Problème de Minkowski et surfaces à courbure constante. dans les variétés hyperboliques

François LABOURIE

Dans le cas d’une surface convexe compacte dans R^{3}, l’application de Gauss est un homéomorphisme entre cette surface convexe et la sphère unité. A une surface convexe dans l’espace euclidien, on peut alors associer une fonction sur la sphère unité, à savoir la fonction induite de la fonction courbure sur la surface par l’application de Gauss.

Le problème de Minkowski dans l’espace euclidien s’énonce ainsi: quelles sont les fonctions sur la sphère obtenues ainsi? La surface associée sera alors appelée solution du problème de Minkowski.

Ce problème à une solution dont l’énoncé est simple et élégant ([N] et dans un autre cadre [Po]):

Théorème. (Nirenberg,Alexandrov,Pogorelov) Il existe une surface convexe solution du problème de Minkowski pour une fonction k positive définie sur la sphère S^{2}, si et seulement si

∫_{S^{2}} \frac{u}{k}ds = 0,

où u est le vecteur position sur la sphère et ds l’élément d’aire. De plus, une telle surface est unique à translation près.

Nous nous intéresserons à un problème analogue dans le cadre des variétés hyperboliques. La solution de ce problème nous permettra d’étudier les surfaces à courbure de Gauss constante plongée dans ces variétés. Enonçons notre nouveau problème:

Soit M une variété hyperbolique géométriquement finie et sans cusp, (c’està-dire à coeur de Nielsen N compact) et différente du tore plein. La variété M \ N est alors la réunion finie de variétés B_{i} (voir 1.1.). Chaque B_{i} est homéomorphe à S_{i} × R, où les S_{i} sont les surfaces de Riemann compactes de genre g plus grand que 2 qui sont les composantes connexes du bord M_{∞} de M à l’infini.

Dans une telle variété où plus généralement dans un bout géométriquement fini B (voir 1.2.), associé à une lamination géodésique mesurée, dont le bord à l’infini est B_{∞}, se pose naturellement un problème de Minkowski.

Soit en effet S, une surface convexe lisse et incompressible dans B. On définit l’application de Gauss, ϕ, de S dans B_{∞} en associant à tout point de S la géodésique normale extérieure en ce point. On associe donc à toute telle surface convexe S une fonction F (S) sur B_{∞}, donnée par

(∗)  F (S) = g ∘ ϕ^{−1}

où g est la fonction courbure de S. Comme dans le cas euclidien, nous nous intéresserons aux fonctions ainsi définies sur le bord à l’infini.

Notre premier résultat est le suivant

Théorème 1. Soit k une fonction C^{∞} définie de B_{∞} dans ] − 1, 0[. Il existe alors une unique surface convexe S incompressible dans B, telle que

k = F (S)

Ce résultat est, pour le problème de Minkowski, l’analogue du résultat de M.S.Berger ([B]) pour le problème de Nirenberg:

Théorème. (M.S.Berger) Toute fonction négative sur une surface de Riemann de genre au moins 2, est la courbure d’une unique métrique conforme.

En appliquant notre résultat à une fonction constante, on en déduit l’existence et l’unicité d’une surface S_{k} à courbure constante k pour tout k dans ]−1, 0[. Un exemple bien connu de cette situation est le cas où M est le quotient de l’espace hyperbolique par un groupe fuchsien: les surfaces équidistantes de l’hyperplan de symétrie sont alors à courbure constante et de plus forment un feuilletage. Cette situation est en fait le cas général:

Théorème 2. Chaque bout géométriquement fini de dimension 3 est feuilleté par une famille de surfaces (S_{k}) à courbure constante k appartenant à ] − 1, 0[,.

Remarquons que ceci nous fournit une nouvelle manière de nous promener dans l’espace de Teichmüller à partir d’un point et d’une lamination géodésique mesurée.

Le théorème 1 nous permet également de définir, pour tout réel k, une application f_{k} de H(M), l’espace des structures hyperboliques géométriquement finies et sans cusp d’une 3-variété M, dans l’espace de Teichmüller de son bord à l’infini.

