Flots d’Anosov à distributions stable et instable différentiables

Yves Benoist^{1} Patrick Foulon^{2} François Labourie^{3}

1 Université Paris-VII, UFR de Mathématiques, 2, place Jussieu, 75721 Paris Cedex, FRANCE — URA 748 du CNRS

2 Ecole Polytechnique, Centre de Physique théorique, 91128 Palaiseau Cedex, FRANCE — LP 014 du CNRS

3 Ecole Polytechnique, Centre de Mathématiques, 91128 Palaiseau Cedex, FRANCE — URA D.0169 du CNRS

Résumé: Nous décrivons les flots d’Anosov sur les variétés compactes dont les distributions stable et instable sont différentiables et dont la 1-forme canonique est de contact : à des revêtements finis près et après un reparamétrage C^{∞}, ils se réalisent tous comme le flot géodésique sur (le fibré unitaire tangent à) un espace localement symétrique riemannien à courbure strictement négative.

Abstract: We describe which Anosov flows on compact manifolds have C^{∞} stable and unstable distributions and a contact canonical 1-form: up to finite coverings and up to a C^{∞} change of parameters, each of them is isomorphic to the geodesic flow on (the unit tangent bundle of) a compact locally symmetric space of strictly negative curvature.

Plan

0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Structure de la démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2. Une algèbre de Lie semisimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1. Le pseudogroupe des isométries locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Une première connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2.3. La courbure du fibré des formes volume dur E^{+} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4. Une algèbre de Lie réductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. La courbure du fibré des formes-volume sur E^{+} (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Une structure d’espace homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Construction d’un espace modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Prolongement à V de la (G′, \overline{V})-structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3. Complétude de la (G′, \overline{V})-structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4. Les difféomorphismes d’Anosov symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Propriétés du sous-groupe d’isotropie H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

4.1. La sous-algèbre 𝔭^{+} est parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2. Une connexion adaptée à une décomposition de E^{+} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 4.3. La sous-algèbre 𝔭^{+} est parabolique maximale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 4.4. Reparamétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.5. Interprétation algébrique des objets géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Dynamique d’un élément du groupe d’holonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1. Réductions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2. Points fixes de γ dans F̃^{+} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.3. Points fixes de γ dans F^{+} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 5.4. Points ω-limites de l’action de γ dans O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.5. Non-semisimplicité de γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

6. A la recherche d’éléments semisimples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

6.1. Existence d’éléments semisimples dans Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2. Les paraboliques maximaux avec F̃^{+} non compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 6.3. Semisimplicité de l’application premier retour lorsque F̃^{+} est non . . . . . . 39

compact

7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.1. L’exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 7.2. Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.3. Propriétés de l’exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 7.4. Démonstration du théorème 1 bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 7.5. Le cas riemannien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

0. Introduction

0.1. Rappelons la définition d’un flot d’Anosov. Soient V une variété C^{∞} compacte et connexe, X un champ de vecteurs C^{∞} et φ_{t} le flot associé. On munit V d’une métrique riemannienne annexe.

Définition. On dit que X (ou φ_{t}) est d’Anosov, s’il existe une décomposition (que nous appellerons aussi d’Anosov) invariante par le flot, du fibré tangent à V: T V = E^{+} ⊕ RX ⊕ E^{−} et des constantes a et b strictement positives telles que

(i) ∀Z^{+} ∈ E^{+} ∀t ≥ 0 ∥T φ_{−t}(Z^{+})∥ ≤ a∥Z^{+}∥e^{−bt} (ii) ∀Z^{−} ∈ E^{−} ∀t ≥ 0 ∥T φ_{t}(Z^{−})∥ ≤ a∥Z^{−}∥e^{−bt}

Il est facile de vérifier que cette notion ne dépend pas du choix de la métrique. On note E^{0} le fibré de rang un RX.

Une importante classe d’exemples, qui motiva l’introduction de cette notion par Anosov, est constituée par les flots géodésiques des variétés riemanniennes compactes à courbure strictement négative.

La distribution E^{+} (resp. E^{−}, E^{+} ⊕ E^{0}, E^{−} ⊕ E^{0}) est intégrable et s’appelle distribution instable (resp. stable, centrale instable et centrale stable). Les feuilles intégrales s’appellent feuilles instables (resp. stables, centrales instables et centrales stables). Dans le cas des variétés à courbure négative, ces distributions sont reliées aux distributions horosphériques.

Chaque feuille est C^{∞}. Par contre, la distribution est, en général, transversalement peu différentiable. Anosov montre qu’elle est tout de même continue et vérifie des conditions Hölder avec un coefficient strictement positif [A]. Dans le cas des flots géodésiques sur les surfaces ou sur les variétés à courbure négative (1/4)-strictement pincée, la distribution est de classe C^{1} [HP]. Par contre, Hurder et Katok [HK] ont montré que pour les flots géodésiques sur les surfaces la condition C^{2} entraîne C^{∞}, ce qui suggère qu’une condition de différentiabilité supplémentaire est très contraignante.

On appelle 1-forme canonique associée au flot, la 1-forme donnée par λ(E^{±}) = 0 et λ(X) = 1. Le flot est dit Anosov-contact si λ est C^{∞} et est de contact (i.e. λ ∧ (dλ)^{n−1} est nulle part nulle, si dim V = 2n − 1).

Les flots géodésiques des variétés à courbure négative forment une classe d’exemples de flots Anosov-contact et dans ce cas la 1-forme canonique coïncide avec la forme de Liouville.

0.2. Nous nous intéressons dans ce papier aux flots d’Anosov dont les distributions stable et instable sont C^{∞} et tout spécialement aux flots Anosov-contact. En voici quelques exemples :

1. Le premier exemple est donné par le flot géodésique sur le fibré unitaire des variétés compactes riemanniennes localement symétriques à courbure strictement négative.

2. Le deuxième exemple est obtenu à partir du premier en prenant des revêtements finis et des quotients finis.

3. Enfin, on peut perturber par des reparamétrisations C^{∞} ces exemples à l’aide de certains éléments du premier groupe de cohomologie. Plus précisemment, soit X un champ Anosov-contact sur une variété compacte dont la décomposition d’Anosov est C^{∞} et soit α une 1-forme fermée telle que 1 + α(X) > 0 alors le champ

X′ = \frac{X}{1 + α(X)} est aussi Anosov-contact et sa décomposition d’Anosov est C^{∞}

(cf. 4.4.1).

0.3. Le théorème principal de cet article affirme que nous avons parcouru ainsi tous les cas possibles :

Théorème 1.

2. Seule compte vraiment la classe de cohomologie [α]. En effet, si β et α sont

deux 1-formes fermées vérifiant 1 + β(X) > 0 et 1 + α(X) > 0, alors les flots \frac{X}{1 + α(X)}

et \frac{X}{1 + β(X)} sont C^{∞}-conjugués si et seulement si β et α sont cohomologues.

3. Une vérification rapide montre que 1 − α(Y) > 0 et que X = \frac{Y}{1 − α(Y)};

autrement dit le reparamétrage est réversible et le champ de vecteurs X s’obtient bien comme nous l’avions prédit à partir des variétés localement symétriques.

4. Si on suppose seulement que les distributions E^{±} sont de classe C^{k} avec k ≥ 2(2n^{2} − n + 1), le résultat est encore vrai avec la conjugaison de classe C^{k}. Vraisemblablement, la meilleure hypothèse de différentiabilité pour un tel résultat est C^{1+Lipschitz}.

5. Nous donnons un énoncé plus technique et précis de ce théorème en 7.2.

0.4. Dans le cas des flots géodésiques sur les variétés riemanniennes notre résultat se spécialise et nous montrons :

Théorème 2. Soit N une variété riemannienne compacte de dimension n à courbure strictement négative; si la distribution centrale stable du flot géodésique est C^{∞}, alors le flot géodésique est C^{∞}-conjugué à celui d’une variété riemannienne localement symétrique à courbure strictement négative.

Remarques. 1. Ce résultat avait été démontré pour les surfaces par Ghys ([Gh]) et dans toutes les dimensions par Kanai ([Ka]) sous l’hypothèse de courbure (4/9)-pincée. Puis il avait été étendu en utilisant la même méthode d’approche par Feres et Katok [FK 1 et 2] avec les hypothèses n impair, ou courbure strictement (1/4)-pincée. Remarquons que dans ces cas, les seuls candidats localement symétriques possibles sont les espaces hyperboliques réels.

2. Signalons par ailleurs que faire l’hypothèse que le flot est le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure strictement négative simplifie considérablement la démonstration de notre théorème 1 (cf. 7.5.5), et que ce théorème n’est en aucun cas une énéralisation immédiate du théorème 2.

3. Les théorèmes 1 et 2 ont été annoncés dans [BFL].

0.5. Nous montrons enfin, par les mêmes méthodes, un résultat partiel sur les difféomorphismes d’Anosov (cf. 3.4):

Théorème 3. Soit (V, ω) une variété symplectique compacte de dimension 2n munie d’un difféomorphisme d’Anosov symplectique. Si la décomposition d’Anosov est C^{∞}, alors le groupe des difféomorphismes symplectiques du revêtement universel Ṽ préservant la décomposition d’Anosov est un groupe de Lie qui agit transitivement.

0.6. Nous exprimons notre gratitude à P. Pansu pour son intérêt constant pour ce travail et ses remarques toujours pertinentes, et M. Gromov pour nous avoir suggéré d’utiliser un de ses résultats comme point de départ de ce travail.

Nous remercions aussi J.-P. Bourguignon, J. Faraut, E. Ghys, D. Sullivan, D. Wigner et J.-C. Yoccoz pour de fructueuses discussions à ce sujet.

1. Structure de la démonstration

La démonstration s’effectue en deux temps; dans un premier temps, nous montrons que V admet une structure localement homogène. Il s’agit ensuite, dans un deuxième temps, d’identifier les groupes en question. En général, lorsqu’il s’agit d’identifier les espaces homogènes vérifiant une propriété, la tâche est grandement facilitée quand la propriété est locale et le problème se dissout alors presque immédiatement dans l’algèbre. Ici, la propriété d’Anosov est globale, ce qui va nous obliger à un va-et-vient entre algèbre et dynamique. En particulier, nous serons amenés à étudier la dynamique du groupe fondamental de V.

Un autre exemple de question globale et délicate est le suivant : quels espaces homogènes admettent des quotients compacts ?

Voici maintenant les trois étapes de la démonstration dont les méthodes sont relativement distinctes (quoique les deux premières se chevauchent). Nous sommes dans les hypothèses du théorème 1, et Ṽ est le revêtement universel de V.

1.1. Une structure d’espace homogène

Notre but dans cette première étape est de démontrer la proposition suivante :

1.1.1. Proposition. Le groupe G′ des difféomorphismes de Ṽ qui préservent la décomposition d’Anosov et le flot est un groupe de Lie qui agit transitivement sur Ṽ.

Nous utilisons pour cela un résultat de Gromov qui montre que, sous nos hypothèses, un ouvert dense de V admet une structure localement homogène puis grâce à une connexion (analogue à celle de Kanai) nous démontrons que cette structure s’étend.

C’est l’objet des chapitres 2 et 3.

1.2. Propriétés du groupe G′ et des groupes d’isotropie

L’outil fondamental, dans les sections 3 et 4, est l’étude des connexions invariantes par le flot, et plus précisément des courbures des fibrés des formes volume, sur les sous-fibrés parallèles de T V. On montrera en particulier que ces courbures sont nulles. On utilisera ici l’existence d’orbites denses et d’orbites périodiques.

Ecrivons Ṽ = G′/H′, où H′ est le groupe d’isotropie d’un point v_{0}. Pour tout groupe de Lie K, on notera K_{e} sa composante connexe et 𝔨 son algèbre de Lie.

Notre deuxième étape est essentiellement de démontrer deux propositions.

1.2.1. Proposition. On peut écrire G′ = G×R, où R est le sous-groupe de G′ donné par le flot φ_{t} et où G est semisimple et agit transitivement sur Ṽ.

On note H = H′ ∩G, c’est un groupe algébrique et on a Ṽ = G/H. Soit alors 𝔭^{+}, (resp. 𝔤_{0}) l’algèbre de Lie du stabilisateur dans G de la feuille centrale instable (resp. orbite) du flot φ_{t} issue du point v_{0}.

1.2.2. Proposition.

(i) 𝔭^{+} est une sous-algèbre parabolique maximale de 𝔤. (ii) 𝔤_{0} est une composante réductive de 𝔭^{+}. (iii) On a 𝔥 = [𝔤_{0}, 𝔤_{0}] ⊕ 𝔷_{0}^{E} où 𝔷_{0}^{E} est la partie elliptique du centre de 𝔤_{0}.

Remarque. En particulier 𝔤_{0} = 𝔥 ⊕ RX_{0} où X_{0} est un élément hyperbolique du centre de 𝔤_{0}. La démonstration de ces propositions commencée au chapitre 2 est achevée au chapitre 4.

C’est maintenant en 4.4 que s’introduit le problème de la reparamétrisation. Soit en effet Γ le groupe d’holonomie de V dans G′. Comme G′ = G × R, notons Γ_{0} la projection sur le premier facteur et h l’élément de Hom (Γ, R) = H^{1}(V, R) donné par la projection sur le deuxième facteur. Alors :

1.2.3. Proposition.

(i) Il existe une 1-forme fermée α, représentant −h en cohomologie de de Rham, telle que 1 + α(X) > 0.

(ii) Pour toute telle 1-forme α, le flot Y = \frac{X}{1 + α(X)} est Anosov-contact et est C^{∞}-

conjugué au flot de X sur Γ_{0} \ Ṽ. Ici par abus de langage, nous avons noté de la même manière X ainsi que son relevé sur Ṽ.

Nous démontrerons également la proposition nécessaire à la construction des exemples.

1.3. La dynamique de Γ et le rang de G

Nous pouvons supposer maintenant, après un reparamétrage C^{∞} que Γ est inclus dans G. Nous voulons montrer, pour conclure:

Proposition. Le rang réel de G est égal à 1.

La démonstration est basée sur la dynamique du groupe d’holonomie sur l’espace F̃^{+} des feuilles instables et l’espace O des orbites du flot.

Notre intuition est d’essayer de copier l’action d’un groupe hyperbolique sur la sphère à l’infini d’une variété à courbure négative. Nous traduirons des propriétés classiques des flots d’Anosov : closing lemma, densité des feuilles centrales … en des propriétés de la dynamique de Γ. La preuve de cette proposition se décompose de la manière suivante :

1.3.1. On se ramène au cas où Γ ⊂ G_{e} et où le groupe Ad (Γ) est sans torsion.

Dans le chapitre 5, on montre en étudiant les points ω-limites d’un élément γ de Γ dans F̃^{+} et O

Proposition. Soit γ un élément de Γ qui n’est pas dans le centre de G_{e}. On suppose que F̃^{+} est compact ou que γ fixe un point de O. Si γ est semisimple (i.e. Ad (γ) est semisimple), le rang de G est 1.

Il nous faut donc trouver des éléments semisimples dans Γ. C’est le but du chapitre 6. On distingue deux cas.

1.3.2. Si F̃^{+} est compact. En utilisant le fait que toute feuille centrale instable est dense on montre:

Proposition. La clôture de Zariski de Ad (Γ) est réductive. En particulier Ad (Γ) contient des éléments semisimples.

1.3.3. Si F̃^{+} est non compact. Les cas possibles forment une courte liste. L’existence d’orbites périodiques du flot φ_{t} permet de trouver des éléments γ de Γ qui fixent un point de O. Une étude cas par cas montre alors que:

Proposition. Si F̃^{+} est non compact, tout élément γ de Γ qui fixe un point de O est semisimple.

1.4. En conclusion, nous démontrons les théorèmes 1 et 2. L’essentiel a été fait, il suffit de mettre les idées en place (cf. 7.0).

Remarque. Chacun des chapitres qui suivent commence par une partie zéro qui en décrit la démarche. Ainsi, la réunion de ces parties zéro fournit une description plus détaillée de la structure de la démonstration.

2. Une algèbre de Lie semisimple

2.0. Le but des chapitres 2 et 3 est de démontrer la proposition 1.1. On montre tout d’abord à l’aide d’un théorème de Gromov que le pseudo-groupe des difféomorphismes de V qui préservent X et E^{±} est de Lie et a une orbite ouverte et dense Ω (2.1). On veut en déduire que l’ouvert Ω est muni d’une certaine (G′, \overline{V})-structure au sens de [T]. Ce but ne sera atteint qu’en 3.1, lorsque nous aurons sufisamment de renseignements sur l’algèbre de Lie 𝔤′ des champs de vecteurs locaux sur Ω qui préservent X et E^{±}.

La suite de ce chapitre est consacrée à cette algèbre de Lie 𝔤′, ce qui permettra en fait de montrer l’essentiel de la proposition 1.2.1.

On construit tout d’abord une connexion sur V, analogue à celle de Kanai, préservée par ce pseudo-groupe (2.2). On montre alors et de façon simultanée que le fibré des formes volume sur E^{+} est plat et que 𝔤′ est une algèbre de Lie réductive dont le centre est donné par le champ X. Pour cela, on introduit un opérateur B^{+} qui permet de calculer la courbure de ce fibré et on montre, à l’aide de la notion d’entropie, qu’il est nilpotent (2.3). En utilisant alors une réalisation de 𝔤′ par les 1-jets en un point et une graduation de 𝔤′ liée à l’application premier retour, on montre que 𝔤′ est réductive (2.4); on en déduit que B^{+} est semisimple donc nul (2.5).

2.1. Le pseudo-groupe des isométries locales

2.1.1. Faisons quelques rappels simplifiés de [Gr].

Soient M une variété C^{∞} de dimension m et R(M) le fibré des repères de M: c’est un GL(m)-fibré principal. Soit Z une variété algébrique lisse (réelle) munie d’une action algébrique de GL(m).

