Existence d’applications harmoniques tordues à valeurs dans les variétés à courbure négative.

François LABOURIE

Ce papier fait suite à une suite d’articles ([D],[C]), étudiant les applications harmoniques tordues. Le problème est le suivant:

On se donne une variété N, dont le revêtement universel est N̄, une variété M simplement connexe à courbure négative ou nulle, et une représentation ρ de π_{1}(N) dans le groupe des isométries de M. Une application tordue par ρ est alors une application de N̄ dans M ρ-équivariante, ce qui peut s’interpréter comme une section du M-fibré plat de base N et associé naturellement à ρ. Il s’agit maintenant d’obtenir une condition sur Im(ρ) permettant d’assurer l’existence d’une application harmonique tordue par ρ. Par exemple, Im(ρ) cocompact suffit selon les résultats célèbres de Eells et Sampson [E.S].

Le résultat principal de Corlette répond à cette question dans le cas où M est un espace riemannien symétrique de type non compact:

Théorème. (Corlette) Il existe une application harmonique tordue par ρ à valeur dans G/K si et seulement si Im(ρ) est un sous-groupe réductif de G.

Corlette utilise ce résultat comme un point de départ de sa théorie de la superrigidité. Dans ce même article, il s’interroge sur une possible généralisation de ce résultat et une démonstration plus reliée à la géométrie des variétés à courbure négative. Nous nous proposons ici d’en donner une extension, modulo une condition sur la cible M, à laquelle on demande d’être sans demies-bandes plates (1.1.). Cette condition, quoique restrictive, est satisfaite par exemple dans le cas des variétés analytiques reélles ou des variétés à courbure strictement négative. Moyennant une définition géométrique de la condition de réductivité (1.3.), nous obtenons la généralisation suivante du théorème de Corlette:

Théorème. Si M est sans demies-bandes plates, il existe une application harmonique tordue par ρ, si et seulement si Im(ρ) est un sous-groupe réductif des isométries de M.

Remarquons, que la condition de réductivité reste suffisante si l’on supprime l’hypothèse ”sans demies-bandes plates” (3.6.).

La démonstration de Corlette repose sur l’étude d’une équation d’évolution sur la connexion induite sur un fibré associé. La nô tre réutilise les résultats de [E.S], et la géométrie des variétés à courbure négative ou nulle (sphère à l’infini, horosphères et flots horosphériques), telle qu’elle est étudiée dans [E.O] et [B.G.S] par exemple.

1 Définitions

Les variétés à courbure négative ou nulle qui nous intéressent sont celles qui satisfont au critère suivant:

1.1 Bandes plates. Une variété simplement connexe à courbure négative ou nulle est dite sans demies-bandes plates, si tout champ de Jacobi, défini le long d’une géodésique, dont la norme est constante pour les temps supérieurs à un temps donné, a une norme constante pour tout temps.

1.2 Remarques.

(i) Cette propriété est la version infinitésimale de la propriété suivante: toute demie-bande plate peut être étendue en une bande plate entière.

(ii) Les variétés à courbure strictement négative, les variétés analytiques réelles et en particulier par les espaces symétriques sont sans demies-bandes plates.

Nous allons finir de donner les définitions nécessaires à l’énoncé de notre résultat en définissant un

1.3 Groupe réductif. Un sous-groupe G du groupe des isométries d’une variété simplement connexe M à courbure négative ou nulle est réductif s’il existe un convexe fermé C de M, fixé globalement par G, tel que

- le convexe C est isométrique à C_{1} × E, où E est euclidien,

- G se décompose en G = G_{1} × G_{2}, G_{1} agissant isométriquement sur C_{1} et G_{2} sur E.

- G_{1} ne fixe pas de point à l’infini de C_{1}.

1.4 Remarques.

(i) Dans le cas où M est analytique réelle, on peut remplacer le mot convexe, par l’expression totalement géodésique et complet (ce qui inclut les points...);

(ii) Dans le cas où M est à courbure strictement négative, un sous-groupe est réductif exactement dans les cas suivants:

- il ne fixe pas de point à l’infini de M,

- il fixe globalement une géodésique.

Autrement dit, dans ce cas, un groupe est non réductif si et seulement si il fixe un unique point à l’infini.

2 Dans un sens.

Dans cette section, nous allons démontrer, en utilisant les notations de l’introduction, que s’il existe une application harmonique f, tordue par ρ, de N̄ dans M, alors G = Im(ρ) est un sous-groupe réductif des isométries de M.