Cette application associe à tout point de H(M), la structure conforme de l’unique surface à courbure constante k, bordant un convexe contenant le coeur de Nielsen. Ceci est bien sûr lié à la paramétrisation de H(M) par la structure conforme induite sur le bord à l’infini ([T], [M]) comme nous le verrons en 4.1. On en est conduit naturellement à se demander si ces applications sont également des paramétrisations. Notre réponse est partielle et montre simplement que ces applications sont surjectives, ce que l’on peut énoncer comme un théorème d’existence de métriques.

Théorème 3. Soit M une variété hyperbolique de dimension 3, convexe compacte et différente du tore plein, et soit g une métrique à courbure constante strictement supérieure à -1, sur ∂M, le bord de M. il existe alors une métrique hyperbolique complète h sur M dont la restriction à ∂M est g.

La question qui reste posée est donc celle de l’unicité de la structure hyperbolique sur M avec notre donnée au bord.

Les résultats obtenus ici permettront dans [L2] d’obtenir de nouvelles paramétrisations de l’espace des CP^{1}-structures sur une surface de Riemann compacte.

Remarquons pour finir, que la démonstration du théorème 1 utilise les résultats et la terminologie de la théorie des courbes pseudo-holomorphes à la Gromov. Nous montrerons en particulier que tout problème à courbure de Gauss prescrite peut se traduire dans ce langage.

1 Rappels et définitions

1.1 Variétés hyperboliques. Nous rappelons ici quelque définitions et propriétés concernant les variétés hyperboliques. Pour une introduction plus complète, nous renvoyons à [T]. Soit M une variété hyperbolique complète et de dimension 3 que nous voyons comme le quotient de l’espace hyperbolique par un groupe discret Γ. Son groupe fondamental Γ agit naturellement sur la sphère à l’infini de l’espace hyperbolique. On dit que ce groupe est kleinien si son ensemble limite n’est pas toute la sphère. L’enveloppe convexe de cet ensemble limite dans le modèle projectif de l’espace hyperbolique est lui aussi invariant par Γ. On appelle coeur de Nielsen, le quotient de cette enveloppe convexe par le groupe fondamental. Le coeur de Nielsen N est un ensemble convexe qui a comme propriété d’être l’intersection de tous les sous-ensembles convexes homotopiquement équivalents à M. On dit enfin que M est géométriquement finie et sans cusps (g.f.s.c.) si son coeur de Nielsen est compact. Dans ce cas, le bord à l’infini M_{∞} de M est une réunion finie de surfaces de Riemann compactes S_{i}. La variété M \ N est alors la réunion finie de composantes connexes B_{i} homéomorphes à S_{i} × R. Les variétés B_{i} sont des bouts géométriquement finis au sens de la définition suivante:

1.2 Définition. Une variété hyperbolique complète de dimension 3, B, est un bout géométriquement fini (figure 1) si

(i) B est homéomorphe à S×]0, ∞[, où S est une surface de Riemann compacte.

(ii) Si B̄ est le complété métrique de B, et B_{0} = B̄ \ B est le bord de B, alors

B_{0} est isométrique à une surface compacte à courbure -1. (iii) Le bord de B est concave, c’est à dire il n’existe pas de géodésique tracée

dans B reliant deux points du bord.

Figure 1

(iv) B_{0} est une surface plissée au sens de Thurston

Remarquons donc que le bord B_{0} (qui n’est en général pas lisse) de B est alors muni d’une métrique à courbure -1, et d’une lamination géodesique mesurée. Réciproquement, deux telles données permettent de construire un bout géométriquement fini. ([C.E.G.])

On définit ensuite le bord à l’infini B_{∞} de B comme en [B.G.S], en le considérant comme l’espace des demi-géodésiques complètes divergentes et minimisantes, quotienté par la relation d’équivalence: être asymptotique. Il est facile de vérifier que c’est une surface de Riemann compacte.

Il est enfin clair que dans un bout géométriquement fini le rayon d’injectivité tend vers l’infini lorsque que l’on s’approche du bord à l’infini.

1.3 Application de Gauss. Soit maintenant S une surface convexe incompressible dans un bout géométriquement fini. Ceci est une manière pédante de dire que S sépare B en deux composantes connexes; l’une convexe contenant B_{0}, l’autre contenant B_{∞} (figure 2).