Définition. On appelle A-structure (d’ordre 1 et de type Z) une section C^{∞}, g, du fibré Z(M) := R(M) ×_{GL(m)} Z.

Un exemple simple est donné par les métriques pseudo-riemaniennes.

Soit g une A-structure. Les difféomorphismes de M agissent sur les sections de Z(M); on appelle isométries locales les difféomorphismes locaux qui préservent g. On note ∀x, x_{1}, x_{2} ∈ M, ∀r ≥ 1

Is^{loc}(x_{1}, x_{2}) = l’ensemble des germes en x_{1} d’isométries locales qui envoient x_{1} sur x_{2}.
Is^{loc}(x) = Is^{loc}(x, x) : c’est un groupe.
Is^{r}(x) = le groupe des r-jets en x de difféomorphismes de M qui préservent le (r + 1)-jet de g et envoient x sur lui-même.

On appelle orbites du pseudo-groupe Is^{loc} les classes de la relation d’équivalence Is^{loc}(x_{1}, x_{2}) ≠ ∅.

Définition. L’A-structure g est dite rigide (à l’ordre 1) si, ∀x ∈ M, ∀r ≥ 1, l’application naturelle Is^{r+1}(x) → Is^{r}(x) est injective.

Dans ce cas, l’application naturelle Is^{loc}(x) → Is^{1}(x) est injective et Is^{loc} est un pseudogroupe de Lie. A nouveau, les métriques pseudo-riemanniennes fournissent une exemple d’A-structure rigide.

Proposition ([Gr] §3). Si le pseudo-groupe des isométries locales d’une A-structure rigide g a une orbite dense Ω, celle-ci est ouverte.

Remarque. Cet énoncé est encore vrai pour g de clase C^{r}, ∀r ≥ r_{0} = dim R(M) + 1 (loc. cit. §1.6).

2.1.2. La décomposition (X, E^{±}) va s’avérer être une A-structure rigide. Prenons M = V; on a m = 2n − 1. Soit

Z = {(x, e^{+}, e^{−}, ω) | x ∈ R^{2n−1}, e^{+} et e^{−} sont des (n − 1)-plans de R^{2n−1} tels que R^{2n−1} = e^{+} ⊕ Rx ⊕ e^{−}, et ω est une 2-forme antisymétrique sur R^{2n−1} de noyau Rx telle que ω(e^{−}, e^{−}) = ω(e^{+}, e^{+}) = 0}

L’action naturelle de GL(2n − 1) sur Z est transitive. Soit g = g_{X} la section de Z(V) donnée par

∀v ∈ V, g_{X}(v) = (X_{v}, E_{v}^{+}, E_{v}^{−}, (dλ)_{v})

La 2-forme dλ a pour noyau RX et vérifie dλ(E^{+}, E^{+}) = dλ(E^{−}, E^{−}) = 0 car λ est de contact et est invariante par le flot φ_{t}.

Lemme. L’A-structure g_{X} est rigide.

Démonstration. La forme bilinéaire symétrique b donnée par, ∀Z^{±} ∈ E^{±}, b(X, X) = 1, b(X, Z^{±}) = b(Z^{+}, Z^{+}) = b(Z^{−}, Z^{−}) = 0 et b(Z^{−}, Z^{+}) = dλ(Z^{−}, Z^{+}) est une métrique pseudoriemannienne non dégénérée sur V. Par construction, le (n − 1)-jet de b est invariant par Is^{r}(v); g_{X} est donc rigide

2.1.3. Corollaire. Le pseudo-groupe des difféomorphismes locaux de V qui préservent X et E^{±} a une orbite ouverte dense Ω.

Démonstration. Ce pseudo-groupe est le pseudo-groupe des isométries de g_{X}. Il contient le flot φ_{t}, il a donc une orbite Ω dense ([A]). Ce qui précède prouve que Ω est ouverte

2.1.4. Voici une propriété de l’ouvert Ω qui nous sera utile. Pour v dans V, on note F_{v}^{+} (resp. F_{v}^{−}) la feuille instable (resp. stable) contenant v; on a

F_{v}^{±} = {v′ ∈ V | lim_{t→∓∞} d(φ_{t}(v), φ_{t}(v′)) = 0}

où d est la distance sur V associée à la métrique riemannienne annexe.

Lemme. Soit Δ = {v ∈ V | F_{v}^{+} ⊂ Ω et F_{v}^{−} ⊂ Ω}, alors Δ est dense dans V.

Démonstration. Il suffit de voir que Δ contient la réunion des orbites périodiques incluses dans Ω, car celle-ci est dense ([A]). Soit v ∈ Ω tel que φ_{t_{0}}(v) = v, pour t_{0} > 0, montrons que F_{v}^{+} ⊂ Ω: soit v′ ∈ F_{v}^{+}, on a lim_{n→∞} φ_{−nt_{0}}(v′) = v, donc il existe n_{0} > 0 tel que φ_{−n_{0}t_{0}}(v′) ∈ Ω et par suite v′ ∈ Ω. On montre de même que F_{v}^{−} ⊂ Ω

2.2. Une première connexion

2.2.1. Entropie. Avant de poursuivre, rappelons la définition de l’entropie s d’un sous-fibré F du fibré tangent T V invariant par le flot φ_{t}. On pose

a_{t} = a_{t}(F) = ∫_{V} log |det (T φ_{t})_{F} |λ ∧ (dλ)^{n−1}

où la valeur absolue du déterminant de l’application tangente au flot est calculée à l’aide d’une section, nulle part nulle, du fibré des densités sur F. On vérifie que ∀t, t′ ∈ R

a_{t} + a_{t′} = a_{t+t′}

donc il existe s ∈ R tel que a_{t} = s.vol(V).t, où vol(V) = ∫_{V} λ ∧ (dλ)^{n−1}. Ce réel s est l’entropie du fibré F (il ne dépend pas du choix de la section).

Soient s^{+} (resp. s^{−}) l’entropie du fibré E^{+} (resp. E^{−}). L’existence d’une forme bilinéaire non dégénérée invariante par le flot sur E^{+} ⊕ E^{−} (la forme dλ) prouve que l’entropie de E^{+} ⊕ E^{−} est nulle : s^{+} + s^{−} = 0 La propriété d’Anosov (0.1) prouve que s^{+} > 0 : en effet pour t positif, on a a_{t}(E^{+}) > 0.

2.2.2. On note p^{+} (resp. p^{−}) la projection sur E^{+} (resp. E^{−}) parallèlement à E^{0} ⊕ E^{−}

(resp. E^{0} ⊕ E^{+}) et σ^{±} = \frac{s^{±}}{rang (E)}.

Lemme. Il existe une unique connexion ∇ sur V telle que (i) ∇λ=0, ∇(dλ) = 0 et ∇(E^{±}) ⊂ E^{±} (ii) ∀Z^{±} section de E^{±}, on a

\begin{aligned}∇_{Z^{−}}Z^{+} & = p^{+}([Z^{−}, Z^{+}]) \\ ∇_{Z^{+}}Z^{−} & = p^{−}([Z^{+}, Z^{−}]) \\ et ∇_{X}Z^{±} & = [X, Z^{±}] + σ^{±}Z^{±} \end{aligned}

Remarques. 1. Cette connexion a été introduite par M. Kanai ([Ka]) au facteur σ^{±} près, facteur dont on verra l’utilité en 2.3.

2. Par construction, ∇ est invariante par le pseudogroupe Is^{loc}

3. Soit T la torsion de ∇, alors la connexion ∇ − (1/2)T est la connexion de Levi-Civita de la structure pseudoriemannienne b du 2.1.2: en effet, elle est sans torsion et b est parallèle.

Démonstration. L’unicité et l’existence de ∇ résulte des formules, ∀Y^{±}, Z^{±} sections de E^{±}

\begin{aligned}∇X & = 0 \\ dλ(∇_{Y^{+}}Z^{+}, Z^{−}) & = L_{Y^{+}}(dλ(Z^{+}, Z^{−})) − dλ(Z^{+}, [Y^{+}, Z^{−}]) \\ dλ(∇_{Y^{−}}Z^{−}, Z^{+}) & = L_{Y^{−}}(dλ(Z^{−}, Z^{+})) − dλ(Z^{−}, [Y^{−}, Z^{+}]) \end{aligned}

2.2.3. Soient T et R la torsion et la courbure de ∇ et S = σ^{+}p^{+} + σ^{−}p^{−} ∈ End (T V)

Lemme.

a) T (Y, Z) = dλ(Y, Z).X + λ(Y)S(Z) − λ(Z)S(Y). En particulier T (E^{+}, E^{+}) = 0 b) R(E^{+}, E^{+}) = 0

c) Les géodésiques de ∇ tangentes aux distributions stable (resp. instable) sont complètes.

Remarque. En particulier, les feuilles stables ou instables munies de la connexion induite sont plates et complètes. En outre, elles sont difféomorphes à R^{n−1} ([A]).

Démonstration. a) On calcule ∀Y^{±}, Z^{±}, u^{±} sections de E^{±}

dλ(T (Y^{+}, Z^{+}), u^{−}) = d(dλ)(Y^{+}, Z^{+}, u^{−}) = 0; donc T (E^{+}, E^{+}) = 0
T (Y^{+}, Z^{−}) = −λ([Y^{+}, Z^{−}])X = dλ(Y^{+}, Z^{−}).X
et T (X, Y^{±}) = σ^{±}Y^{±} ; ce qui prouve a)

b) D’après a), ∇T = 0. La formule de Bianchi nous donne :

R(Y^{+}, Z^{+})u^{−} + R(u^{−}, Y^{+})Z^{+} + R(Z^{+}, u^{−})Y^{+}

\begin{matrix}= T (T (Y^{+}, Z^{+}), u^{−}) + T (T (u^{−}, Y^{+}), Z^{+}) + T (T (Z^{+}, u^{−}), Y^{+}) \\ = Z^{+}σ^{+}dλ(u^{−}, Y^{+}) + Y^{+}σ^{+}dλ(Z^{+}, u^{−}) \end{matrix}

or E^{+} et E^{−} sont parallèles et en particulier R(V, W)T^{±} appartient à E^{±}. Ceci nous donne donc

R(Y^{+}, Z^{+})u^{−} = 0

Ensuite, R(Y^{+}, Z^{+}) est antisymétrique pour dλ car dλ est parallèle et donc R(E^{+}, E^{+}) = 0.

c) Par compacité de V, il existe une constante c > 0 telle que, si Y^{+} est un vecteur tangent à E^{+} et vérifie ∥Y^{+}∥ < c, alors la géodésique dont la condition initiale est Y^{+} s’intègre pour un temps supérieur ou égal à 1.

Or quand t tend vers −∞, la norme de T φ_{t}(Y^{+}) tend vers 0; autrement dit, pour tout Y de E^{+}, il existe t tel que ∥T φ_{t}(Y)∥ < c. Dès lors, la géodésique tangente à T φ_{t}(Y) s’intègre pour un temps supérieur ou égal à 1. Le flot étant affine, nous obtenons le même résultat pour Y, d’où l’on déduit que la géodésique dans la direction de Y est complète.

On procède de même pour les géodésiques tangentes à E^{−}

2.3. La courbure du fibré des formes volume sur E^{+}

2.3.1. Soit Λ^{+} le fibré de rang 1 des formes volume sur E^{+}. Il est naturellement muni d’une connexion induite de ∇. Soit Ω^{+} la 2-forme de courbure de ce fibré. On a ∀Y, Z ∈ E^{+}

Ω^{+}(Y, Z) = tr (R(Y, Z)_{E^{+}})

Soit B^{+} l’opérateur de E dans lui-même défini par

Ω^{+}(Y, Z) = dλ(B^{+}Y, Z) et λ(B^{+}Z) = 0

Le but de ce paragraphe est de montrer la Proposition. L’opérateur B^{+} est nilpotent.

2.3.2. Construisons tout d’abord une primitive β^{+} de Ω^{+} (i.e. dβ^{+} = Ω^{+}). C’est la 1-forme de connexion, associée à une section de Λ^{+}. Si le fibré Λ^{+} est trivialisable, on choisit une section ω^{+}, nulle part nulle, de Λ^{+} et on définit β^{+} par l’égalité

∇_{Z}ω^{+} = β^{+}(Z)ω^{+}

Si le fibré Λ^{+} n’est pas trivialisable, on remarque que le fibré |Λ^{+}| des densités positives sur E^{+} l’est (une section de |Λ^{+}| est une “section de Λ^{+} modulo le signe”; la fibre de |Λ^{+}| est R/{±Id} ≃ [0, +∞[). On peut donc utiliser la même formule pour définir β^{+} à l’aide d’une section ω^{+}, nulle part nulle, de |Λ^{+}|.

2.3.3. Lemme. On a ∫_{V} β^{+}(X)λ ∧ (dλ)^{n−1} = 0.

Démonstration. Soit Δ^{+}(t) le déterminant de la restriction à E^{+} du transport parallèle τ_{t} pendant le temps t le long des orbites du flot (Δ^{+}(t) est calculé à l’aide de la section ω^{+}). D’après la construction de la connexion, on a

τ_{t}_{E^{+}} = e^{−σ^{+}t}T φ_{t}_{E^{+}}

donc Δ^{+}(t) = e^{−s^{+}t}det (T φ_{t}_{E^{+}}). On a alors

β^{+}(X) = −\frac{d}{dt}log Δ^{+}(t) = −\frac{d}{dt} (log (det (T φ_{t})_{E^{+}})) + s^{+}

et donc

∫_{V} β^{+}(X)λ ∧ (dλ)^{n−1} = 0

(dériver par rapport à t la définition de l’entropie)

2.3.4. Lemme. ∀p ∈ {1, …, n − 1}, on a (Ω^{+})^{p} ∧ (dλ)^{n−1−p} = 0.

Démonstration. Par ergodicité du flot φ_{t} ([A]), la 2-forme Ω^{+} étant invariante par ce flot, il existe des constantes c_{q} telles que λ ∧ (Ω^{+})^{q} ∧ (dλ)^{n−1−q} = c_{q}λ ∧ (dλ)^{n−1}, ∀q ∈ {0, …, n − 1}.

Une intégration par parties donne alors:

∫_{V} λ ∧ (Ω^{+})^{p} ∧ (dλ)^{n−1−p} = ∫_{V} β^{+} ∧ (Ω^{+})^{p−1} ∧ (dλ)^{n−p}

= c_{p−1} ∫_{V} β^{+}(X)λ ∧ (dλ)^{n−1}

= 0 (lemme 2.3.3)

Donc c_{p} = 0

Démonstration de la proposition. Remarquons que B^{+} laisse stable E^{+} (2.2.3 b)). Soient x_{1}, …, x_{n−1} les valeurs propres de B_{v_{0}}^{+}_{E_{v_{0}}^{+}} : le lemme 2.3.4 prouve que, ∀p ∈

{1, …, n − 1} on a ∑_{i_{1}<...<i_{p}} x_{i_{1}} … x_{i_{p}} = 0. Donc x_{1}, …, x_{n−1} sont nuls et B_{v_{0}}^{+} est nilpotent 2.4. Une algèbre de Lie réductive

2.4.1. Notations. On fixe désormais un point v_{0} dans Ω et on suppose que v_{0} est sur une orbite périodique du flot de période t_{0}.

Soit 𝔤′ l’algèbre de Lie des germes en v_{0} de champs de vecteurs Y qui préservent X et E^{±} (i.e. : [Y, X] = 0 et [Y, E^{±}] ⊂ E^{±}). C’est l’algèbre de Lie des champs de Killing de la structure géométrique au sens de Gromov [Gr].

Soit 𝔥′ la sous-algèbre de Lie des champs de vecteurs qui s’annulent en v_{0} (Y_{v_{0}} = 0). C’est l’algèbre de Lie de H′ = Is^{loc}(v_{0}).

Soit 𝔮^{′±} la sous-algèbre de Lie des champs de vecteurs Y tels que Y_{v_{0}} ∈ E_{v_{0}}^{±}. C’est l’algèbre de Lie du “stabilisateur” d’une feuille stable (ou instable). Enfin, 𝔭^{′±} = 𝔮^{′±} ⊕ RX, est l’algèbre de Lie du “stabilisateur” d’une feuille centrale stable (ou instable).

A tout champ de vecteurs Y on associe le (1, 1)-tenseur A_{Y} = L_{Y} − ∇_{Y} (où L_{Y} est la dérivée de Lie). Le lemme suivant est classique [KN]; on note E := T V.

Lemme.

a) L’application i : 𝔤′ → E_{v_{0}} × End (E_{v_{0}}) donnée par i(Y) = (Y_{v_{0}}, (A_{Y})_{v_{0}}) est injective.

b) La structure d’algèbre de Lie induite sur i(𝔤′) est donnée par , ∀(y, A), (y′, A′) ∈

i(𝔤′) :

[(y, A), (y′, A′)] = (Ay′ − A′y + T (y, y′), [A, A′] − R(y, y′))

c) L’application j : H′ → GL(E_{v_{0}}) donnée par j(h) = T_{v_{0}}(h) est injective et dj = i𝔥_{′}.

Remarquons que 𝔤′/𝔥′ (resp. 𝔮^{′±}/𝔥′) s’identifie à E_{v_{0}} (resp. E_{v_{0}}^{±}) comme H′-module (corollaire 2.1.3). On identifiera 𝔤′ à i(𝔤′), 𝔥′ à i(𝔥′) et H′ à j(H′).

2.4.2. Soit h l’application de premier retour de l’orbite de v_{0} : h = T_{v_{0}}φ_{t_{0}} ∈ H′ ⊂ GL(E_{v_{0}}). Soit L_{0} le logarithme de la partie hyperbolique (dans la décomposition de Jordan) de h.

Lemme.

a) H′ est un sous-groupe algébrique de GL(E_{v_{0}}).

b) L_{0} ∈ 𝔥′

c) Les valeurs propres de L_{0} dans E_{v_{0}}^{+} sont strictement positives.