Soit donc p le plus grand entier tel qu’il existe un convexe fermé C de M, fixé globalement par G, vérifiant

- C est isométrique à C_{1} × E où E est euclidien de dimension p, (On identifiera C_{1} à un convexe de M)

- G se décompose en G = G_{1} × G_{2}, G_{1} agissant isométriquement sur C_{1} et G_{2} sur E. Nous voulons montrer que G_{1} ne fixe pas de point à l’infini de C_{1}. Démontrons tout d’abord le

2.1 lemme. Soit π la projection sur le convexe C_{1}, et ρ_{1} la représentation de π_{1}(N) induite par ρ et la projection de G sur G_{1}, alors π ∘ f est une application harmonique de N̄ dans C_{1}, tordue par ρ_{1}

Preuve: Nous allons tout d’abord montrer que si π_{0} est la projection convexe sur C, alors g_{0} = π_{0} ∘ f est harmonique. Remarquons premièrement que, la fonction distance à un convexe étant convexe en courbure négative ([B.G.S]), sa restriction à f(N̄) est contante. Autrement dit f est à valeur dans l’hypersurface S_{t_{0}} bord du convexe

C_{t_{0}} = {m ∈ M/d(m, C) ≤ t_{0}}.

Notons g_{t} = π_{t} ∘ f, ou π_{t} est la projection sur C_{t} et remarquons que ces applications sont toutes tordues par ρ.

Soit u un vecteur tangent à N̄ en x et v_{t} = Dg_{t}(u), par construction v_{t} est un champ de Jacobi le long de la géodésique g_{t}(x).

M étant à courbure négative et la projection sur un convexe étant contractante, nous en déduisons que la norme de v_{t} est convexe et croissante. Par ailleurs, f étant harmonique, nous en déduisons que cette fonction à une dérivée nulle en t = t_{0} et donc qu’elle est constante.

Les vecteurs Dg_{t}(u) sont donc des champ de Jacobi parallèles, ce qui entraîne que le champ, défini le long de la géodésique g_{t}(x), des vecteurs de tension des g_{t} est parallèle et donc constamment nul, puisque f est harmonique.

Dès lors g_{t} est harmonique pour tout t.

Maintenant, il est clair que la projection g = π∘f est harmonique et tordue par ρ_{1}.

Terminons notre preuve en raisonnant par l’absurde. Supposons que G_{1} fixe un point à l’infini sur C_{1} et soit ϕ_{t} le flot géodésique associé à ce point à l’infini. Par construction, il est invariant par G_{1}, et donc les applications g_{t} = ϕ_{t} ∘ g sont tordues par ρ_{1}.

Notons à nouveau v_{t} = Dg_{t}(u), où u est un vecteur tangent à N̄. Comme dans le lemme précedent , v_{t} est un champ de Jacobi dont la norme est une fontion convexe et décroissante. Or à nouveau comme g est harmonique nous en déduisons que la dérivée de cette norme est nulle en t = 0.

Ceci entraîne que cette norme est constante pour tout temps positif, et donc que, M étant sans demies-bandes plates, cette norme est contante pour tout temps.

Dès lors si x et y deux points de N̄, les géodésiques g_{t}(x) et g_{t}(y) sont parallèles. Nous en déduisons que l’ensemble F des géodesiques parallèles à g_{t}(x) est stable par G_{1}. Or d’après [B.G.S], cet ensemble est isométrique à C_{2} × R, où C_{2} est un convexe de M. Par ailleurs G_{1} commute avec les translations sur le facteur euclidien (c’est le flot horocyclique) et tout ceci entraine donc que la décomposition initiale associée à la réduction de G peut se poursuivre et donc que p n’est pas le plus grand entier possible.

Ceci nous fournit notre contradiction.

3 Dans l’autre sens.

Nous allons maintenant démontrer que si Im(ρ) est réductif, il existe une application harmonique tordue par ρ de N̄ dans M.

Ce résultat découlera bien évidemment des deux lemmes suivants, qui tout deux partent de la même idée que celle de la démonstration de Donaldson dans [D].

3.1 Lemme A. Soit C un convexe fermé d’une variété à courbure négative, si Im(ρ) preserve C et ne fixe pas de points à l’infini de C, alors il existe une application harmonique tordue par ρ.