Dès lors par convexité, chaque géodésique partant de S vers l’extérieur tend vers le bord à l’infini. On peut donc définir une application de Gauss ϕ de S dans B_{∞} en associant à tout point de S la géodésique normale extérieure en ce point (figure 2).

Enfin et c’est une remarque que nous utiliserons souvent, il est facile de montrer que si J est la structure complexe induite sur S de celle de B_{∞} par l’application de Gauss, elle s’obtient de la manière suivante: si J_{0} est la structure complexe naturelle de S et A l’opérateur deuxième forme fondamentale nous avons

J = (1 + A)^{−1}J_{0}(1 + A).

2 Preuve du théorème 1

Ce théorème se démontre par la méthode de continuité . Nous avons défini une application F de l’espace C des surfaces convexes incompressibles à courbure strictement négative dans l’espace K des fonctions de B_{∞} dans ] − 1, 0[. Il nous suffit de démontrer que

(i) F est un homéomorphisme local.

(ii) F est propre.

(iii) C est connexe et non vide.

En effet F sera alors un revêtement ((i),(ii)) de C sur K. Le résultat découlera alors du fait que C est connexe et K simplement connexe.

2.1 F est un homéomorphisme local. Occupons nous tout d’abord du linéarisé DF de F. L’espace tangent à C en S, s’identifie aux fonctions sur S, en associant à une telle fonction f la section fN du fibré normal, où N est la normale extérieure unitaire de S. Pour démontrer (i), il nous suffit de démontrer le lemme suivant et d’appliquer un théorème d’inversion locale, comme le théorème de Nash-Moser (cf [H]).

2.2 lemme. DF est un opérateur linéaire elliptique du second ordre inversible.

preuve: Soit S une surface convexe et fN une section du fibré normal. Soit maintenant (ψ_{t}) une famille d’immersions de S dans M, telle que ψ_{0} soit l’identité et,

\frac{d}{dt} |_{t=0} ψ_{t}(x) = f(x)N.

On notera ϕ_{t}, l’application de Gauss de la surface ψ_{t}(S). Nous voulons tout d’abord calculer

(1)  DF (f) = \frac{d}{dt} |_{t=0} (k_{t} ∘ h_{t}),

ici k_{t} est la fonction courbure de la métrique g_{t} induite sur S par ψ_{t}, et h_{t} désigne l’application (ϕ_{t} ∘ ψ_{t})^{−1}. Remarquons tout d’abord que la variation infinitésimale de métrique induite par ψ_{t} est donnée par

\frac{d}{dt} |_{t=0} g_{t}(u, v) = 2g_{0}(Au, v),

où A est l’opérateur deuxième forme fondamentale associé à la normale extérieure. D’après nos hypothèses sur la courbure de S, cet opérateur est symétrique et positif. Un bref calcul nous donne alors que la variation de courbure infinitésimale est

(2)  \frac{d}{dt} |_{t=0} k_{t} = f(−k_{0}.tr(A)) − tr(D^{2}f ∘ A^{−1})(1 + k_{0}),

ici D^{2}(f) désigne l’opérateur qui à un vecteur tangent u à S associe la dérivée covariante du gradient de f le long de u. Par ailleurs, la variation de vecteur normal associée à f est

\frac{d}{dt} |_{t=0} n_{t} = −grad(f).

Nous en déduisons donc que

(3)  \frac{d}{dt} |_{t=0} (h_{t}(y)) = B(grad(f)),

où B est un endomorphisme de l’espace tangent à S. On obtient donc en réunissant (1),(2) et (3), l’équation suivante:

(∗∗)  DF (f) ∘ ϕ_{0} = f(−k_{0}.tr(A)) − tr(D^{2}f ∘ A^{−1})(1 + k_{0}) + C(grad(f)),

où C est un endomorphisme de l’espace tangent à S.

L’opérateur A étant symétrique positif, on vérifie aisément que l’opérateur différentiel défini par l’equation (∗∗) est elliptique du second ordre et d’indice nul puisque homotope au laplacien classique. Pour finir de démontrer le lemme, il nous suffit maintenant de montrer que son noyau est nul. Soit donc f telle que

(4)  f.tr(A)(\frac{−k_{0}}{1 + k_{0}} ) − tr(D^{2}f ∘ A^{−1}) + C(grad(f)) = 0.