Démonstration. a) D’après ([Gr] §1), il existe r tel que Is^{loc}(v_{0}) ≃ Is^{r}(v_{0}). Le groupe Is^{r}(v_{0}) est algébrique par construction, il en est de même de son image dans GL(E_{v_{0}}).

b) résulte de ce que H′ est algébrique, et contient donc la partie elliptique et hyperbolique de tout élément.

c) résulte de ce que le flot φ_{t} est d’Anosov

2.4.3. On note X = (X_{v_{0}}, −S) l’élément de 𝔤′ ≈ i(𝔤′) donné par le champ de vecteurs X (où S = σ^{+}p^{+} + σ^{−}p^{−}: cf. 2.2.3).

Proposition. L’algèbre de Lie 𝔤′ est réductive; son centre est RX.

Démonstration. Par construction, X est dans le centre de 𝔤′. Il nous suffit de démontrer que tout idéal nilpotent 𝔦 de 𝔤′ est inclus dans RX.

Soient 𝔤′_{i} (resp. 𝔥′_{i}, E_{v_{0},i}) l’espace propre pour la valeur propre réelle i de l’action de L_{0} dans 𝔤′ (resp. 𝔥′, E_{v_{0}}). On a les égalités:

𝔤′ = ⊕_{i∈R}𝔤′_{i}, 𝔦 = ⊕_{i∈R}𝔦_{i} et E_{v_{0}} = ⊕_{i∈R}E_{v_{0},i}

Montrons que, ∀i ≠ 0, 𝔦_{i} ⊂ 𝔥′: soit (y, A) ∈ 𝔦_{i}. Pour tout (y′, A′) ∈ 𝔤_{−i}, posons

(y′′, A′′) = [(y, A), (y′, A′)] ∈ 𝔦_{0} ⊂ 𝔤′_{0} ⊂ 𝔥′ ⊕ RX (2.4.2 c))

On a les égalités, en remarquant que Ay′ = A′y = 0 (car E_{v_{0}}^{+} ∩ E_{v_{0},0} = 0)

(y′′, A′′) = (dλ(y, y′)X_{v_{0}}, [A, A′] − R(y, y′))  (2.2.3 et 2.4.1)
= (0, dλ(y, y′)S + [A, A′] − R(y, y′))  modulo RX

Comme 𝔦 est un idéal nilpotent, on a

tr_{E_{v_{0}}^{+}} ((y′′, A′′)) = 0

Le calcul de cette trace donne : dλ((s^{+} + B^{+})y, y′) = 0, ∀y′ ∈ E_{v_{0},−i} (remarquer que [A, A′] a une trace nulle). On a donc (s^{+} + B^{+})y = 0. Comme B^{+} est un opérateur nilpotent (2.3.1) et s^{+} ≠ 0 (2.2.1), on en déduit y = 0 et 𝔦_{i} ⊂ 𝔥′.

Donc 𝔦 ⊂ 𝔥′ ⊕ RX. Comme 𝔥′ ne contient pas d’idéal de 𝔤′ on a 𝔥′ ∩ (𝔦 ⊕ RX) = 0 i.e. 𝔦 ⊂ RX

2.5. La courbure du fibré des formes volume sur E^{+} (bis)

2.5.1. Lemme. Il existe une sous-algèbre de Cartan 𝔠′ de 𝔤′ incluse dans 𝔥′ ⊕ RX.

Démonstration. Soit L_{0} ∈ 𝔥′ comme en 2.4.2. Il existe une sous-algèbre de Cartan 𝔠′ de 𝔤′ contenant L_{0} On a alors 𝔠′ ⊂ 𝔤′_{0} ⊂ 𝔥′ ⊕ RX (cf. 2.4.2)

2.5.2. Proposition. La courbure Ω^{+} du fibré des formes volume sur E^{+} est nulle.

Démonstration. Pour tout espace vectoriel W, on note W_{C} son complexifié. L’opérateur B_{v_{0}}^{+} sur E_{v_{0}} ≈ 𝔤′/𝔥′ commute à l’action de H′; il commute donc à l’action de 𝔠′. Or les espaces de poids de l’action adjointe de 𝔠′_{C} dans 𝔤′_{C}/𝔥′_{C} sont de dimension 1 ([Bo] Ch. VIII §2 théorème 1); il en est de même dans 𝔤′_{C}/𝔥′_{C}. On en déduit que B_{v_{0}}^{+} est semisimple; or il est nilpotent (2.3.1), il est donc nul et Ω^{+} = 0

2.5.3. Puisque le fibré de rang un ΛẼ^{+} est plat (2.5.2), il existe une section parallèle ω̃^{+} de ce fibré (unique à une constante près). Soit dχ : 𝔤′ → R le caractère défini par, ∀Y ∈ 𝔤′, L_{Y} (ω̃^{+}) = dχ(Y).ω̃^{+}

Soient 𝔤 = {Y ∈ 𝔤′ | L_{Y} (ω̃^{+}) = 0}, 𝔥 = 𝔥′ ∩ 𝔤 et H = {h ∈ H′ | h_{∗}ω̃^{+} = ±ω̃^{+}}.

Lemme.

a) 𝔤 est une algèbre de Lie semisimple.

b) 𝔤′ = 𝔤 + 𝔥′.

Démonstration. a) résulte de 2.4.2.

b) Il suffit de voir que 𝔥′ ⊄ 𝔤. Or l’élément L_{0} de 2.4.2 est dans 𝔥′ et n’est pas dans 𝔤 car dχ(L_{0}) = tr_{E_{v_{0}}^{+}} (L_{0}) > 0 (d’après 2.4.2)

Remarque. Ceci prouve aussi qu’il existe r ∈ R tel que X − rL_{0} ∈ 𝔤 : prendre

r = \frac{s^{+}}{dχ(L_{0})}.

3. Une structure d’espace homogène

3.0. Le but de ce chapitre est de terminer la démonstration de la proposition 1.1.

On construit en 3.1 une certaine (G′, \overline{V})-structure sur l’ouvert Ω. Grâce à la complétude de la connexion le long des feuilles stables, on prolonge en 3.2 cette (G′, \overline{V})- structure à V tout entier et on montre en 3.3 que ce prolongement est complet. Ce qui signifie que Ṽ s’identifie à \overline{V} et que G′ s’identifie au groupe des difféomorphismes de Ṽ qui préservent X̃ et Ẽ^{±}. On peut alors écrire G′ = G × R où G est semisimple et agit transitivement sur Ṽ.

On montre en 3.4 comment ces méthodes s’adaptent à l’étude des difféomorphismes d’Anosov symplectiques.

3.1. Construction d’un espace modèle

3.1.1. Il est commode de construire un espace modèle (\overline{V} , \overline{X}, \overline{E}^{±}) auquel on compare (Ṽ , X̃, Ẽ^{±}). Soit \overline{G}′ le groupe connexe et simplement connexe d’algèbre de Lie 𝔤′, \overline{H}′, \overline{G}, \overline{H} et \overline{Q}^{′±} les sous-groupes connexes d’algèbres de Lie 𝔥′, 𝔤, 𝔥 et 𝔮^{′±}.

Lemme. Le sous-groupe \overline{H}′ est fermé dans \overline{G}′.

Remarque. Cette propriété indispensable à la construction de notre espace modèle n’est pas valable pour toutes les structures 1-rigides (cf. [LT]).

Démonstration. Le morphisme :

\begin{matrix}H′ & → Aut (𝔤′) \\ h′ & ↦ (Y ↦ h′_{∗}(Y)) \end{matrix}

est injectif car 𝔤′/𝔥′ ≃ E_{v_{0}}. En outre, ce morphisme est algébrique (cf. 2.4.2). Il permet d’identifier H et H′ à des sous-groupes algébriques, donc fermés, de Aut (𝔤′).

Comme 𝔤 est semisimple, l’application adjointe Ad : \overline{G} → Aut (𝔤′) est un revêtement sur son image. On a l’égalité Ad (\overline{H}) = H_{e}. Donc \overline{H} est fermé et par suite \overline{H}′ aussi

3.1.2. Soient \overline{V} = \overline{G}′/\overline{H}′ la variété quotient, \overline{v}_{0} le point-base de \overline{V}, \overline{φ}_{t} le flot sur \overline{V} défini par l’élément X ∈ 𝔤′ : \overline{φ}_{t}(\overline{v}) = exp (tX).\overline{v} et \overline{X} le champ de vecteurs correspondant. Soient \overline{E}^{±} la distribution tangente au feuilletage \{g\overline{Q}^{′±}/\overline{H}′ | g\overline{Q}^{′±} ∈ \overline{G}′/\overline{Q}^{′±}\}.

Nous obtenons donc sur \overline{V} une A-structure homogène donnée par (\overline{E}^{±}, X) et qui est localement isomorphe à celle de Ω. En effet, la formule θ(exp (Y).v_{0}) = exp (Y).\overline{v}_{0}, pour tout Y dans 𝔤′ suffisamment petit, définit un difféomorphisme θ d’un voisinage ouvert de v_{0} dans un voisinage ouvert de \overline{v}_{0} et on a θ_{∗}(X) = \overline{X}, θ_{∗}(E^{±}) = \overline{E}^{±}.

3.1.3. Soit G′ le groupe des difféomorphismes de \overline{V} qui préservent \overline{X} et \overline{E}^{±} : c’est un groupe de Lie dont la composante connexe est l’image de \overline{G}′ dans Diffeom(\overline{V}). Soit H′ le sous-groupe d’isotropie dans G′ du point-base \overline{v}_{0}; cette notation ne prête pas à confusion car on a le lemme :

Lemme.

a) On a les identifications suivantes

H′ ≈ Is^{loc}(\overline{v}_{0}) ≈ \{A ∈ Aut (𝔤′) | A(X) = X, A(𝔮^{′±}) ⊂ 𝔮^{′±} et A(𝔥′) ⊂ 𝔥′\}

b) Tout difféomorphisme d’un ouvert connexe de \overline{V} dans un autre, qui préserve \overline{X} et \overline{E}^{±} est la restriction d’un élément de G′.

Démonstration. a) Soit H′_{1} le membre de droite de l’égalité. Rappelons que Is^{loc}(\overline{v}_{0}) est le groupe des germes en \overline{v}_{0} des difféomorphismes locaux de \overline{V} qui préservent \overline{X} et \overline{E}^{±} et envoient \overline{v}_{0} sur lui-même. On a des inclusions H′ ⊂ Is^{loc}(\overline{v}_{0}) ⊂ H′_{1} : remarquer qu’un élément de Is^{loc}(\overline{v}_{0}) agit naturellement sur 𝔤′. Un élément de H′_{1} est aussi un automorphisme de \overline{G}′ qui préserve \overline{H}′, donc un difféomorphisme de \overline{V}, ce qui permet de prouver l’inclusion inverse H′_{1} ⊂ H′.

b) On se ramène au cas où le difféomorphisme fixe le point \overline{v}_{0}. L’affirmation est alors une conséquence de l’égalité H′ = Is^{loc}(\overline{v}_{0}) que l’on vient de démontrer

Remarque. On a \overline{V} = G′/H′. Comme H′ est algébrique, on en déduit que H′ et G′ ont un nombre fini de composantes connexes.

3.1.4. Lemme. Les difféomorphismes θ d’un ouvert de Ω sur un ouvert de \overline{V} tels que θ_{∗}(X) = \overline{X} et θ_{∗}(E^{±}) = \overline{E}^{±} forment l’atlas maximal d’une (G′, \overline{V})-structure sur Ω (au sens de [T]).

Démonstration. Par construction, les domaines de définition de ces difféomorphismes recouvrent Ω. Il résulte de 3.1.3, que les changements de cartes sont donnés localement par des éléments de G′

Corollaire. Pour tout ouvert connexe et simplement connexe O de Ω, il existe une “application développante” θ : O → \overline{V}; i.e. un difféomorphisme local tel que θ_{∗}(X) = \overline{X} et θ(E^{±}) = \overline{E}^{±}.

Démonstration. Classique

3.1.6. Soit \overline{∇} la connexion sur \overline{V} construite comme en 2.2.2.

Remarques. 1. G′ est un groupe de transformations affines pour \overline{∇}.

2. Toute carte d’un ouvert de V dans \overline{V} envoie ∇ sur \overline{∇}

Lemme. Les géodésiques (de \overline{∇}) tangentes aux distributions \overline{E}^{+} (resp. \overline{E}^{−}) sont complètes.

Démonstration. Rappelons l’existence de l’ensemble Δ, défini en 2.1.4. Soit \overline{Y} ∈ \overline{E}^{+}. Montrons que la géodésique de condition initiale \overline{Y} s’intègre pendant un temps supérieur à 1. Il existe un ouvert connexe et simplement connexe O de Ω, une application développante θ : O → \overline{V} et un élément Y ∈ E^{+}_{O} tel que le point-base v ∈ Ω de Y est dans Δ et T θ(Y) = \overline{Y}. D’après 2.2.3, la géodésique t → γ(t) issue de Y s’intègre pendant un temps supérieur à 1 et est incluse dans F_{v}^{+} ⊂ Ω. On peut donc supposer que γ([0, 1]) ⊂ O. Alors le lacet t → θ ∘ γ(t) est la géodésique issue de \overline{Y}. C’est ce que l’on voulait

3.2. Prolongement à V de la (G′, \overline{V})-structure

3.2.1. A-coordonnées. Grâce à la complétude de la connexion le long des feuilles stables et instables, nous allons définir en tout point v de V des applications ψ_{v} que nous appellerons A-coordonnées. Il s’agit d’atteindre les points de V par une géodésique brisée d’abord le long d’une orbite du flot puis dans une feuille instable et enfin dans une feuille stable. Elles sont données par la formule :

\begin{matrix}ψ_{v} : T_{v}(V) = E_{v}^{+} ⊕ E_{v}^{0} ⊕ E_{v}^{−} & → V \\ Y = Y^{+} + tX + Y^{−} & ↦ ψ_{v}(Y) = φ_{t}(exp^{∇} (τ_{Y^{+}}(Y^{−}))) \end{matrix}

où exp^{∇} désigne l’application exponentielle pour la connexion ∇ et τ_{Y^{+}}(Y^{−}) est l’image par le transport parallèle pendant le temps 1 le long de la géodésique t → exp^{∇} (tY^{+}) du vecteur Y^{−}.

On définit de même, en tout point ṽ de Ṽ et \overline{v} de \overline{V} des A-coordonnées ψ̃ṽ et \overline{ψ}\overline{v}. Les A-coordonnées sont des difféomorphismes au voisinage de l’origine.

3.2.2. Ouverts A-étoilés. On dira qu’un ouvert O de V est A-étoilé par rapport à v si il existe un ouvert U de T_{v}V (nous l’appellerons ouvert associé) tel que :

i) ψ_{v} est un difféomorphisme de U sur O.

ii) Tout point de O est atteint par une géodésique brisée issue de v; plus précisément, pour tout s dans [0, 1], si Y = Y^{+} + tX + Y^{−} est dans U alors Y^{+} + tX + sY^{−}, sY^{+} + tX et stX aussi. Par construction, les ouverts A-étoilés se comportent bien vis-à vis des transfor-

mations affines, autrement dit, si O est un ouvert A-étoilé par rapport à v et si θ est une application développante de O dans \overline{V} alors

θ ∘ ψ_{v} = \overline{ψ}_{θ(v)} ∘ T_{v}θ  (∗)

Remarquons que les ouverts A-étoilés sont contractiles et donc connexes et simplement connexes.

Le lemme suivant est important :

Lemme. Soit v un point de Δ (2.1.4) et O un ouvert A-étoilé par rapport à v. Alors il existe un ouvert dense O′ de O A-étoilé par rapport à v et inclus dans Ω.

Démonstration. Soient U l’ouvert de T_{v}V associé à O et

U′ = {Y = Y^{+} + tX + Y^{−} ∈ U tel que, ∀s ∈ [0, 1], ψ_{v}(Y^{+} + tX + sY^{−}) ∈ Ω}

On prend O′ = ψ_{v}(U′). Toutes les propriétés sont évidemment vérifiées

3.2.3. Proposition. Ω = V

Démonstration. Il suffit de démontrer que l’on peut étendre à V la (G′, \overline{V})-structure sur Ω.

Remarquons tout d’abord que l’on peut recouvrir V par des ouverts O_{v_{i}} A-é-toilés par rapport à des points v_{i} de Δ (prendre O_{v_{i}} = ψ_{v_{i}}({Y = Y^{+} + tX + Y^{−} ∈ T_{v_{i}}V tel ques ∥Y^{+}∥ + |t| + ∥Y^{−}∥ < ε}) pour ε sufisamment petit). On peut alors grâce au lemme précédent construire des ouverts O′_{v_{i}} de O_{v_{i}} ∩ Ω A-étoilés par rapport à v_{i} et denses dans O_{v_{i}}.

En particulier, comme ils sont simplement connexes et inclus dans Ω, il existe une application développante θ de O′_{v_{i}} dans \overline{V}. Définissons alors \overline{θ} de O_{v_{i}} dans \overline{V} par

\overline{θ} = \overline{ψ}_{θ(v_{i})} ∘ (T_{v_{i}}θ) ∘ ψ_{v_{i}}^{−1}

D’après (∗), \overline{θ} est une extension de θ. Enfin, comme O′_{v_{i}} est dense dans O_{v_{i}}, on a \overline{θ}_{∗}(X) = \overline{X} et \overline{θ}_{∗}(E^{±}) = \overline{E}^{±}. On en déduit que \overline{θ} est un difféomorphisme local et donc une application développante. C’est ce qu’on voulait 3.3. Complétude de la (G′, \overline{V})-structure

3.3.1. Proposition. Soit θ : Ṽ → \overline{V} une application développante de la (G′, \overline{V})- structure. Alors θ est un difféomorphisme surjectif.