3.2 Lemme B. Si M est plate, alors il existe une application harmonique tordue par ρ.

3.3 Remarque. le point de départ de ces deux lemmes, est l’utilisation, comme dans [E.S] et [D], de l’équation d’évolution:

(∗)  \frac{∂f_{t}}{∂t} = −d_{∇}^{∗}(Df_{t}),

où d_{∇}^{∗} désigne l’adjoint de la dérivation extérieure des 1-formes de N̄ à valeurs dans f^{∗}(T M), associée aux connexions de Levi-Cività de M et N.

Partant d’une application f_{0} de N̄ dans M tordue par ρ (qui existe toujours puisque M est contractile), Donaldson remarque que la méthode d’Eells et Sampson s’applique sans plus de travail, et que l’on en déduit l’existence d’une solution de (∗) tordue par ρ, pour tout temps t appartenant à [0, ∞[. De plus | Df_{t} | est bornée uniformément pour tout temps.

Enfin, si f_{t} converge uniformément vers une application f_{∞}, celle ci est harmonique.

Cette remarque initiale va nous permettre de démontrer aisément nos lemmes.

3.4 Preuve du lemme A. Comme le convexe C est contractile, nous pouvons supposer que f_{0} est à valeurs dans C. Remarquons que la solution f_{t} de (∗) est alors à valeurs dans C pour tout temps.

En effet, la fonction distance d_{C} à C est convexe. Ceci entraîne que, si g_{t} est la fonction f^{∗}(d_{C}), elle satisfait à

\frac{∂g_{t}}{∂t} ≤ −Δg_{t}.

Dès lors,

\frac{d}{dt} ∫_{N} g_{t}ds ≤ 0.

Enfin puisque g_{t} est positive et g_{0} est nulle, nous en déduisons que g_{t} est toujours nulle.

Raisonnons maintenant par l’absurde, s’il n’existe pas d’application harmonique, notre remarque initiale entraîne que si x_{0} est un point de N̄, il existe une suite (t_{n}) tendant vers l’infini telle que (f_{t_{n}}(x_{0})) tende vers un point y de la sphère à l’infini de M.

Si maintenant g = ρ(h) est un élément de Im(ρ), puisque f_{t} est uniformément lipschitzienne, nous avons

d(g(f_{t_{n}}(x_{0})), f_{t_{n}}(x_{0})) = d(f_{t_{n}}(h(x_{0})), f_{t_{n}}(x_{0}))

uniformément bornée.

Ceci entraîne que g(y) = y et la contradiction.

3.5 Preuve du lemme B. Dans le cas où M est euclidienne, les points à l’infini s’identifient aux directions. Identifions M à R^{n}, et décomposons

M = E ⊕ E^{⊥},

où E est l’espace des translations qui commutent à Im(ρ).

A nouveau, nous partons d’une application f_{0} à valeurs dans M et tordue par ρ. Soit x_{0} un point de N̄, f_{t} la solution de (∗). Soit enfin, (t_{n}) une suite de réels tendant vers l’infini et (u_{n}) une suite de vecteurs de E, telles que la suite de points

z_{n} = f_{t_{n}}(x_{0}) + u_{n}

appartienne à E^{⊥} et converge, éventuellement vers un point à l’infini.

Raisonnons à nouveau par l’absurde. S’il n’existe pas d’application harmonique, notre remarque initiale entraîne, comme précédemment, que (z_{n}) tend vers un point de la sphère à l’infini de E^{⊥}.

Ce point à l’infini determine une direction dont un vecteur directeur est, disons, v. Comme précédemment, on montre que le flot horocyclique, c’est à dire ici la translation, associé à v commute avec le groupe.

Et nous avons la contradiction car alors v appartient à E.

3.6 Remarques. Nous n’avons utilisé nulle part dans cette partie de la démonstration notre hypothèse supplémentaire sur M ce qui nous permet de remarquer que la condition de réductivité est suffisante dans tous les cas (à courbure négative ou nulle) pour assurer l’existence d’une application harmonique.

[B.G.S] W.Ballman,M.Gromov,V.Schroeder, Manifolds of non-positive-

curvature, Birkhauser studies (1985)

[C] K.Corlette, Flat G-bundles with canonical metrics, ä paraître in J. Diff. Geo.

[D] S.K.Donaldson, Twisted harmonic maps and the self-duality equa-

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folds, Amer. J. Math. 86 (1964) 109-160

François Labourie Equipe de Topologie et Dynamique Université Paris-Sud F-91405 Orsay URA 1169 du C.N.R.S.