Maintenant d’après nos conditions sur la courbure de S, la fonction \frac{−k_{0}tr(A)}{1+k_{0}} est positive, par ailleurs l’opérateur A étant positif, une application simple du principe du maximum montre que f est nulle.

2.3 C est connexe et non vide. Nous avons tout d’abord besoin du

2.4 Lemme. L’espace des bouts geométriquement finis est connexe.

preuve: D’après [C.E.G.], que nous avons cité en (1.1.), l’espace des bouts geométriquement finis s’identifie à l’espace des laminations mesurées sur les surfaces hyperboliques. Cet espace est connexe: il suffit d’homotoper la mesure transverse à zero..

Nous avons montré dans les sections précédentes que F était un homéomorphisme local et propre. Autrement dit, F est un homéomorphisme de chaque composante connexe de C dans K. De plus, le nombre n(B) de composantes connexes de C est fini.

Pour finir, nous voulons montrer

2.5 Lemme. n(B) vaut toujours 1.

preuve: Remarquons que le lemme précédent entraîne aisément que n est toujours supérieur ou égal à 1. Supposons donc maintenant qu’il existe deux surfaces plongées à courbure constante k_{0}, S_{1} et S_{2}. Ces deux surfaces ont nécessairement une intersection non vide.

En effet, sinon on pourrait projeter convexement l’une sur l’autre, ce qui est impossible puisque cette projection convexe est contractante et que ces surfaces ont la même aire par Gauss-Bonnet. Maintenant à S_{2}, par exemple, correspond une famille C_{∞} , (S_{k}), de surfaces à courbure constante: les solutions des problèmes de Minkowski à courbure constante k dans la composante connexe de S_{2}. Quand k tend vers -1, la surface S_{k} converge vers B_{0}, à nouveau pour une question d’aire.

Dès lors pour un certain k_{1} inférieur ou égal à k_{0}, la surface S_{k_{1}} est tangente intérieurement à S_{1}. Or ceci entraîne que k_{1} est supérieur à k_{0}, et la contradiction.

3 Preuve du théorème 2.

En reprenant les notations du théorème 1, une première étape de la démonstration de ce théorème est la suivante:

3.1 Proposition. Soit S une surface à courbure constante, et f une fonction telle que DF (f) soit constante, alors f garde un signe constant.

preuve: Rappelons l’equation (**) de 2.2.

DF (f) ∘ ϕ_{0} = f.tr(A)(\frac{−k_{0}}{1 + k_{0}} ) − tr(D^{2}f ∘ A^{−1}) + C(grad(f)).

Supposons que DF (f) soit constante et positive, nous allons montrer que f est elle même positive. Nous allons utiliser comme en 2.2. , le principe du maximum.

Plaçons nous au point ou f est minimum, nous obtenons alors

DF (f) ∘ ϕ_{0} + tr(D^{2}f ∘ A^{−1}) = f.tr(A)(\frac{−k_{0}}{1 + k_{0}} )

Le premier terme de cette égalité est positif et comme tr(A)(\frac{−k_{0}}{1+k_{0}} ) est également positif, f est positive en ce point.

Remarquons que nous aurions pu utiliser la même idée de démonstration qu’en 2.5., mais ceci ne nous aurait fourni qu’un feuilletage seulement C^{0}.

Nous avons donc demontré que la famille (S_{k}) feuillette un ouvert de B, pour conclure il nous faut démontrer que la famille (S_{k}) feuillette bien B entièrement. C’est ce que nous permet d’affirmer la proposition suivante

3.2 Proposition. Soit (S_{k}) la suite de surfaces à courbure constante k donnée par le théorème 1, alors

lim d(S_{k}, B_{0}) = ∞.

preuve: Chaque surface convexe S_{k} borde un convexe C_{k}. Considérons C_{0} = ⋃ C_{k}. Le bord de C_{0} est constitué de la réunion de surfaces convexes plongées localement isométriques au plan euclidien. Notre but est de démontrer que ce bord est vide.