Démonstration. Il suffit de voir que θ est un revêtement. Soit donc w un point de \overline{V}, l’image réciproque de w est constituée de points (v_{i})_{i∈I}. Soient O un ouvert A-étoilé par rapport à w, U l’ouvert associé dans T_{w}\overline{V} et O_{i} = ψ̃_{v_{i}}((T_{v_{i}}θ)^{−1}(U)). Nous allons démontrer :

i) θ induit un difféomorphisme θ_{i} de O_{i} sur O.

ii) les ouverts O_{i} sont deux à deux disjoints iii) θ^{−1}(O) = ⋃_{i∈I} O_{i}

Le i) résulte de (∗). Le ii) résulte de ce que {w′ ∈ O | θ_{i}^{−1}(w′) = θ_{j}^{−1}(w′)} est ouvert et fermé, il est donc vide lorsque i ≠ j. Le iii) est le point crucial. On peut soit faire un dessin soit introduire de nouvelles notations. Soient Ψ̃ le transport parallèle le long de nos géodésiques brisées :

\begin{matrix}Ψ̃ : T Ṽ & → T Ṽ \\ Ỹ = Ỹ^{+} + tX̃ + Ỹ^{−} & ↦ (φ̃_{t})_{∗} (τ̃_{(τ̃Ỹ ^{+} (Ỹ^{−}))}(τ̃Ỹ^{+}(Ỹ))) \end{matrix}

et \overline{Ψ} : T \overline{V} → T \overline{V} donnée par des formules semblables; de sorte que

T θ ∘ Ψ̃ = \overline{Ψ} ∘ T θ

L’application Ψ̃ est un difféomorphisme: on peut écrire la formule explicite pour Ψ̃^{−1}.

Soit v′ ∈ Ṽ tel que θ(v′) ∈ O. On peut écrire θ(v′) = ψ̃_{w}(\overline{Y}) avec \overline{Y} ∈ U. Soient Ỹ := Ψ̃^{−1} ((T_{v′}θ)^{−1}(\overline{Ψ}(\overline{Y}))) et v ∈ Ṽ le point base de Ỹ; on a θ(v) = w, donc, ∃i ∈ I, tel que v = v_{i}. On a (T_{v_{i}}θ)(Ỹ) = \overline{Y} et v′ = ψ̃_{v_{i}}(Ỹ); donc v′ ∈ O_{i}. C’est ce qu’il fallait démontrer

3.3.2. La proposition 1.1 est une conséquence immédiate de 3.3.1. On identifiera désormais Ṽ et \overline{V} = G′/H′. On note ṽ_{0} le point base de Ṽ.

3.3.3. Il est facile de terminer la démonstration de la proposition 1.2.1. Reprenons les notations de 2.5.3. Soit χ : G′ → R^{∗} le caractère défini par

∀g ∈ G′, g_{∗}(ω̃^{+}) = χ(g)ω̃^{+}

Soit G = {g ∈ G′ | χ(g) = ±1} et R le sous-groupe à un paramètre donné par le flot φ̃_{t}: on a χ(φ̃_{t}) = e^{s^{+}.t}.

Lemme.

a) G′ = G × R

b) G est semisimple et agit transitivement sur Ṽ.

Démonstration. a) est clair et b) résulte de 2.5.3.

3.4. Les difféomorphismes d’Anosov symplectiques.

Cette partie, par ses notations et ses résultats, est indépendante du reste. On y donne la démonstration du théorème 3: c’est la même, mutatis mutandis, que celle de la proposition 1.1.

3.4.1. Soient (V, ω) une variété symplectique compacte, φ un difféomorphisme d’Anosov([A]) et T V = E^{+} ⊕ E^{−} la décomposition d’Anosov du fibré tangent en sous-fibrés instable et stable. On suppose que φ est symplectique (i.e. φ_{∗}(ω) = ω) et que E^{±} varient de façon C^{∞}. On montre successivement :

Lemme. Le pseudogroupe des difféomorphismes locaux de V qui préservent ω et E^{±} est de Lie et a une orbite ouverte dense Ω.

Démonstration. Comme en 2.1

3.4.2. Choisissons un point périodique v_{0} dans Ω : φ^{n_{0}}(v_{0}) = v_{0}. Soient 𝔤′ l’algèbre de Lie des champs de vecteurs locaux en v_{0} préservant ω et E^{±} et 𝔥′ = {Y ∈ 𝔤′ | Y_{v_{0}} = 0}. Soit L_{0} le logarithme de la partie hyperbolique de T_{v_{0}}φ^{n_{0}}. On a, comme en 2.4.2 :

Lemme.

a) L_{0} ∈ 𝔥′

b) Les valeurs propres de L_{0} dans E_{v_{0}}^{+} sont strictement positives.

Corollaire. Le centre de 𝔤′ est nul.

Démonstration. Le lemme précédent prouve que ce centre est inclus dans 𝔥′ . Il est donc nul

3.4.3. Soient \overline{G}′ le groupe de Lie connexe et simplement connexe d’algèbre de Lie 𝔤′ et \overline{H}′ le sous-groupe connexe d’algèbre de Lie 𝔥′.

Lemme. \overline{H}′ est fermé dans \overline{G}′.

Démonstration. On procède comme en 3.1.1 grâce au corollaire ci-dessus

On construit comme en 3.1.2 un espace-modèle (\overline{V} , \overline{ω}, \overline{E}^{±}). Soit G′ le groupe (de Lie) des difféomorphismes de \overline{V} préservant \overline{ω} et \overline{E}^{±}. L’ouvert Ω est naturellement muni d’une (G′, \overline{V})-structure.

3.4.4. On démontre comme en 2.2 :

Lemme.

a) Il existe une unique connexion ∇ sur V telle que

i) ∇ω = 0 et ∇E^{±} ⊂ E^{±}

ii) ∀Z^{±} section de E^{±}

\begin{aligned}∇_{Z^{−}}Z^{+} & = p^{+}([Z^{−}, Z^{+}]) \\ ∇_{Z^{+}}Z^{−} & = p^{−}([Z^{+}, Z^{−}]) \end{aligned}

où p^{±} est la projection sur E^{±} parallèlement à E^{∓}.

b) Cette connexion est complète le long des feuilles instables.

On utilise cette connexion, comme en 3.2 et 3.3 pour démontrer le

Lemme. Ω = V et la (G′, \overline{V})-structure sur V est complète.

Le théorème 3 est une reformulation de ce lemme.

Nous oublions désormais les notations de cette partie 3.4 pour revenir à l’étude des flots Anosov-contact.

4. Propriétés des sous-groupes d’isotropie H

4.0. Le but de ce chapitre est de montrer la proposition 1.2.2. On remarque tout d’abord que 𝔭^{+} est une sous-algèbre parabolique de 𝔤 dont 𝔤_{0} est une composante réductive. (4.1). Pour toute décomposition G′_{e}-invariante du fibré Ẽ^{+}, on construit une nouvelle connexion G′_{e}-invariante pour laquelle cette décomposition est parallèle. Le fibré des formes volume sur chacun des sous-fibrés est alors plat (4.2). En appliquant ceci à la décomposition du fibré Ẽ^{+} associée à un élément hyperbolique du centre de 𝔤_{0}, on montre que 𝔭^{+} est maximale (4.3).

On montre en 4.4 comment un reparamétrage C^{∞} du flot permet de supposer que le groupe d’holonomie Γ = π_{1}(V) est un sous-groupe de G (au lieu de G′ = G×R). Les résultats de cette partie seront aussi utiles pour la construction de l’exemple fondamental.

On interprète enfin, en termes algébriques, les objets géométriques associés au flot (4.5).

4.1. La sous-algèbre 𝔭^{+} est parabolique

4.1.1. Notons 𝔭^{±} := 𝔭^{′±} ∩ 𝔤, 𝔮^{±} := 𝔮^{′±} ∩ 𝔤, 𝔥 := 𝔥′ ∩ 𝔤 et 𝔤_{0} := (𝔥′ ⊕ RX) ∩ 𝔤 ; ce sont des sous-algèbres de Lie de 𝔤. Ces algèbres sont les algèbres de Lie stabilisant certains ensembles géométriques de Ṽ dans G : 𝔥 est l’algèbre de Lie du groupe d’isotropie d’un point, 𝔭^{±} celle du stabilisatuer d’une feuille centrale instable (ou stable), 𝔮^{±} celle du stabilisateur d’une feuille stable (ou instable) et enfin 𝔤_{0} est celle du stabilisateur d’une orbite du flot φ_{t}.

Lemme. Il existe une sous-algèbre de Cartan 𝔠 de 𝔤 incluse dans 𝔤_{0}.

Démonstration. Cela résulte de 2.5.1 : prendre 𝔠 = 𝔠′ ∩ 𝔤

4.1.2. Pour α dans 𝔠_{C}^{∗} et E un sous-espace vectoriel de 𝔤_{C} stable par l’action adjointe de 𝔠_{C}, on note E^{α} = {Y ∈ E | [Z, Y] = α(Z)Y, ∀Z ∈ 𝔠_{C}} et Δ(E, 𝔠_{C}) = {α ∈ 𝔠_{C}^{∗} \ {0} | E^{α} ≠ 0}.

Soient Δ = Δ(𝔤_{C}, 𝔠_{C}) le système de racines de 𝔤_{C}, Δ_{0} = Δ(𝔤_{0C}, 𝔠_{C}) et Δ_{0,±} = Δ(𝔭_{C}^{±}, 𝔠_{C}).

Lemme.

a) Les sous-algèbres 𝔭^{+} et 𝔭^{−} sont des sous-algèbres paraboliques opposées (i.e. Δ = Δ_{0,+} ∪ Δ_{0,−} et Δ_{0,−} = −Δ_{0,+}).

b) La sous-algèbre 𝔤_{0} est une composante réductive de 𝔭^{+} (resp. 𝔭^{−}).

Démonstration. Soient Δ_{±} = Δ_{0,±} \ Δ_{0}. On a la réunion disjointe Δ = Δ^{+} ∪ Δ_{0} ∪ Δ_{−}. L’isomorphisme canonique de 𝔭^{±}/𝔤_{0} ≈ 𝔮^{±}/𝔥 sur E_{v_{0}}^{±} est un isomorphisme de 𝔠-modules, la 2-forme (dλ)_{v_{0}} est 𝔠_{C}-invariante et met en dualité non dégénérée E_{v_{0}}^{+} et E_{v_{0}}^{−}; donc Δ_{−} = −Δ^{+}, puis Δ_{0,−} = −Δ_{0,+} et Δ = Δ_{0,+} ∪ (−Δ_{0,+}). Ceci prouve que 𝔭^{+} et 𝔭^{−} sont des sous-algèbres paraboliques opposées de 𝔤 et que 𝔤_{0} = 𝔭^{+} ∩𝔭^{−} est la composante réductive de 𝔭^{+} (cf. [Bo2] ch. VIII §3 n^{∘} 4)

4.2. Une connexion adaptée à une décomposition de E^{+}

Quitte à remplacer V par un revêtement fini, on supposera dans cette partie et la suivante que Γ est inclus dans G′_{e} (cf. 3.1.3).

4.2.1. Fixons dans cette partie, une décomposition H′_{e}-invariante de E_{v_{0}}^{+} : E_{v_{0}}^{+} = ⊕_{i∈I^{+}}E_{v_{0}}^{+,i} où I^{+} est un ensemble d’indices. On note E_{v_{0}}^{−} = ⊕_{i∈I^{+}}E_{v_{0}}^{−,i} la décomposition H′_{e}-invariante de E_{v_{0}}^{−} qui s’en déduit :

E_{v_{0}}^{−,i} = {Z ∈ E_{v_{0}}^{−} | ∀j ≠ i, ∀Y ∈ E_{v_{0}}^{+,j}, dλ(Y, Z) = 0}

Soit I = {+, −} × I^{+}. Pour i dans I, on note Ẽ^{i} le sous-fibré G′_{e}-invariant de T Ṽ dont la fibre en ṽ_{0} est E_{v_{0}}^{i}, E^{i} l’image de Ẽ^{i} dans T V, s^{i} l’entropie de E^{i} (cf. 2.2.1),

σ^{i} = \frac{s^{i}}{rang (E^{i})} et p^{i} la projection sur E^{i} parallèlement à E^{0} ⊕ (⊕_{j≠i}E^{j}).

Lemme. Il existe une unique connexion D sur V telle que i) Dλ = 0, D(dλ) = 0 et D(E^{i}) ⊂ E^{i} ∀i ∈ I ii) ∀i, j ∈ I de signes différents, ∀Z^{i}, Z^{j} sections de E^{i}, E^{j}

\begin{aligned}D_{Z^{j}}Z^{i} & = p^{i}([Z^{j}, Z^{i}]) \\ et D_{X}Z^{i} & = [X, Z^{i}] + σ^{i}.Z^{i} \end{aligned}

Remarque. La connexion D̃ sur Ṽ relevée de D est, par construction, invariante par G′_{e}.

Démonstration. La même qu’en 2.2.2

4.2.2. Pour tout i dans I, le fibré E^{i} est parallèle pour la nouvelle connexion D. Soit Λ^{i} le fibré des formes volume sur E^{i}, il est naturellement muni d’une connexion induite par D. Le but de ce paragraphe est de montrer que le fibré Λ^{i} est plat.

On procède comme en 2.3 et 2.5 : soient Ω^{i} la 2-forme de courbure du fibré Λ^{i} et B^{i} l’opérateur de E dans lui-même donné par :

Ω^{i}(Y, Z) = dλ(B^{i}Y, Z) et λ(B^{i}(Z)) = 0

On construit une 1-forme β^{i}, primitive de Ω^{i} à l’aide de la formule

D_{Z} ω^{i} = β^{i}(Z).ω^{i}

où ω^{i} est une section nulle part nulle du fibré |Λ^{i}| des densités de E^{i}. On montre alors, comme en 2.3 et 2.5 :

Lemme.

a) On a ∫_{V} β^{i}(X)λ ∧ (dλ)^{n−1} = 0

b) ∀p ∈ {1, …, n − 1}, on a (Ω^{i})^{p} ∧ (dλ)^{n−1−p} = 0.

c) B^{i} est nilpotent.

d) Le fibré Λ^{i} est plat.

4.2.3. Corollaire. ∀Y ∈ 𝔥, ∀i ∈ I, on a tr_{E_{v_{0}}^{i}} (Y) = 0.

Démonstration. Le fibré Λ̃^{i}, relevé du fibré Λ^{i}, est plat (pour la connexion D̃); il existe donc une section parallèle ω̃^{i} de ce fibré, unique à une constante près. Soit χ^{i} : G′ → R^{∗}, le caractère défini par, ∀g ∈ G′,

g_{∗}ω̃^{i} = χ^{i}(g).ω̃^{i}

Comme l’algèbre de Lie 𝔤 est semisimple, on a dχ^{i}(𝔤) = 0; donc ∀Y ∈ 𝔥, on a dχ^{i}(Y) = tr_{E_{v_{0}}^{i}} (Y) = 0 4.3. La sous-algèbre 𝔭^{+} est parabolique maximale

4.3.1. Soient 𝔫^{±} le radical unipotent de 𝔭^{±}, 𝔷_{0} le centre de 𝔤_{0}, 𝔷_{0}^{E} (resp. 𝔞) la partie elliptique (resp. hyperbolique) de 𝔷_{0}, i.e.

𝔷_{0}^{E} = {Y ∈ 𝔷_{0} | ad_{𝔤}(Y) est elliptique}
(resp. 𝔞 = {Y ∈ 𝔷_{0} | ad_{𝔤}(Y) est hyperbolique});

on a l’égalité 𝔷_{0} = 𝔷_{0}^{E} ⊕ 𝔞. Soit 𝔪 = [𝔤_{0}, 𝔤_{0}] ⊕ 𝔷_{0}^{E}. On a la “décomposition de Langlands” du parabolique 𝔭^{+} :

𝔭^{+} = 𝔪 ⊕ 𝔞 ⊕ 𝔫^{+} (cf. [Wa])

et l’égalité 𝔤_{0} = 𝔪 ⊕ 𝔞.

Proposition.

a) La sous-algèbre parabolique 𝔭^{+} est maximale (i.e. dim (𝔞) = 1)

b) On a l’égalité 𝔥 = 𝔪.

Démonstration. a) Il suffit de voir que 𝔥 ∩ 𝔞 = 0. Soit Y_{0} ∈ 𝔥 ∩ 𝔞 et E_{v_{0}}^{+} = ⊕_{μ∈R}E_{v_{0}}^{+,μ} la décomposition (H′_{e}-invariante) de E_{v_{0}}^{+} en sous-espaces propres sous l’action de Y_{0}. Le corollaire 4.2.3 prouve que tr_{E_{v_{0}}^{+,μ}}(Y_{0}) = μ.dim E_{v_{0}}^{+,μ} = 0. Donc, Y_{0} agit trivialement dans E_{v_{0}}^{+} puis Y_{0} = 0.

b) Comme 𝔭^{+} est maximale, on a l’égalité 𝔪 = {Y ∈ 𝔤_{0} | tr (ad(Y)) = 0}. D’autre part, l’isomorphisme canonique de 𝔮^{+}/𝔥 ≈ 𝔫^{+} sur E_{v_{0}}^{+} est un isomorphisme de 𝔥-modules; le corollaire 4.2.3 prouve alors que, ∀Y ∈ 𝔥, on a tr (adY) = 0. Donc 𝔥 ⊂ 𝔪 puis 𝔥 = 𝔪

4.3.2. Corollaire. 𝔤 est une algèbre de Lie simple.

Démonstration. Soit 𝔤 = ⊕_{i=1,...,l}𝔤(i) la décomposition de 𝔤 en idéaux simples; comme 𝔭^{+} est maximale, il existe i_{0} tel que 𝔥 ⊃ ⊕_{i≠i_{0}}𝔤(i). Or 𝔥 ne contient pas d’idéaux de 𝔤, car, par construction, l’action de G sur G/H est effective. Donc l = 1 et 𝔤 est simple

4.4. Reparamétrisation

Nous venons de voir que G′ était isomorphe à G × R, nous pouvons donc considérer Γ_{0}, la projection de Γ le groupe d’holonomie dans le premier facteur. La projection h dans le deuxième facteur, que nous voyons comme un élément de Hom (Γ, R) = H^{1}(V, R),

est représentée en cohomologie par \frac{β^{+}}{s^{+}} où β^{+} est la 1-forme de connexion du fibré Λ^{+}

des formes volume sur E^{+} pour la connexion ∇ (3.4.1), et où s^{+} est l’entropie du fibré E^{+}.

