité des éléments h-réguliers.

Nous revenons au cas général : G est un groupe réductif et Γ un sous-groupe Zariski dense.

Nous disposons maintenant d’un élément γ de Γ qui a un point fixe attracteur hyperbolique dans G/P. Montrons maintenant que l’ensemble de ces éléments est Zariski dense. On procède, pour cela, comme dans ([Ti] prop. 3.11)

Notons x_{γ} le point fixe attracteur de γ dans G/P et B_{γ} le bassin d’attraction de x_{γ} : c’est un ouvert de Zariski de G/P. Soit U := {u ∈ G/u.x_{γ} ∈ B_{γ}}, c’est un ouvert de Zariski dense de G. Soient u dans U ∩ Γ et C = sup_{x∈G/P} ||T_{x}u|| la constante de Lipschitz de

u.

Considérons l’élément de Γ h_{n} := γ^{n}u. Choisissons ε > 0 suffisamment petit de sorte que le compact V := u(B(x_{γ}, ε)) soit inclus dans B_{γ}. Il existe alors n_{0} tel que, pour n ≥ n_{0}, γ^{n}(V) est inclus dans B(x_{γ}, ε) et γ^{n}|_{V} est \frac{1}{2C} -Lipschitzienne. On en déduit que h_{n} envoie la boule B(x_{γ}, ε) sur elle-même et y est 1/2-Lipschitzienne. Elle y a donc un point fixe attracteur hyperbolique.

Soit Γ′ l’ensemble des éléments h-réguliers de Γ et \overline{Γ}′ son adhérence de Zariski. On a vu que, pour tout u dans U ∩ Γ, il existe n_{0} tel que, pour n ≥ n_{0}, γ^{n}u est dans Γ′. On en déduit que, pour tout n dans Z, γ^{n}u est dans \overline{Γ}′. En particulier u est dans \overline{Γ}′. Donc U ∩ Γ est inclus dans \overline{Γ}′ et \overline{Γ}′ = G.

Ceci termine la démonstration du théorème.

A.6 Sous-groupes libres des groupes réductifs.

Bien que cela ne soit pas directement utile pour notre étude des difféomorphismes d’Anosov, montrons comment le théorème A.1 permet de préciser le théorème de Tits ([Ti] théorème 3) sur les sous-groupes libres des groupes linéaires.

Corollaire. Soit G un groupe algébrique réel réductif non commutatif et Γ un sousgroupe Zariski dense. Alors, il existe un sous-groupe libre Γ_{1} de Γ engendré par deux générateurs g_{1} et g_{2}, qui est Zariski dense et dont tous les éléments différents de l’identité sont h-réguliers (définition A.1).

Remarques :

1) L’information supplémentaire, par rapport à [Ti], est le fait que les éléments de Γ_{1} \ {1} sont h-réguliers.

2) La démonstration découle du théorème A.1 et des méthodes développées dans [Ti].

3) On peut en déduire qu’il existe un sous-ensemble infini libre F de Γ tel que tous les couples (g_{1}, g_{2}) d’éléments distincts de F vérifient la conclusion de notre corollaire. Cela est laissé en exercice (cf. [Ti] p. 268).

4) Soient G^{r} l’ensemble des éléments semi-simples réguliers de G, G_{1}^{r} l’ensemble des éléments de G^{r} dont le centralisateur contient un sous espace de Cartan et G_{2}^{r} le complémentaire de G_{1}^{r} : l’égalité G^{r} = G_{1}^{r} ∪ G_{2}^{r} est une partition de G^{r} en deux ouverts disjoints.

Le théorème A.1 montre que Γ ∩ G_{1}^{r} est Zariski dense, et le corollaire montre que Γ ∩ G_{2}^{r} peut-être vide ! Le théorème A.1 est donc optimal.

Démonstration :

1er cas : Le groupe [G, G] est compact.

Dans ce cas, tout élément de G est h-régulier et notre corollaire est un cas particulier du théorème 3 de [Ti] (ce théorème est énoncé pour G semi-simple ; la démonstration s’étend sans changement au cas où G est réductif). Remarquons que cette partie de la démonstration utilise de façon cruciale les corps p-adiques.

2ème cas : Le groupe [G, G] n’est pas compact.

Dans ce cas la variété G/P n’est pas réduite à un point.

Lemme.

(a) Il existe un ouvert de Zariski non vide O de G × G tel que tout couple (g_{1}, g_{2}) d’éléments h-réguliers qui est dans O vérifie (avec les notations A.5)

et  \begin{matrix}x_{g_{1}^{±1}} & ∈ B_{g_{2}} ∩ B_{g_{2}^{−1}} \\ x_{g_{2}^{±1}} & ∈ B_{g_{1}} ∩ B_{g_{1}^{−1}} \end{matrix} \} (H)

(b) Pour tout couple (g_{1}, g_{2}) d’éléments h-réguliers vérifiant (H), il existe n > 0 tel que le groupe engendré par g_{1}^{n} et g_{2}^{n} est libre et tel que tous les éléments non triviaux de ce groupe sont h-réguliers.

Démonstration du lemme :

(a) Soient G_{ℂ}^{r} l’ensemble des éléments semi-simples réguliers de G_{ℂ}, B un Borel de G_{ℂ} et B^{r} := B ∩ G_{ℂ}^{r}. L’espace homogène G_{ℂ}/B s’identifie à l’ensemble des sous-algèbres de Borel de 𝔤_{ℂ}.