Par construction, h(φ_{t}) = t. En particulier, la projection p_{1} de G′ sur le premier facteur G est donnée par

p_{1}(g) = g.φ_{−h(g)}

Nous allons maintenant démontrer 1.2.3.

4.4.1. Construction des nouveaux exemples. Cette partie est autonome du reste, son but est de démontrer

Proposition. Soit X un flot Anosov-contact sur une variété compacte V, dont la décomposition d’Anosov est C^{∞}. Si α est une 1-forme fermée telle que

1 + α(X) > 0

alors le flot de Y = \frac{X}{1 + α(X)} a les mêmes propriétés.

Démonstration. La forme de contact λ + α est invariante par Y, et les sous-fibrés

E_{Y}^{±} = {z − α(z)Y; z ∈ E^{±}}

sont stables et instables pour le flot de Y

4.4.2. Construction de la reparamétrisation. Démontrons tout d’abord 1.2.3(i)

Lemme. Il existe une 1-forme α cohomologue à −\frac{1}{s^{+}} β^{+}, telle que 1 + α(X) > 0.

Démonstration. On a l’égalité (cf. 2.3.3)

\frac{1}{t} log (det (T_{v}φ_{−t}_{E^{+}})) = −s^{+} + \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} β^{+}(X(φ_{−s}(v))) ds

Or comme φ_{t} est Anosov, il existe des constantes c, d > 0 telles que pour tout t positif

\frac{1}{t} log (det (T_{v}φ_{−t}_{E^{+}})) ≤ \frac{1}{t} log (c) − d

Donc il existe t_{0} > 0 tel que pour tout v de V

s^{+} − \frac{1}{t_{0}} ∫_{0}^{t_{0}} β^{+}(X(φ_{−t}(v))) dt > ε

On prend alors

α = −\frac{1}{s^{+}} \frac{1}{t_{0}} ∫_{0}^{t_{0}}(φ_{−t})^{∗}(β^{+}) dt

Soit p_{1} la projection de G′ sur G, le premier facteur. La proposition 1.2.3 (ii) découle immédiatement du :

Lemme. Soit α une 1-forme fermée, représentant −h en cohomologie de de Rham, telle que 1 + α(X) > 0. Alors il existe un difféomorphisme ψ de Ṽ tel que

(i) pour tout élément de γ, et v de Ṽ

ψ(γv) = p_{1}(γ)ψ(v)

(ii) T ψ (\frac{X}{1 + α(X)}) = X

Démonstration. On construit le difféomorphisme ψ explicitement. Soit f une primitive de α sur le revêtement universel Ṽ de V, on pose

ψ(z) = φ̃_{f(z)}(z)

Calculons tout d’abord la différentielle de ψ; nous obtenons :

T_{y}ψ(Z) = T φ̃_{f(z)}(Z) + df(Z)X

En particulier :

(1)  T ψ (\frac{X}{1 + α(X)}) = X

Ceci montre (ii) et on en déduit aisément que T ψ est bijective.

Montrons que ψ est une bijection. Comme ψ envoie une orbite de X sur elle-même, il suffit de montrer que sa restriction aux orbites est une bijection, or ceci découle immédiatement de (1).

Montrons la relation de commutation (i). Il s’agit d’une suite d’identifications triviales que nous allons expliciter. Nous voulons montrer :

(2)  φ̃_{f(γ(z))}(γz) = p_{1}(γ) (φ̃_{f(z)}(z))

Or

p_{1}(γ) = γ ∘ φ_{−h(γ)}

En remplaçant dans (2) et en utilisant le fait que les éléments de G′ commutent avec le flot, il nous faut démontrer :

f(γ(z)) − f(z) = −h(γ)

et ceci vient de ce que α représente −h en cohomologie de de Rham 4.5. Interprétation algébrique des objets géométriques

Nous avons vu que le groupe G_{e} agissait transitivement sur Ṽ.

Le stabilisateur G_{0} d’une orbite de φ̃_{t} dans Ṽ a pour algèbre de Lie 𝔤_{0} et est fermé dans G_{e}. En particulier, O = G_{e}/G_{0}, l’“espace des orbites” possède une structure de variété.

De même, le groupe P_{e}^{+}, le stabilisateur d’une feuille centrale instable, est d’algèbre de Lie 𝔭^{+} et est fermé dans G_{e}. Le sous-groupe P_{e}^{+} est la composante connexe du sous-groupe parabolique maximal P^{+} associé à 𝔭^{+} : P^{+} = {g ∈ G_{e} | Ad (g)(𝔭^{+}) = 𝔭^{+}}. En particulier, F̃^{+} = G_{e}/P_{e}^{+} “l’espace des feuilles centrales stables” possède une bonne structure de variété. De plus, c’est un revêtement de F^{+} = G_{e}/P^{+}, l’espace des sousalgèbres paraboliques maximales conjuguées à P^{+}, qui est une variété compacte et algébrique réelle, dont la structure, par exemple comme P^{+}-espace, est bien connue.

Nous noterons p ∈ N ∪ {∞} l’indice de ce revêtement (c’est aussi le cardinal de P^{+}/P_{e}^{+}). L’hypothèse “p fini” équivaut naturellement à F̃^{+} compact.

Bien sûr nous avons les fibrations :

Ṽ → O → F̃^{+} → F^{+}

correspondant aux inclusions

H ⊂ G_{0} ⊂ P_{e}^{+} ⊂ P^{+}

Les deux premières flèches signifient qu’un point est sur une orbite, et qu’une orbite est dans une feuille centrale instable.

5. Dynamique d’un élément du groupe d’holonomie

5.0. Nous nous proposons dans cette section de démontrer la proposition 1.3.1. Dans cette partie γ sera un élément de Γ, le groupe d’holonomie de V. On commence par des réductions préliminaires (5.1) de façon à ce que Γ soit inclus dans G_{e} et que les éléments de torsion de Γ soient inclus dans le centre Z de G_{e}.

On se placera dans la suite du texte dans ce cas; on supposera que γ n’est pas de torsion et nous allons étudier sa dynamique sur F̃^{+}, O et F^{+}. Notre intuition est de copier le comportement du cas des flots géodésiques.

Rappelons (cf. [EO]) que dans ce cas l’espace des feuilles F̃^{+}, s’identifie à la sphère à l’infini du revêtement universel de la variété à courbure négative, et chaque élément de Γ sur F̃^{+} a la dynamique suivante : un point fixe attracteur dont le complémentaire du bassin est réduit à un point fixe répulseur.

Supposons pour simplifier que F̃^{+} est compact. Soit γ un élément de Γ tel que Ad (γ) ≠ 1. On montre que, quitte à remplacer γ par une puissance γ^{n}, tout point fixe de γ dans F^{+} est la projection d’une feuille centrale instable γ-invariante du flot φ̃_{t} et que celle-ci contient une orbite γ-invariante de ce flot (5.2). Ceci permet de montrer que tout point fixe de γ dans F^{+} est soit attracteur, soit répulseur et que son bassin d’attraction (resp. de répulsion) est un ouvert dense. Il y a donc au plus deux points fixes (5.3). On montre ensuite à l’aide du closing-lemma que les points ω-limites de l’action de γ dans O sont périodiques (5.4). On en déduit que, si γ est semisimple, il existe une puissance γ^{n} qui a au moins #W/#W𝔭^{+} points fixes dans F^{+} où W (resp. W𝔭^{+}) est le groupe de Weyl restreint de 𝔤 (resp. 𝔥). Or, si le rang réel de G est ≥ 2, on a l’inégalité #W/#W𝔭^{+} ≥ 3. Donc γ ne peut pas être semisimple (5.5).

Convenablement modifiés, ces arguments sont encore pertinents lorsque F̃^{+} n’est pas compact et que γ a un point fixe dans O.

5.1. Réductions préliminaires

5.1.1. Soit Z le centre de G_{e} et Z_{Γ} = Z ∩ Γ.

Lemme.

a) Quitte à reparamétrer le flot, on peut supposer que Γ est un sous-groupe de G.

b) Quitte à remplacer V par un revêtement fini, on peut supposer que i) Γ ⊂ G_{e} ii) le groupe adjoint Ad (G) est sans torsion.

Démonstration.

a) C’est la proposition 4.4.3. b) i) Remplacer Γ par Γ ∩ G_{e} (cf. remarque 3.1.3). ii) Le groupe Γ est le π_{1} d’une variété compacte, il est donc de type fini ([Ra] th.

6.16). Il existe donc un sous-groupe Γ′ d’indice fini de Γ tel que Ad (Γ′) est sans torsion ([Ra] cor. 6.13). Remplacer alors Γ par Γ′

On supposera dans les chapitres 5 et 6 que Γ ⊂ G_{e} et que Ad (Γ) est sans torsion.

5.2. Points fixes de γ dans F̃^{+}

5.2.1. Lemme. Soit γ ∈ Γ \ Z_{Γ}. Toute “feuille centrale instable” du flot φ̃_{t} invariante par γ contient une unique orbite invariante par γ. Autrement dit tout point fixe de γ dans F̃^{+} se relève en un point fixe dans O.

Démonstration. Soient s une feuille centrale instable invariante par γ et r une feuille instable incluse dans s. Il existe un réel t_{0} tel que γ ∘φ̃_{t_{0}} laisse stable r. Le cas où t_{0} = 0 est exclu car il existerait une courbe sur V non homotopiquement triviale et inscrite dans une feuille instable du flot φ_{t} : son image par le flot φ_{t} pour t très négatif serait de longueur arbitrairement petite et non homotopiquement triviale, ce qui contredit la compacité de V.

Supposons donc t_{0} < 0 (le cas t_{0} > 0 se traite de même). L’application h = γ ∘ φ̃_{t_{0}} (ou au moins une de ses puissances h^{n}) induit une contraction sur cette feuille instable r, pour la métrique riemannienne induite, car γ^{n} est une isométrie et φ̃_{nt_{0}} une contraction. Elle a donc un unique point fixe. C’est ce que l’on voulait

5.2.2. Corollaire. Soit f_{0}^{+} un point fixe de γ dans F̃^{+}. f_{0}^{+} est alors point attracteur (ou répulseur) de γ. Le bassin de f_{0}^{+} est l’ensemble des feuilles f^{+} rencontrant la feuille f_{0}^{−} telle que f_{0}^{−} ∩ f_{0}^{+} est l’orbite de φ_{t} fixée par γ dans f_{0}^{+}.

Autrement dit, le bassin de f_{0}^{+} est l’orbite dans F̃^{+} du stabilisateur P_{e}^{−} de f_{0}^{−}.

Démonstration. La démonstration découle de celle du lemme précédent

5.3. Points fixes de γ dans F^{+}

Nous voulons montrer la proposition suivante :

5.3.1. Proposition. Soit γ ∈ Γ \ Z_{Γ}. On suppose que F̃^{+} est compact ou que γ a au moins un point fixe dans O, alors γ a au plus deux points fixes dans F^{+}.

Il nous faut tout d’abord établir un lemme technique dans le cas où p = ∞.

5.3.2. Lemme.

a) Le centre Z de G_{e} et P_{e} ont une intersection triviale : Z ∩ P_{e} = {1}.

b) Pour tout g de G_{e}, le groupe P_{e}^{+} ∩ gP^{+}g^{−1} a un nombre fini de composantes connexes.

Démonstration. a) Soit P^{+} = MAN^{+} la décomposition de Langlands du sous-groupe parabolique P^{+} ([Wa] § 1.2.4) : M est un sous-groupe fermé de G_{e} qui contient Z et dont l’algèbre de Lie est 𝔥. On a donc Z ∩ P_{e}^{+} = Z ∩ M_{e} = Z ∩ H_{e}. Or Z ∩ H_{e} = 1 car Z agit effectivement sur Ṽ.

b) Comme P_{e}^{+} ∩ Z = {1}, le morphisme G_{e} ⟶^{Ad} Ad (G_{e}) induit un isomorphisme de P_{e}^{+} sur son image Ad (P_{e}^{+}) qui est la composante connexe d’un groupe algébrique réel. On a donc un isomorphisme :

P_{e}^{+} ∩ gP^{+}g^{−1} → Ad (P_{e}^{+} ∩ gP^{+}g^{−1})

Or Ad (P_{e}^{+} ∩gP^{+}g^{−1}) = Ad (P_{e}^{+})∩gAd P^{+}g^{−1}, et ce dernier groupe est un sous-groupe ouvert d’un groupe algébrique, il n’a donc qu’un nombre fini de composantes connexes

5.3.3. Corollaire. On a l’équivalence :

F̃^{+}est compact ⟺ #Z < ∞

Démonstration.

• ⟸ d’après a) Z s’injecte dans P^{+}/P_{e}^{+}.

• ⟹ P^{+}/Z ≃ Ad (P^{+}) a un nombre fini de composantes connexes

5.3.4. Démonstration de 5.3.1. a) Si F̃^{+} est compact ou si γ a au moins un point fixe dans O, alors la fibre au-dessus d’un point fixe de γ dans F^{+} est constituée de points périodiques dans F̃^{+}.

Ceci est évident quand F̃^{+} est compact, car alors la fibre est finie.

Dans le cas où p est infini, on utilise 5.3.2. Soit f_{0}^{+} un point de F̃^{+} fixé par γ et P_{e}^{+} son stabilisateur. Soit P^{+} le sous-groupe parabolique maximal contenant P_{e}^{+}. L’espace F^{+} s’identifie à G/P^{+}. Si γ fixe un point gP^{+} de F^{+}, alors γ appartient à P_{e}^{+}∩gP^{+}g^{−1} = B. Or B a un nombre fini de composantes connexes, donc une puissance γ^{n} de γ appartient à P_{e}^{+} ∩ gP_{e}^{+}g^{−1} qui est ouvert dans B. Ce qui entraîne que gP_{e}^{+} est fixé par γ^{n}.

b) On en déduit (5.2.2) que un point fixe de γ dans F^{+} est un attracteur et que le bassin de ce point fixe est l’orbite de ce point sous P^{−} où P^{−} est un sous-groupe parabolique maximal opposé à P^{+}. D’après le lemme de Bruhat ([Wa] §1.2.4.10) ceci est un ouvert dense. On en déduit le résultat 5.4. Points ω-limites de l’action de γ dans O

Notre but est de montrer la

5.4.1. Proposition. Soit γ ∈ Γ \ Z_{Γ}; c′ et c des points de O et n_{i} une suite d’entiers tendant vers l’infini telle que lim n_{i} = +∞ et lim γ^{n_{i}}c′ = c. Alors c est un point périodique sous l’action de γ. Autrement dit, les points ω-limites de l’action de γ sont périodiques.

Ceci sera la traduction du closing-lemma. Il nous faut un lemme préliminaire.

5.4.2. Lemme. Soit γ ∈ Γ \ Z_{Γ}, alors l’ensemble

P_{γ} = {c ∈ O | ∃n > 0 tel que γ^{n}c = c}

est localement fini (i.e. discret et fermé) dans O.

Démonstration. D’après le lemme 5.3.1, γ a au plus deux points périodiques dans F^{+}. Donc l’ensemble des points périodiques de γ dans F̃^{+} est localement fini. Il en est de même de P_{γ} (5.2.1) Rappelons le

Closing Lemma. ([A] lemma 13.1) Soit φ_{t} un flot d’Anosov sur une variété compacte V. Pour tout α > 0, il existe β > 0 et t_{0} > 0 tels que si t_{1} > t_{0} et si v_{1} dans V vérifie

d(v_{1}, φ_{t_{1}}(v_{1})) < β

alors il existe v ∈ V et T > 0 tels que |T − t_{1}| < α, φ_{T} (v) = v et ∀t ∈ [0, T]

d(φ_{t}(v), φ_{t}(v_{1})) < α.

Opérons la traduction de ce closing lemma dans notre proposition 5.4.1.

Démonstration de 5.4.1. D’après 5.4.2, il suffit de construire des points périodiques sous l’action de γ et arbitrairement proches de c.

Soit v ∈ Ṽ un point de l’orbite c et v′ un point de c′. Par hypothèse, il existe une suite (t_{i}) telle que

lim_{i→∞} φ_{t_{i}}(γ^{n_{i}}.v′) = v

La suite (t_{i}) tend vers l’infini, puisque n_{i} tend vers l’infini.

Pour tout β > 0 et t_{0} > 0 on peut donc trouver i_{0} tel que ∀j > i_{0}

d (φ_{t_{i_{0}}} (γ^{n_{i_{0}}} v′), φ_{t_{j}}(γ^{n_{j}}v′)) < β.

Posons w = φ_{t_{i_{0}}} (γ^{n_{i_{0}}} v′), et soit j > i_{0} tel que n = n_{j} −n_{i_{0}} > 0 et t = t_{j} −t_{i_{0}} > t_{0}.

On a alors

d(w′, γ^{n}φ_{t}(w′)) < β

Grâce au closing-lemma, on peut donc trouver pour tout α > 0, T et w tels que

φ_{T} (w) = γ^{n}w, où
d(w, w′) < α et donc
d(w, v) ≤ α + β

Comme α et β sont arbitraires, on a construit une orbite (celle de w), point périodique pour γ, arbitrairement proche de celle de v

5.5. Non-semisimplicité de γ

Nous nous proposons de démontrer 1.3.1. Pour cela nous allons montrer en utilisant le closing lemma, que si γ est semisimple et si le rang de G est supérieur ou égal à deux, alors γ possède plus de deux points fixes dans F^{+}, et obtenir la contradiction avec 5.3.1.

5.5.1. Rappelons quelques définitions classiques (cf. [Wa] chap. 1) :

• Une sous-algèbre (resp. un sous-espace) de Cartan 𝔠 est une sous-algèbre commutative formée d’éléments Y semisimples (resp. hyperboliques), et maximale pour cette propriété.

• Un sous-groupe de Cartan C de G_{e} est le centralisateur d’une sous-algèbre de Cartan : C = {x ∈ G_{e} | ∀Y ∈ 𝔠, Ad x(Y) = Y }.

• Un élément g de G_{e} est semisimple (i.e. Ad (g) est un endomorphisme semisimple) si et seulement si il appartient à un sous-groupe de Cartan ([Wa] th. 1.4.1.7 et 1.4.3).

5.5.2. Lemme. Soient γ ∈ Γ \ Z_{Γ} un élément semisimple, on suppose que γ appartient à la composante connexe C_{e} d’un sous-groupe de Cartan. Soit c un point de O tel que l’orbite C_{e}.c est compacte, alors C_{e}.c est réduit à un point.

Démonstration. La suite γ^{n}.c reste dans le compact C_{e}.c; elle a donc un point adhérent c′. D’après 5.4.1, c′ est périodique pour γ : γ^{q}(c′) = c′.

On a alors, ∀x ∈ C_{e}, γ^{q}(x.c′) = x. (γ^{q}.c′) = x.c′ : tout point de l’orbite C_{e}.c′ = C_{e}.c est un point fixe de γ^{q}. Donc C_{e}.c est réduit à un point (lemme 5.4.2)

5.5.3. Notations. Soit 𝔞_{0} un sous-espace de Cartan de 𝔤 qui contient X_{0}, A_{0} = exp (𝔞_{0}), Σ = Σ(𝔤, 𝔞_{0}) le système de racines restreintes, Σ^{+} un choix de racines positives tel que, ∀α ∈ Σ^{+}, on ait α(X_{0}) ≥ 0; soient

\begin{aligned}N_{G_{e}}(𝔞_{0}) & = \{g ∈ G_{e} | Ad g(𝔞_{0}) ⊂ 𝔞_{0}\}, \\ Z_{G_{e}}(𝔞_{0}) & = \{g ∈ G_{e} | ∀Y ∈ 𝔞_{0}, Ad g(Y) = Y \} \end{aligned}

et W = N_{G_{e}}(𝔞_{0})/Z_{G_{e}}(𝔞_{0}) le groupe de Weyl restreint, c’est aussi le groupe de Weyl du système de racines restreintes. On fixe, ∀w ∈ W, un représentant w̃ de w dans N_{G_{e}}(𝔞_{0}).

Remarquons que 𝔞_{0} est un sous-espace de Cartan de l’algèbre de Lie réductive 𝔤_{0}. On peut donc introduire le système de racines restreintes et le groupe de Weyl correspondants :

Σ𝔭^{+} = {α ∈ Σ | α(X_{0}) = 0}, W𝔭^{+} = N_{G_{0}}(𝔞_{0})/Z_{G_{0}}(𝔞_{0})

où N_{G_{0}}(𝔞_{0}) = G_{0} ∩ N_{G}(𝔞_{0}) et Z_{G_{0}}(𝔞_{0}) = G_{0} ∩ Z_{G}(𝔞_{0}).

Le groupe de Weyl va nous servir à fabriquer de nouveaux points fixes. Essentiellement la proposition suivante revient à démontrer que l’orbite d’un point fixe de γ dans F^{+} sous W est constituée de points fixes. Pour cela d’après ce qui précède, un point fixe dans F^{+} se relevant en un point fixe dans O, (sous nos hypothèses), il suffit de montrer que l’orbite dans O d’un point fixe de γ sous W est constituée de points fixes.

5.5.4. Proposition. Soit γ ∈ Γ \ Z_{Γ} un élément semisimple; on suppose que F̃^{+} est compact ou que γ a un point fixe dans O. Alors, il existe N ≥ 1 tel que γ^{N} a au moins #(W/W𝔭^{+}) points fixes dans F^{+}.

Démonstration. Si p < ∞, soit C un sous-groupe de Cartan de G contenant γ. Comme C a un centre fini (cor. 5.3.3), C a un nombre fini de composantes connexes et il existe une puissance γ^{N} de γ telle que γ^{N} ∈ C_{e}.

Si p = ∞, on peut supposer que γ ∈ G_{0} : en effet, γ a un point fixe dans O. Soit C′ un sous-groupe de Cartan de G_{0} contenant γ. D’après 2.4.2 le groupe H est algébrique, donc C′ a un nombre fini de composantes connexes et il existe une puissance γ^{N} de γ telle que γ^{N} ∈ C′_{e}. C′_{e} est aussi la composante connexe C_{e} d’un sous-groupe de Cartan C de G.

Dans ces deux cas, soient 𝔠 l’algèbre de Lie de C_{e}, 𝔞′ la sous-algèbre formée des éléments hyperboliques de 𝔠 et T_{e} le sous-groupe formé des éléments g elliptiques de C_{e} (i.e. tels que Ad (g) est un endomorphisme semisimple dont les valeurs propres sont de module égal à 1). On a l’égalité C_{e} = T_{e}A′ où A′ = exp (𝔞′). On peut supposer que 𝔞′ ⊂ 𝔞_{0}.

Montrons que le groupe T_{e} est compact : on sait que Ad (T_{e}) = T_{e}/(T_{e} ∩ Z) est compact, il suffit de voir que T_{e} ∩ Z est fini. Si p < ∞, le corollaire 5.3.3 prouve que Z est fini. Si T_{e} ⊂ G_{0}, le lemme 5.3.2 a) prouve que T_{e} ∩ Z = {e}. Dans les deux cas, T_{e} est compact.

Montrons que, ∀w ∈ W, w̃P^{+} est un point fixe de γ dans F^{+} = G/P^{+}. Notons c_{0} = G_{0} le point base de O = G/G_{0}. On a l’égalité C_{e}.w̃c_{0} = T_{e}.w̃c_{0} car w̃^{−1}A′w̃ ⊂ A_{0} ⊂ G_{0}. Donc C_{e}.w̃c_{0} est compact. Le lemme 5.2.2 prouve que C_{e}.w̃c_{0} = {w̃c_{0}}; en particulier γ.(w̃c_{0}) = w̃.c_{0} et γ.w̃P^{+} = w̃P^{+}.

D’après le lemme de Bruhat ([Wa] prop. 1.2.1.10), l’application de W dans F^{+} qui envoie w sur w̃P^{+} induit une surjection de W/W𝔭^{+} dans F^{+} = G_{e}/P^{+}. Notre lemme s’en déduit 5.5.5. Lemme. Gardons les notations précédentes. On a l’inégalité #(W/W𝔭^{+}) ≥ 2 avec égalité si et seulement si 𝔤 est de rang réel un.

Démonstration. Il est clair que W𝔭^{+} ≠ W. Supposons que W𝔭^{+} est un sous-groupe d’indice 2 de W. Le sous-groupe W𝔭^{+} est alors distingué et l’ensemble Σ𝔭^{+} est donc invariant par W : en effet, notons s_{α} la symétrie par rapport à α ∈ Σ; on a ∀w ∈ W ∀α ∈ Σ𝔭^{+}s_{w.α} = ws_{α}w^{−1} ∈ W𝔭^{+} donc wα ∈ Σ𝔭^{+}

Comme l’action de W sur 𝔞_{0} est irréductible, on en déduit que Σ𝔭^{+} = ∅. Donc dim 𝔞_{0} = 1 et 𝔤 est de rang réel un

5.5.6. Nous pouvons maintenant donner la

Démonstration de la proposition 1.3.1. Cela résulte de 5.3.1, 5.5.4 et 5.5.5

6. A la recherche d’éléments semisimples

6.0. Le but de ce chapitre est de montrer les propositions 1.3.2 et 1.3.3. En utilisant le fait que toutes les feuilles centrales instables du flot φ_{t} sont denses dans V, on montre que la clôture de Zariski du groupe adjoint de Γ agit transitivement sur F^{+} et est donc un groupe réductif. On en déduit que Γ \ Z_{Γ} contient des éléments semisimples (6.1).

On dresse la liste des sous-groupes paraboliques maximaux P^{+} = MAN^{+} de G_{e} pour lesquels le revêtement universel F̃^{+} de F^{+} = G_{e}/P^{+} n’est pas compact. Il y en a relativement peu (6.2). On prouve alors par une étude de chacun de ces cas, que tout élément de G_{0} := M_{e}A non semisimple a au moins trois points fixes dans F^{+}. On en déduit que, lorsque F̃^{+} n’est pas compact, tout élément γ de Γ qui fixe un point de O est semisimple (6.3).

6.1. Existence d’éléments semisimples dans Γ

6.1.1. Soient \overline{Ad (Γ)} l’adhérence de Zariski de Ad (Γ) dans Ad (G_{e}) ⊂ GL(𝔤).

Lemme. Le groupe \overline{Ad (Γ)} agit transitivement sur F^{+}.

Démonstration. Chaque feuille centrale instable du flot φ_{t} est dense ([A] th. 9). Ceci entraîne immédiatement que chaque orbite de Γ sur F̃^{+} est dense et donc chaque orbite de \overline{Ad (Γ)} est dense dans la variété algébrique réelle F^{+} = \{sous-algèbres paraboliques de 𝔤 conjuguées à 𝔭^{+}\}. Ceci entraîne que \overline{Ad (Γ)} agit transitivement puisque l’action de \overline{Ad (Γ)} est algébrique et que toute action algébrique d’un groupe algébrique possède une orbite fermée (l’orbite de dimension minimale dans la stratification de Rosenlicht).

Démontrons deux lemmes généraux :

6.1.2. Lemme. Soit 𝔤 une algèbre de Lie semisimple et 𝔰 une sous-algèbre qui n’est incluse dans aucune sous-algèbre parabolique propre de 𝔤. Alors 𝔰 est réductive dans 𝔤.

Démonstration. Par récurrence sur la dimension de 𝔤. Supposons 𝔰 non réductive dans 𝔤. Soit 𝔤′ une sous-algèbre propre de 𝔤, contenant 𝔰 et maximale. On sait que 𝔤′ est une sous-algèbre soit parabolique, soit réductive dans 𝔤 ([Bo2] §10 cor. 1 du th. 2). Le premier cas est exclu par hypoyhèse. Donc 𝔤′ est réductive et par hypothèse de récurrence il existe une sous-algèbre parabolique 𝔭′ propre de 𝔤′ contenant 𝔰. On peut trouver un élément semisimple hyperbolique H de 𝔤′ tel que 𝔭′ = ⊕_{i≥0}{X ∈ 𝔤′ | [H, X] = iX}. La sous-algèbre 𝔰 est alors incluse dans la sous-algèbre parabolique de 𝔤 𝔭 := ⊕_{i≥0}{X ∈ 𝔤 | [H, X] = iX}. Contradiction

6.1.3. Lemme. Soit G_{e} un groupe de Lie semisimple connexe, P^{+} un sous-groupe parabolique et S un sous-groupe de Lie de G_{e}. Si S agit transitivement sur G_{e}/P^{+} alors S est réductif dans G_{e} (i.e. 𝔰 := Lie (S) est réductive dans 𝔤 := Lie (G_{e})).

Démonstration. D’après le lemme 6.1.2, il suffit de voir que 𝔰 n’est incluse dans aucune sous-algèbre parabolique de 𝔤. Supposons par l’absurde que 𝔰 soit incluse dans la sousalgèbre parabolique 𝔭′. Comme S agit transitivement sur G_{e}/P^{+}, on a

∀g ∈ G_{e}, 𝔰 + Ad g (𝔭^{+}) = 𝔤 où 𝔭^{+} = Lie (P^{+})

donc

(∗)  𝔭′ + Ad g (𝔭^{+}) = 𝔤

Quitte à bien choisir g, on peut supposer que 𝔭′ et Ad g (𝔭^{+}) contiennent une même sous-algèbre parabolique minimale 𝔭^{min}. Soit 𝔞_{0} ⊂ 𝔭^{min} un sous-espace de Cartan, Σ = Σ(𝔤, 𝔞_{0}) et Σ^{+} le choix de racines positives correspondant à 𝔭^{min}. Soit α_{max} la plus grande racine de Σ^{+}. La racine −α_{max} n’est ni un poids de 𝔭′, ni un poids de (Ad g)(𝔭). Ce qui contredit l’égalité (∗)

6.1.4. Il est facile maintenant de conclure :

Démonstration de la proposition 1.3.2. Il résulte des lemmes 6.1.1 et 6.1.3 que le groupe \overline{Ad (Γ)} est réductif dans Ad (G_{e}). Or l’ensemble des éléments non semisimples d’un tel groupe n’est pas Zariski-dense dans celui-ci ([Wa] th. 1.4.1.7 et 1.4.3). Donc Ad Γ \ {1} contient des éléments semisimples.

Remarque. Il peut exister des sous-groupes réductifs G′ de G, autres que G qui agissent transitivement sur G/P^{+} et même sur G/H. Exemple : G = SL(2n, R) ⊃ H = SL(2n − 1, R) et G′ = Sp(n, R); dans ce cas

G/H = {(v, F) | v ∈ R^{n} \ {0} et F est un hyperplan de R^{n} ne contenant pas v} 6.2. Les paraboliques maximaux avec F̃^{+} non compact

Les résultats de cette partie sont de nature générale, mais nous évitons d’introduire de nouvelles notations.

6.2.1. Lemme. Soient 𝔤 une algèbre de Lie simple réelle, 𝔭^{+} = 𝔪 ⊕ 𝔞 ⊕ 𝔫^{+} la décomposition de Langlands d’une sous-algèbre parabolique maximale 𝔭^{+}, X_{0} une base de 𝔞 et, ∀i ∈ R, 𝔤_{i} := {Y ∈ 𝔤 | [X_{0}, Y] = iY }. Alors

a) ∃i_{0} ≠ 0 et l ∈ {1, 2, …, 6} tel que

𝔤_{i} ≠ 0 ⟺ i = ki_{0}

avec k ∈ {−l, −l + 1, …, l − 1, l}. On suppose désormais que i_{0} = 1.

b) On a [𝔤_{1}, 𝔤_{i}] = 𝔤_{i+1} et [𝔤_{−1}𝔤_{i}] = 𝔤_{i−1}, ∀i ∈ {−l, …, l}.

c) Si 𝔤 est de type hermitienne (i.e. si l’ensemble des points fixes d’une involution de Cartan de 𝔤 a un centre non trivial) alors l = 1 ou 2.

Démonstration.

a) Reprenons les notations de 5.5.3. Comme 𝔭^{+} est maximale, il existe une unique racine simple α^{+} de Σ^{+} telle que α^{+}(X_{0}) = i_{0} ≠ 0. On peut supposer que i_{0} = 1. Soient Π l’ensemble des racines simples de Σ^{+} et α_{max} la plus grande racine de Σ^{+}; écrivons α_{max} = ∑_{α∈Π} a_{α}.α. Soit l = a_{α^{+}}; il résulte de la liste des systèmes de racines que l ≤ 6 ([Bo1]).

Pour montrer a), il suffit de voir que la sous-algèbre 𝔫^{+} = ⊕_{i>0}𝔤_{i} est engendrée par 𝔤_{1}. Soient 𝔫^{′±} la sous-algèbre de 𝔤 engendrée par 𝔤_{±1} et 𝔤′ = 𝔫^{′+} ⊕ 𝔤_{0} ⊕ 𝔫^{′−}. On vérifie que 𝔤′ est une sous-algèbre de Lie de 𝔤. Or elle contient les sous-espaces de poids ±α, ∀α ∈ Π. Donc 𝔤′ = 𝔤 et 𝔫^{′+} = 𝔫^{+}.

b) Soit U l’algèbre enveloppante de 𝔤 munie de la graduation U = ⊕_{i∈Z}U_{i} où U_{i} = {u ∈ U | adX_{0}(u) = iu}. Puisque 𝔤_{1} engendre 𝔫, on a l’égalité U_{1} = 𝔤_{1}.U_{0}.

Comme 𝔤 est un 𝔤-module simple pour l’action adjointe, on a l’égalité, ∀i ∈ {−l, …, l} 𝔤 = ad(U).𝔤_{i}. Donc 𝔤_{i+1} = ad(U_{1}).𝔤_{i} = ad𝔤_{1} (ad(U_{0}).𝔤_{i}) = [𝔤_{1}, 𝔤_{i}]. On montrerait de même que 𝔤_{i−1} = [𝔤_{−1}, 𝔤_{i}].

c) Pour les algèbres de Lie de type hermitien, le diagrame de Dynkin du système de racines restreintes est de type classique ([He] p. 518 et p. 532–534). Dans ce cas, ∀α ∈ Π, on a a_{α} ≤ 2 ([Bo1]); donc l ≤ 2

6.2.2. Lemme. (Avec les notations du lemme 6.2.1). Soient G_{e} un groupe connexe d’algèbre de Lie 𝔤, P^{+} le sous-groupe parabolique d’algèbre de Lie 𝔭^{+}, F^{+} := G_{e}/P^{+} et F̃^{+} le revêtement universel de F^{+}. Si F̃^{+} est non compact alors 𝔫^{+} = 𝔤_{1} (i.e. l = 1).