Soient Y = {(g_{1}, 𝔟_{1}) ∈ G_{ℂ}^{r} × (G_{ℂ}/B)/ Ad g_{1}(𝔟_{1}) = 𝔟_{1}}, c’est une variété algébrique irréductible isomorphe à G_{ℂ} ×_{B} B^{r}. La première projection p_{1} : Y → G_{ℂ}^{r} est un revêtement

fini galoisien de groupe de Galois W. Soient

Ω_{1} = {((g_{1}, 𝔟_{1}), (g_{2}, 𝔟_{2})) ∈ Y × Y / 𝔟_{1} + 𝔟_{2} = 𝔤}
Ω_{2} = {(y_{1}, y_{2}) ∈ Y × Y / ∀w ∈ W (y_{1}, wy_{2}) ∈ Ω_{1}}
et O = (p_{1} × p_{1})(Ω_{2}) ∩ (G × G). C′est un ouvert de Zariski non vide.

Montrons que l’ouvert O convient. Soient g_{1}, g_{2} deux éléments h-réguliers de G tels que (g_{1}, g_{2}) est dans O et montrons par exemple que x_{g_{2}} ∈ B_{g_{1}}. On peut supposer que g_{1} est dans L^{+}. Soient 𝔭^{±} = 𝔪⊕𝔞⊕𝔫^{±}. L’espace homogène G/P s’identifie à l’ensemble des sous-algèbres paraboliques minimales de 𝔤 et on a l’égalité B_{g_{1}} = {𝔮 ∈ G/P / 𝔮+𝔭^{−} = 𝔤}. Comme (g_{1}, g_{2}) est dans O, on en déduit que x_{g_{2}} est dans B_{g_{1}}.

(b) Quitte à remplacer g_{i} par g_{i}^{n}, on peut trouver des voisinages compacts disjoints K_{i}^{±} de x_{g_{i}^{±1}} tels que, en posant L_{i}^{±} = K_{i}^{±} ∪K_{3−i}^{+} ∪K_{3−i}^{−} (pour i = 1 ou 2), on a g_{i}^{±1}(L_{i}^{±}) ⊂ K_{i}^{±} et tels que la constante de Lipschitz de la restriction de g_{i}^{±1} à L_{i}^{±} est inférieure à 1/2. Soit m = g_{i_{ℓ}}^{ε_{ℓ}} ⋯ g_{i_{1}}^{ε_{1}} un mot (réduit) en g_{1}, g_{2}, g_{1}^{−1} et g_{2}^{−1} de longueur ℓ ≥ 1. Montrons que m est h-régulier (et donc que m ≠ e). Quitte à conjuguer ce mot par g_{i_{1}}^{ε_{1}}, on peut supposer que g_{i_{ℓ}}^{ε_{ℓ}} ≠ g_{i_{1}}^{ε_{1}}. On a alors m(K_{i_{ℓ}}^{ε_{ℓ}}) ⊂ K_{i_{ℓ}}^{ε_{ℓ}} et la constante de Lipschitz de la restriction de m à K_{i_{ℓ}}^{ε_{ℓ}} est inférieure à 2^{−ℓ}. Donc m est h-régulier. ▷

Terminons la démonstration du corollaire. Soit O_{1} la projection de O sur G. D’après le théorème A.1, on peut trouver un élément g_{1} h-régulier dans Γ∩O_{1}. Quitte à remplacer g_{1} par une puissance g_{1}^{p}, on peut supposer que l’adhérence de Zariski Z_{g_{1}} du groupe engendré par g_{1} est Zariski connexe.

Remarquons que, comme g_{1} est semi-simple et régulier, la réunion des sous-groupes propres algébriques et Zariski-connexe de G qui contiennent Z_{g_{1}} est incluse dans un fermé de Zariski propre F_{g_{1}} de G ([Ti] prop. 4.4).

D’autre part, il existe un entier positif m tel que, pour tout g dans G, le groupe Z_{g^{m}} est Zariski-connexe ([Ti] lemme 4.2).

Choisissons donc, grâce au théorème A.1, un élément g′_{2} h-régulier de Γ tel que g_{2}^{′m} ∉ F_{g_{1}} et (g_{1}, g_{2}^{′m}) ∈ O, et posons g_{2} = g_{2}^{′m}.

Pour tout entier positif n, l’adhérence de Zariski du groupe engendré par g_{1}^{n} et g_{2}^{n} est Zariski-connexe et contient Z_{g_{2}}, elle est donc égale à G. D’autre part le lemme ci-dessus prouve que l’on peut, quitte à remplacer g_{1} et g_{2} par des puissances g_{1}^{n} et g_{2}^{n}, supposer que le groupe Γ_{1} engendré par g_{1} et g_{2} est libre et que tous ses éléments non triviaux sont h-réguliers. C’est ce que l’on voulait.

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Yves Benoist François Labourie Université Paris VII Ecole Polytechnique UFR de Mathématiques Centre de Mathématiques 2, place Jussieu Plateau de Palaiseau 75721 Paris Cedex 91128 Palaiseau Cedex FRANCE - URA 748 du CNRS FRANCE - URA D.0169 du CNRS