Démonstration. Soient θ une involution de Cartan de 𝔤 telle que θ(X_{0}) = −X_{0}, 𝔨 = {Z ∈ 𝔤 | θ(Z) = Z}, K le sous-groupe connexe de G_{e} d’algèbre de Lie 𝔨 et L = K ∩P_{e} = K ∩ H. On a l’égalité G_{e}/P_{e}^{+} = K/L. Donc si G_{e}/P_{e}^{+} n’est pas compact, K non plus et 𝔨 a un centre non nul 𝔷 ([He] ch. II th. 6.9). On a dim 𝔷 = 1 car 𝔤 est simple ([He] ch. VIII §6).

Ecrivons 𝔨 = [𝔨, 𝔨] ⊕ 𝔷. Soit 𝔩 = 𝔤_{0} ∩ 𝔨 l’algèbre de Lie de L. Comme le sousgroupe connexe d’algèbre de Lie [𝔨, 𝔨] est compact, la non-compacité de K/L implique l’inclusion 𝔩 ⊂ [𝔨, 𝔨].

D’après le lemme 6.2.1 c), on a l = 1 ou l = 2. Montrons que l = 1 : supposons, par l’absurde, que l = 2.

Soit 𝔨_{[i]} = (1 + θ)(𝔤_{i}). On a 𝔨 = 𝔨_{[0]} ⊕ 𝔨_{[1]} ⊕ 𝔨_{[2]} et 𝔨_{[0]} = 𝔩 ⊂ [𝔨, 𝔨]. Soient X_{1} et X′_{1} dans 𝔤_{1}; on a

(1 + θ)[X_{1}, X′_{1}] = [(1 + θ)X_{1}, (1 + θ)X′_{1}] − (1 + θ)[X_{1}, θX′_{1}] ∈ [𝔨, 𝔨] + 𝔨_{[0]} = [𝔨, 𝔨] ;

d’où 𝔨_{[2]} = (1 + θ)([𝔤_{1}, 𝔤_{1}]) ⊂ [𝔨, 𝔨] (lemme 6.2.1 b))

De même, soient X_{−1} ∈ 𝔤_{−1} et X_{2} ∈ 𝔤_{2}: on a

(1 + θ)[X_{−1}, X_{2}] = [(1 + θ)X_{−1}, (1 + θ)X_{2}] ∈ [𝔨, 𝔨] (car 𝔤_{±3} = 0);

d’où 𝔨_{[1]} = (1 + θ)([𝔤_{−1}, 𝔤_{2}]) ⊂ [𝔨, 𝔨] (lemme 6.2.1 b)).

Finalement on a 𝔨 = [𝔨, 𝔨]. Contradiction. Donc l = 1

Remarque. La même raisonnement prouve que, réciproquement, si l = 1 alors 𝔩 ⊂ [𝔨, 𝔨] (et donc que, si en outre 𝔤 est de type hermitien, l’espace F̃^{+} est non compact). En effet, soient X_{−1} ∈ 𝔤_{−1} et X_{1} ∈ 𝔤_{1}; on a

(1 + θ)[X_{−1}, X_{1}] = [(1 + θ)X_{−1}, (1 + θ)X_{1}] ∈ [𝔨, 𝔨] car 𝔤_{±2} = 0

d’où 𝔩 = (1 + θ)([𝔤_{−1}, 𝔤_{1}]) ⊂ [𝔨, 𝔨].

6.2.3. Corollaire. (Avec les mêmes notations). Si F̃^{+} est non compact, alors la sous-algèbre parabolique maximale 𝔭^{+} est caractérisée par sa partie semisimple 𝔥 et, avec les notations de ([He] p. 518), le couple (𝔤, 𝔥) fait partie de la liste:

1) a) (𝔰𝔭(n, R), 𝔰𝔩(n, R))  n ≥ 3
b) (𝔰𝔲(n, n), 𝔰𝔩(n, C))  n ≥ 2
c) (𝔰𝔬^{∗}(4n), 𝔰𝔲^{∗}(2n))  n ≥ 3
2) (𝔰𝔬(2, n), 𝔰𝔬(1, n − 1)) n = 1 ou n ≥ 3
3) (𝔢_{7(−25)}, 𝔢_{6(−26)})

Remarque. Réciproquement, pour tous les couples de cette liste, F̃^{+} est non compact.

Démonstration. Reprenons les notations de 6.1.1. L’algèbre de Lie simple 𝔤 est de type hermitien. La liste de ces algèbres est donnée dans ([He] p. 518 et p. 532–534). On calcule, pour chacune de celles-ci, la plus grande racine restreinte α_{max} = ∑_{α∈Π} a_{α}.α, et on détermine les racines simples α ∈ Π pour lesquelles a_{α} = 1 : on en trouve au plus une. On calcule alors 𝔥 à l’aide du diagramme de Satake de 𝔤 auquel on a enlevé le point blanc correspondant à α^{+} Remarque culturelle. Cette liste est en bijection naturelle avec la liste des

– domaines symétriques hermitiens de type tube,

– algèbres de Jordan euclidiennes simples,

– cones homogènes autoduaux irréductibles. En outre, l’espace homogène G_{e}/P^{+} est la frontière de Shilov du domaine symétrique (cf. [Sa] p. 37).

6.3. Semisimplicité de l’application premier retour lorsque F̃^{+} est non compact

6.3.1. Proposition. Si F̃^{+} n’est pas compact, alors tout élément g non semisimple de G_{0} a au moins trois points fixes dans F^{+}.

Remarque. Si F̃^{+} est compact, il peut exister des éléments non semisimples de G_{0} ayant un seul point fixe dans F^{+} : prendre (𝔤, 𝔥) = (𝔰𝔩(n, R), 𝔰𝔩(n−1, R)) avec n = 2k+1 et k ≥ 2; dans ce cas G_{0} ≈ GL^{+}(n − 1, R) agit sur F^{+} = P (R^{n}) l’ensemble des droites de R^{n}.

Démonstration. Cela résulte du corollaire 6.2.3 et d’une étude cas par cas qui est menée dans les trois paragraphes suivants

6.3.2. La variété des lagrangiens. On suppose que l’on est dans le cas 1) du corollaire 6.2.3.

Soient F = R, C ou H et z → \overline{z} la conjugaison de F (pour F = R il s’agit de l’identité). On pose ε = −1 lorsque F = R ou H, et ε = 1 lorsque F = C.

Soit V un F-espace vectoriel à gauche de dimension n ≥ 1 et V^{∗} son dual. ∀v ∈ V, f ∈ V^{∗}, on note ⟨v, f⟩ l’image de v par f. On munit V^{∗} de la structure de F-espace vectoriel à gauche donnée par, ∀v ∈ V, ∀f ∈ V^{∗}, λ ∈ F, ⟨v, λf⟩ = ⟨v, f⟩ \overline{λ}. Pour B dans End_{F}(V), on définit B^{∗} ∈ End_{F}(V^{∗}) par ⟨v, B^{∗}f⟩ = ⟨Bv, f⟩.

Soit W = V ⊕ V^{∗} que l’on munit de la forme sesquilinéaire ε-symétrique ψ : W × W → F (i.e. vérifiant ∀λ_{1}, λ_{2} ∈ F, w_{1}, w_{2}, w ∈ W ψ(λ_{1}w_{1} + λ_{2}w_{2}, w) = λ_{1}ψ(w_{1}, w) + λ_{2}ψ(w_{2}, w) et ψ(w_{2}, w_{1}) = ε\overline{ψ(w_{1}, w_{2})}) déterminée par ψ_{V ×V} = ψ_{V^{∗}×V^{∗}} = 0 et ψ(v, f) = ⟨v, f⟩.

On a (cf. [He] p. 446)

𝔤 = {A ∈ End_{F}(W) | ∀w_{1}, w_{2} ∈ W ψ(Aw_{1}, w_{2}) + ψ(w_{1}, Aw_{2}) = 0}
𝔭^{+} = {A ∈ 𝔤 | A(V) ⊂ V }
𝔤_{0} = \{A ∈ 𝔤 | A(V) ⊂ V et A(V^{∗}) ⊂ V^{∗}\} = \{( \begin{matrix}B & 0 \\ 0 & −B^{∗} \end{matrix} ) | B ∈ End_{F}(V)\}

Donc G_{0} ≈ (GL_{F}(V))_{e} et

F^{+} ≃ L :={V′ sous-espace vectoriel lagrangien de (W, ψ)}
={V′ ⊂ W tel que ψ_{V′×V′} = 0 et 2dim V′ = dim W }

En outre, l’action de G_{0} sur L factorise à travers l’action naturelle de GL_{F}(V)/{±Id}.

La proposition 6.3.1 est donc, dans ce cas, une conséquence du lemme élémentaire suivant :

Lemme. Tout élément b non semisimple de GL_{F}(V) a au moins trois points fixes dans la variété L des lagrangiens de V ⊕ V^{∗}.

Démonstration. Les sous-espaces V_{1} = V et V_{2} = V^{∗} sont deux éléments de L fixés par b; construisons-en un troisième : soit b_{n} la partie unipotente de la décomposition de Jordan de b, on a b_{n} ∈ GL_{F}(V); le sous-espace U = Ker (b_{n} − Id) est invariant par b et vérifie 0 ⊆_{/} U ⊆_{/} V. Soit U^{⊥} = {f ∈ V^{∗} | ∀v ∈ U, ⟨v, f⟩ = 0}; alors V_{3} = U ⊕ U^{⊥} est un élément de L fixé par b

6.3.3. La variété des droites isotropes. On suppose que l’on est dans le cas 2) du corollaire 6.2.3.

Soit W = R^{2+n} muni de la forme bilinéaire symétrique ψ telle que

∀w = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n+2}) ∈ W ψ(w, w) = x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4} + x_{5}^{2} + … + x_{n+2}^{2}

Soient Δ et Δ′ les droites Δ = R.(1, 0, …, 0) et Δ′ = R.(0, 1, 0, …, 0), W_{0} = {w = (x_{1}, …, x_{n+2}) | x_{1} = x_{2} = 0} et ψ_{0} = ψ_{W_{0}×W_{0}}.

On a :

𝔤 = 𝔰𝔬(ψ) = {A ∈ End_{F}(W) | ∀w_{1}, w_{2} ∈ W ψ(Aw_{1}, w_{2}) + ψ(w_{1}, Aw_{2}) = 0}
𝔭^{+} = {A ∈ 𝔤 | A(Δ) ⊂ Δ}
𝔤_{0} = {A ∈ 𝔤 | A(Δ) ⊂ Δ et A(Δ′) ⊂ Δ′}

= \{( \begin{matrix}( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & −λ \end{matrix} ) & 0 \\ 0 & (B) \end{matrix} ) | λ ∈ R, B ∈ 𝔰𝔬(ψ_{0})\}

Donc G_{0} ≈ R_{+}^{∗} × SO_{e}(1, n − 1) et

F^{+} ≃ I :={Δ droite isotrope de W }
={Δ ⊂ W tel que ψ_{Δ×Δ} = 0 et dim Δ = 1}

En outre, l’action de G_{0} sur I factorise à travers l’action naturelle de R_{+}^{∗} ×

SO_{e}(1, n − 1) = \{( \begin{matrix}( \begin{matrix}α & 0 \\ 0 & 1/α \end{matrix} ) & 0 \\ 0 & (b) \end{matrix} ) | α ∈ R_{+}^{∗}, b ∈ SO_{e}(ψ_{0})\}. Donc tout élément a

de G_{0} a au moins deux points fixes dans I : D_{1} = Δ et D_{2} = Δ′. Lorsque a n’est pas semisimple, on en construit un troisième grâce au lemme élémentaire suivant :

Lemme. Soit b un élément non semisimple de SO(1, m), alors il existe une droite isotrope de R^{1+m} invariante par b.

Démonstration. Soit b_{n} ∈ SO(1, m) la partie unipotente de la décomposition de Jordan de b, N = Log (b_{n}) ∈ 𝔰𝔬(1, m) et l le plus grand entier tel que N^{l} ≠ 0. Le sous-espace D_{3} = Im (N^{l}) est isotrope et invariant par b. C’est forcément une droite

6.3.4. Le cas exceptionnel. On suppose que l’on est dans le cas 3) du corollaire 6.2.3.

Dans ce cas on a un résultat un peu plus précis :

Lemme. Si (𝔤, 𝔥) = (𝔢_{7(−25)}, 𝔢_{6(−26)}), alors tout élément g de G_{0} a au moins trois points fixes dans F^{+}.

Remarque. Voici les propriétés particulières à ce couple (𝔤, 𝔥) que nous utiliserons : a) rg_{R}(𝔤) ≥ 2

b) 𝔤_{0} a une seule classe de conjugaison de sous-algèbre de Cartan

c) Les sous-algèbres 𝔭^{+} et 𝔭^{−} sont conjuguées sous Ad (G). En effet, il résulte de ([He] p. 518) que rg_{R}(𝔤) = 3 et que le rang complexe de G_{0} est la somme de son rang réel et du rang complexe de son compact maximal (7 = 3 + 4) et, de ([He] p. 534), que le groupe de Weyl du système de racines restreintes de 𝔤 contient −Id. Ceci prouve a) b) et c).

Démonstration. On veut trouver trois points fixes de g dans F^{+}, c’est-à dire trois sousalgèbres paraboliques conjuguées à 𝔭 qui sont normalisées par g. Grâce à c), on en trouve facilement deux : 𝔭_{1} = 𝔭^{+} et 𝔭_{2} = 𝔭^{−}; elles sont, en fait, normalisées par G_{0} tout entier.

Pour en construire une troisième, reprenons les notations de 5.5.3.

Soit θ une involution de Cartan de 𝔤 telle que θ(𝔞_{0}) = 𝔞_{0}, 𝔨 = {Z ∈ 𝔤 | θ(Z) = Z}, 𝔩 = 𝔤_{0} ∩ 𝔨, K le sous-groupe connexe d’algèbre de Lie 𝔨 et L = G_{0} ∩ K; le groupe L est compact. Soient Σ𝔭^{+}^{+} = Σ^{+} ∩ Σ𝔭^{+}, Π l’ensemble des racines simples de Σ^{+}, α^{+} la

racine de Π qui n’est pas dans Σ𝔭^{+}^{+} et s^{+} ∈ W la symétrie définie par α^{+}.

Pour α dans Σ, on note 𝔤^{α} = {Z ∈ 𝔤 | ∀Y ∈ 𝔞_{0}, [Y, Z] = α(Y)Z}. Soient

𝔷_{𝔩}(𝔞_{0}) = {Z ∈ 𝔩 | ∀Y ∈ 𝔞_{0}, [Y, Z] = 0}, 𝔫_{0} = ⊕_{α∈Σ𝔭^{+}^{+}} 𝔤^{α}, Z_{L}(𝔞_{0}) = {x ∈ L | ∀Y ∈

𝔞_{0}, Ad (x)(Y) = Y } et N_{0} = exp (𝔫_{0}). Soient 𝔭_{0}^{min} la sous-algèbre parabolique minimale de 𝔤_{0} associée à Σ𝔭^{+}^{+} et P_{0}^{min} le sous-groupe parabolique correspondant : on a 𝔭_{0}^{min} = 𝔷_{𝔩}(𝔞_{0}) ⊕ 𝔞_{0} ⊕ 𝔫_{0} et P_{0}^{min} = Z_{L}(𝔞_{0}).A_{0}.N_{0}.

Montrons que g est conjugué à un élément de P_{0}^{min} : d’après b), les groupes compacts L et Z_{L}(𝔞_{0}) ont même rang complexe; donc la caractéristique d’Euler de la variété G_{0}/P_{0}^{min} = L/Z_{L}(𝔞_{0}) est non nulle ([GHV.] ch. XI th. VII). Le théorème de Lefschetz prouve alors que l’action de g sur G_{0}/P_{0}^{min} a un point fixe, c’est-à dire que g est conjugué dans G_{0} à un élément de P_{0}^{min}.

On peut donc supposer que g ∈ P_{0}^{min}. Soit 𝔭_{3} = Ad (s̃^{+})(𝔭^{+}). Montrons que 𝔭_{3} est normalisé par P_{0}^{min} (et donc par g); il suffit de voir que 𝔭_{0}^{min} ⊂ 𝔭_{3}; or ceci est une conséquence de l’inclusion Σ𝔭^{+}^{+} ⊂ Σ^{+} \ {α^{+}, 2α^{+}} = s^{+} (Σ^{+} \ {α^{+}, 2α^{+}}) ⊂ s^{+} (Σ^{+}). Finalement, on remarque que 𝔭_{3} ≠ 𝔭_{1} et, d’après a), 𝔭_{3} ≠ 𝔭_{2}

6.3.5. Démonstration de la proposition 1.3.3. Cela résulte de 5.3 et 6.3.1.

Démonstration de la proposition 1.3. Si F̃^{+} est compact, les propositions 1.3.1 et 1.3.2 prouvent que r = 1.

Si F̃^{+} est non compact. On choisit un élément γ de Γ\{1} qui a un point fixe dans O, i.e. qui est conjugué à un élément de G_{0} (l’existence d’orbites périodiques pour le flot φ_{t} ([A] théorème 3) implique l’existence d’un tel élément γ). Comme G_{0} ∩ Z = {1} (5.2.2 a)), on a γ ∈ Γ \ Z_{Γ}. Les propositions 1.3.1 et 1.3.3 prouvent alors que r = 1

7. Conclusion

7.0. Le but de ce chapitre est d’achever les démonstrations des théorèmes 1 et 2 de l’introduction.

On donne tout d’abord une nouvelle présentation de l’exemple fondamental (7.1) et une nouvelle formulation du théorème 1 (7.2). Les principales propriétés de l’exemple fondamental sont démontrées en 7.3. Le théorème 1 est démontré en 7.4 et le théorème 2 en 7.5.

7.1. L’exemple fondamental

7.1.1. A des revêtements finis près et après reparamétrage, il s’agit du flot géodésique sur un espace localement symétrique riemannien à courbure strictement négative (ELSRCSN) compact. Plus précisément :

Choisissons S̃ un ELSRCSN simplement connexe de dimension n ≥ 2. Soit Ṽ = VS̃ = {v ∈ T S̃ | ∥v∥ = 1} le fibré unitaire tangent à S̃ et G = Is(S̃) le groupe des isomé-

tries de S̃; sauf pour n = 2 où Ṽ = S̃L(2, R) (resp G = S̃L^{±}(2, R)) est le revêtement universel de VS̃ (resp. Is(S̃)). Le groupe G agit transitivement sur S̃ et Ṽ. Soit φ_{t} le flot géodésique sur Ṽ (pour n = 2 il s’agit du relevé de ce flot à Ṽ).

Choisissons Γ_{0} un sous-groupe discret de G tel que V_{0} := Γ_{0}\Ṽ est une variété compacte. Soit φ_{t}^{0} le flot sur V_{0} image de φ_{t} et X^{0} le champ de vecteurs associé. A des revêtements finis près, il s’agit du flot géodésique sur un ELSRCSN compact (cf. 7.3.1).

Soit Ω_{V_{0}} l’ouvert convexe symétrique et borné (cf. 7.3.4) de l’espace vectoriel de dimension finie E = Hom (Γ_{0}, R) = H^{1}(V_{0}, R) :

Ω_{V_{0}} := {h_{0} ∈ E | il existe une 1-forme fermée α_{0} représentant h_{0} telle que α_{0}(X^{0}) + 1 > 0 en tout point de V_{0}}

Choisissons h_{0} ∈ Ω_{V_{0}}. Soit Γ_{1} le sous-groupe de G′ := G × R : Γ_{1} := {(γ_{0}, h_{0}(γ_{0})) | γ_{0} ∈ Γ_{0}}. Le groupe G′ agit transitivement sur Ṽ par : ∀(g, t) ∈ G′, ṽ ∈ Ṽ

(g, t).ṽ = φ̃_{t}(g.ṽ)

7.1.2. Le lemme suivant se démontre comme la proposition 1.2.3.

Lemme.

a) Le quotient V_{1} := Γ_{1} \ Ṽ est une variété compacte; le flot φ_{t}^{1} image de φ̃_{t} sur V_{1} est d’Anosov; ses distributions stable et instable sont C^{∞} et sa 1-forme canonique est de contact.

b) A reparamétrage près, les flots φ_{t}^{0} et φ_{t}^{1} coïncident : c’est-à dire qu’il existe un difféomorphisme C^{∞} ψ de V_{0} sur V_{1} et une fonction C^{∞} strictement positive k_{0} sur V_{0} tels que ψ_{∗}(k_{0}.X^{0}) = X^{1} est le champ de vecteurs associé au flot φ_{t}^{1}.

Le flot φ_{t}^{1} sur V_{1} sera appelé flot associé au triplet (S̃, Γ_{0}, h_{0}).

7.2. Classification

Voici une “reformulation” du théorème 1 :

Theorème 1bis. Soit φ_{t} un flot d’Anosov C^{∞} sur une variété compacte V de dimension 2n − 1 tel que

i) les distributions stable et instable sont C^{∞} ii) la 1-forme canonique est de contact.

Alors il existe un triplet (S̃, Γ_{0}, h_{0}) comme en 7.1, tel que le flot φ_{t}^{1} sur V_{1} associé à ce triplet soit C^{∞}-conjugué à φ_{t} : c’est-à dire qu’il existe un difféomorphisme C^{∞} F de V sur V_{1} tel que ∀t ∈ R F ∘ φ_{t} = φ_{t}^{1} ∘ F.

Ce triplet est unique (à isomorphisme près).

7.3. Propriétés de l’exemple fondamental

Nous démontrons dans cette partie diverses propriétés de l’exemple fondamental : nous prenons les notations de 7.1.

7.3.1. Propriétés de φ_{t}^{0}. Si n ≥ 3. Le groupe Γ_{0} est un sous-groupe de type fini ([Ra] th. 6.16) du groupe algébrique G = Is(S̃); il est connu ([Ra] cor. 6.13) qu’alors il existe un sous-groupe d’indice fini Γ′_{0} de Γ_{0} sans torsion. Si n = 2. Le même argument permet de trouver un sous-groupe d’indice fini Γ′′_{0} de Γ_{0}, inclus dans Γ_{e} = S̃L(2, R) et tel que Ad (Γ′′_{0}) est sans torsion. Ce groupe Γ′′_{0} est cocompact dans G_{e}, car 𝔥 = 0. Soit Z le centre de G_{e}. Il est connu qu’alors, Z ∩ Γ′′_{0} est d’indice fini dans Z ([Mo]). Donc Γ′′_{0} est d’indice fini dans le groupe Γ′_{0} := Z.Γ′′_{0} qui est encore discret.

Dans tous les cas, le flot φ_{t}^{0} est, à revêtement fini près, égal au flot géodésique φ_{t}^{′0} sur le fibré unitaire tangent V′_{0} := Γ′_{0} \ Ṽ à un ELSRCSN compact S′_{0} := Γ′_{0} \ S̃. Or le flot φ_{t}^{′0} est d’Anosov ([A]), sa 1-forme canonique est la 1-forme de Liouville et est donc de contact, et les distributions stables et instables sont analytiques car elles se relèvent en des distributions sur VS̃ invariantes par le groupe Is(S̃). Il en est de même du flot φ_{t}^{0}.

7.3.2. Remarques.

1) En général, le quotient Γ_{0} \ S̃ n’est pas une variété. Exemple : soient θ ∈ Is(S̃) la symétrie par rapport à un point s̃_{0} de S̃, Γ′_{0} un sous-groupe discret sans torsion cocompact de Is(S̃) tel que θΓ′_{0}θ^{−1} = Γ′_{0} (ça existe) et Γ_{0} := Γ′_{0} ∪ θΓ′_{0}; le quotient V_{0} := Γ_{0} \ VS̃ est une variété mais pas Γ_{0} \ S̃.

2) Dans cet exemple, l’élément θ ∈ Γ_{0} a pour image dans H_{1}(V_{0}, Z) = Γ_{0}/[Γ_{0}, Γ_{0}] un élément \overline{θ} tel que 2\overline{θ} = 0. Il n’existe donc pas d’orbite périodique du flot φ_{t}^{0} qui représente \overline{θ} (Dans le cas du flot géodésique sur un ELSRCSN compact, tout élément de H_{1}(V_{0}, Z) est représenté par une orbite périodique).

3) Pour n ≥ 3, on a vu que (φ_{t}^{0}, V_{0}) admet un revêtement fini qui s’identifie au flot géodésique sur un ELSRCSN compact. Ce n’est plus le cas pour n = 2 : soient Γ un sous-groupe discret cocompact sans torsion de SL(2, R) (ça existe car SL(2, R) est algébrique) et V_{0} = Γ \ SL(2, R); dans ce cas c’est (φ_{t}^{0}, V_{0}) qui est le revêtement fini d’un flot géodésique sur une surface de Riemann compacte.

7.3.3. Soient G′ le groupe des difféomorphismes de Ṽ qui préservent X̃ et Ẽ^{±}, et G := {g ∈ G′ | χ(g) = ±1} (cf. 3.3.3).

Lemme. G = Is(S̃) (sauf pour n = 2 où G est le revêtement universel de Is(S̃)).

Démonstration. Supposons n ≥ 3 (le cas n = 2 se traite de même). Le groupe I := Is(S̃) agit sur Ṽ : c’est un sous-groupe de G. Remarquons que I et G sont des groupes semisimples, que I agit transitivement sur Ṽ = G/H et que H est compact (car rg_{R}(G) = 1); on en déduit que Lie (I) = Lie (G).

Soit g ∈ G, montrons que g ∈ I. Comme I agit transitivement sur Ṽ, on peut supposer que g stabilise le point base ṽ_{0} de Ṽ. Soit φ = Ad (g) ∈ Aut (𝔤). Il est connu que Aut (𝔤) ≃ Is(S̃), on peut donc supposer que φ = Id; ce qui signifie que le 1-jet de g en v_{0} est celui de l’identité et donc que g = 1 (cf. 2.1.2). Donc G = Is(S̃)

7.3.4. Donnons quelques propriétés de l’ouvert Ω_{V_{0}} “de reparamétrage” introduit en 7.1.1.

Lemme. Ω_{V_{0}} est un voisinage ouvert convexe symétrique et borné de 0.

Démonstration. Il est clair que Ω_{V_{0}} est un voisinage ouvert convexe de 0. Construisons un difféomorphisme σ_{0} de V_{0} tel que :

\begin{aligned}σ_{0∗}(X^{0}) & = −X^{0} et \\ σ_{0}^{∗}(h) & = h ∀h ∈ H^{1}(V_{0}, R) \end{aligned}  (∗)

On définit le difféomorphisme σ̃_{0} de VS̃ par σ̃_{0}(ṽ) = −ṽ (sauf pour n = 2 où σ̃_{0} est un relevé à Ṽ de ce difféomorphisme). On a, ∀g ∈ G, g ∘ σ̃_{0} = σ̃_{0} ∘ g. Donc σ̃_{0} passe au quotient en un difféomorphisme σ_{0} de V_{0} vérifiant (∗).

Montrons que Ω_{V_{0}} est symétrique. Soit h ∈ Ω_{V_{0}}. Il existe une 1-forme fermée α_{0} qui représente h telle que α_{0}(X^{0}) + 1 > 0. La 1-forme fermée α′_{0} = −σ_{0}^{∗}(α_{0}) représente −h et vérifie α′_{0}(X^{0}) + 1 > 0. Donc −h ∈ Ω_{V_{0}}.

Montrons que Ω_{V_{0}} est borné. Il suffit de voir que 0 est le seul élément de Ω_{V_{0}} qui vérifie, ∀t ≥ 0, th ∈ Ω_{V_{0}}. Soit h un tel élément.

Soit c une orbite périodique du flot φ_{t}^{0} de période T_{0}, on a, ∀t ≥ 0, t∫_{c} h > −T_{0},

donc ∫_{c} h ≥ 0; comme Ω_{V_{0}} est symétrique, on en déduit que ∫_{c} h = 0. Il n’est pas très

restrictif de supposer que φ_{t}^{0} est le flot géodésique sur un ELSRCSN compact S_{0} (cf. 7.3.1). Dans ce cas, tout élément \overline{c} de H_{1}(V_{0}, Z) = H_{1}(S_{0}, Z) est représenté par une orbite périodique c, donc ⟨h, \overline{c}⟩ = 0 puis h = 0

7.3.5. Lorsque n ≥ 3, Γ_{0} ⊂ G_{e} et h_{0} ≠ 0, l’espace localement homogène V est un exemple intéressant : on a V = Γ\G′_{e}/H′_{e} avec Γ Zariski-dense dans G′_{e} ( ≈ Aut (𝔤)_{e}×R) et H′_{e} est non-compact !

7.4. Démonstration du théorème 1 bis

Le but de cette partie est de démontrer le théorème 1 bis dont nous prenons les notations (cf. 7.2).

7.4.1. Il résulte des propositions de 1 qu’il existe un groupe de Lie simplement connexe G_{e} de rang réel un, θ une involution de Cartan de G_{e}, X_{0} un élément de 𝔤 := Lie (G_{e}) vérifiant θ(X_{0}) = −X_{0}, tels que, en notant K_{e} := {g ∈ G_{e} | θ(g) = g}, M := {k ∈ K_{e} | Ad k(X_{0}) = X_{0}} et M_{e} la composante connexe de M, le revêtement universel Ṽ de V s’identifie à G_{e}/M_{e} et le flot φ̃_{t} est donné par φ̃_{t}(gM_{e}) = g e^{−X_{0}t}M_{e}. Soit S̃ := G_{e}/K_{e}; c’est un ELSRCSN simplement connexe pour toute métrique G_{e}-invariante. On fixe cette métrique de sorte que X_{0}, considéré comme un élément de T_{K_{e}}(S̃) ≃ {Y ∈ 𝔤 | θ(Y) = −Y }, soit de norme 1. La variété Ṽ s’identifie alors à VS̃ := {v ∈ T S̃ | ∥v∥ = 1} et φ̃_{t} au flot géodésique sur VS̃ (sauf pour n = 2 où Ṽ est le revêtement universel de VS̃ et φ̃_{t} le relevé à Ṽ du flot géodésique).

7.4.2. Soit G = Is(S̃) (sauf pour n = 2 où G est le revêtement universel de Is(S̃)). Les lemmes 4.4 et 7.3.3 prouvent qu’il existe un sous-groupe discret Γ_{0} de G tel que le quotient V_{0} := Γ_{0} \ Ṽ soit une variété compacte, et un élément h_{0} dans Ω_{V_{0}} tel que le π_{1} de V soit égal au sous-groupe Γ = {(γ_{0}, h_{0}(γ_{0})) | γ_{0} ∈ Γ_{0}} du groupe G′ ≃ G × R. Ceci prouve l’assertion d’existence dans le théorème 1bis.

7.4.3. Démontrons l’unicité du triplet (S̃, Γ_{0}, h_{0}); soit (S̃^{bis}, Γ_{0}^{bis}, h_{0}^{bis}) un autre triplet. Le lemme 7.3 prouve que Is(S̃) = Is(S̃^{bis}), l’égalité X_{0} = Xsevenrm bis_{0} prouve alors que S̃ et S̃^{bis} sont isométriques. Il est facile de voir qu’alors Γ_{0} = Γ_{0}^{bis} et h_{0} = h_{0}^{bis}. Ceci termine la démonstration du théorème 1.

7.5. Le cas riemannien

Le but de cette partie est de montrer le théorème 2 dont nous prenons les notations.

7.5.1. Soit σ le difféomorphisme de V_{N} donné par σ(v) = −v. La 1-forme canonique λ du flot φ_{t}^{N} est égale à la 1-forme de Liouville : remarquer que la 1-forme de Liouville est invariante par le flot et donc nulle sur E^{+} et E^{−}. Son noyau Ker λ est une distribution C^{∞}, par hypothèse il en est de même des distributions stable E^{−} = (E^{0}⊕E^{−})∩Ker λ et instable E^{+} = σ(E^{−}). En outre λ est une 1-forme de contact. On peut donc appliquer le théorème 1 : il existe un triplet (S̃, Γ_{0}, h_{0}) … Il suffit de voir, pour conclure, que h_{0} = 0, que Ad (Γ_{0}) est sans torsion et que, pour n = 2, Γ_{0} contient le centre Z de G_{e}. C’est ce qu’affirment les trois lemmes suivants :

7.5.2. Lemme. On a h_{0} = 0.

Démonstration. Soit Ñ le revêtement universel de N et σ̃ le difféomorphisme de Ṽ = VÑ donné par σ̃(ṽ) = −ṽ (sauf pour n = 2 où Ṽ est le revêtement universel de VÑ et σ̃ le relevé à Ṽ de ce difféomorphisme). Par construction, on a, ∀γ ∈ Γ = π_{1}(V_{N}), γ ∘ σ̃ = σ̃ ∘ γ. On en déduit que σ agit trivialement sur H_{1}(V_{N}, R). En particulier, soit h ∈ H^{1}(V_{N}, R) comme en 4.4.1, on a σ^{∗}(h) = h. D’autre part l’égalité σ ∘ φ_{t}^{N} = φ_{−t}^{N} ∘ σ prouve que σ^{∗}(h) = −h. Donc h = 0 et h_{0} = 0

7.5.3. Lemme. Si n ≥ 3, Γ_{0} est sans torsion.

Démonstration. En effet Γ_{0} = π_{1}(N) et N est à courbure négative.

7.5.4. Supposons que n = 2. Soit Z′ = π_{1}(VÑ) : c’est un sous-groupe de Γ_{0} et donc

un sous-groupe de G = S̃L^{±}(2, R). Soit Z le centre de G_{e} = S̃L(2, R).

Lemme.

a) On a Z = Z′

b) Γ_{0}/Z est sans torsion.

Démonstration. Choisissons une orientation pour le fibré Ẽ^{+}; ceci définit une orientation pour la fibre de la submersion Ṽ → Ñ (travailler modulo Ẽ^{0} ⊕ Ẽ^{−}). Γ_{0} ∩ G_{e} est donc le sous-groupe des éléments de Γ_{0} qui préservent l’orientation de cette fibre. Par suite Z′ est dans le centre de Γ_{0} ∩G_{e}. Or Ad (Γ_{0} ∩G_{e}) est Zariski-dense dans PSL(2, R) donc Z′ ⊂ Z .

Soient F̃^{+} = G_{e}/P_{e}^{+} et F^{+} = G_{e}/P^{+} comme en 4.5. L’espace F + ; Ñ := G_{e}/Z′P_{e}^{+} est l’espace des directions vers −∞ des géodésiques de Ñ. Donc tout élément non trivial de π_{1}(N) = Γ_{0}/Z′ agit sur F + ; Ñ avec un unique point fixe attracteur et un unique point fixe répulsif. On en déduit que le revêtement F + ; Ñ → F^{+} est un difféomorphisme (car l’action de γ passe au quotient sur F^{+}) donc Z = Z′ et Γ_{0}/Z est sans torsion

7.5.5. Remarque. Dans le cas particulier des flots géodésiques, on peut simplifier la démonstration du théorème 1. En effet, dans ce cas, F^{+} est difféomorphe à la sphère S^{n−1} (raisonner comme en 7.5.4). On peut donc remplacer les chapitres 5 et 6 par le lemme suivant :

Lemme. Soient G_{e} un groupe de Lie simple connexe et P^{+} un sous-groupe parabolique. Alors G_{e}/P^{+} est difféomorphe à une sphère si et seulement si G_{e} est de rang réel un.

Démonstration. (omise) Cela résulte d’une étude cas par cas, à l’aide de la classification de Borel-Montgomery-Samelson des actions transitives de groupes de Lie compacts sur une sphère.

On peut éviter de passer par cette liste en démontrant à l’aide de 5.2.2 que P^{−} a exactement deux orbites sur F^{+} et que ceci montre que G est de rang un (5.5.4)

Références

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