Pour ce faire, remarquons tout d’abord que l’application de Gauss définie de ce bord dans le bord à l’infini de B est une immersion. En particulier nous aurons démontré notre résultat, si nous montrons que cette application de Gauss est K-quasi conforme: il n’existe pas d’immersion quasi-conforme d’une surface complète plate dans une surface de Riemann de genre g.

Soit S une surface convexe dans l’espace hyperbolique, dont la structure complexe est J_{0} et l’opérateur deuxième forme fondamentale est A. La structure complexe J induite par l’application de Gauss, de celle du bord à l’infini est

J = (1 + A)^{−1}J_{0}(1 + A).

En particulier notre proposition se réduit au lemme suivant 3.3 lemme. Soit S une surface convexe plongée complète et plate, dans B, telle que d(B_{0}, S) est strictement positif. Il existe alors une constante K telle que la courbure moyenne de S, H est uniformément majorée par K.

preuve: D’après nos hypothèses et puisque nous sommes dans un bout, il existe un réel r positif, telle que toute boule de rayon r dans B, centrée en un point de S, soit isométrique à une boule de l’espace hyperbolique.

Par ailleurs, il existe r_{0} inférieur à r, telle que toute boule b_{0} de rayon r_{0} de S soit isométrique à une boule du plan euclidien. Chaque boule b_{0} est alors plongée dans le bord d’un convexe d’une boule de l’espavce hyperbolique. D’après la proposition 5.4.(iii) de [L1], nous en déduisons qu’il existe une constante A telle que, pour toute boule b_{0}

∫_{b_{0}} Hds ≤ A.

Maintenant en utilisant le théorème D de [L1] , on en déduit que la courbure moyenne de S est uniformément majorée.

4 Preuve du théorème 3

Soit H(M) l’espace des structures hyperboliques géométriquement finies et sans cusps de M. Plus précisemment, H(M) est l’ensemble des classes d’équivalence des paires (M_{0}, ψ_{0}), où M_{0} est une variété hyperbolique complète géométriquement finie et sans cusp et

ψ_{0} : M_{0} → M

est une quasi-isométrie. La paire (M_{0}, ψ_{0}) est équivalente à (M_{1}, ψ_{1}) s’il existe une isométrie

F : M_{0} → M_{1}

telle que ψ_{1} ∘ F est homotope à ψ_{0} par une homotopie propre qui s’étend en une homotopie de (M̄_{0}, M_{0,∞}) × [0, 1] → (M̄, M_{∞}). Ici M̄ désigne la compactification de M obtenu en ajoutant M∞.

Les résultats précédents nous permettent de définir une application f de H(M)×] − 1, 0[ dans T (M_{∞}), l’espace de Teichmüller du bord de M à l’infini.

On associe en effet à (h, k) la structure conforme induite (gâce à l’application de Gauss) sur M_{∞} de celle de la surface à courbure constante k dans M muni de la métrique h.

Nous allons tout d’abord préciser le lien de de cette application avec l’application cannonique f_{0} qui à une métrique h de H(M) associe la structure conforme naturelle sur M_{∞}. Rappelons que, d’après un célèbre théorème de Bers (voir [M] p 82), cette application f_{0} est une bijection.

4.1 Lien avec la structure conforme à l’infini.. Nous voulons montrer que nous pouvons prolonger par continuité f à ] − 1, 0], grâce à f_{0}. Plus généralement, nous allons démontrer

4.2 Proposition. Soit (B^{n}) une famille de bouts géométriquement finis convergeant vers un bout géométriquement fini B et soit (k_{n}) une suite de réels tendant vers 0 . Alors la suite de structures conformes des surfaces S_{n} à courbure constante k_{n} dans B^{n} converge vers la structure conforme de B_{∞}

preuve:

Soit A_{n} l’opérateur deuxième forme fondamentale de S_{n}, nous voulons démontrer que A_{n} converge uniformément vers l’identité.

En effet, rappelons que si S est une surface convexe dans un bout géométriquement fini, dont la structure complexe est J_{0} et l’opérateur deuxième forme fondamentale est A, la structure complexe J induite par l’application de Gauss de celle du bord à l’infini est

J = (1 + A)^{−1}J_{0}(1 + A).

Soit donc s_{n} une famille de points de S_{n}, nous savons que d(s_{n}, B_{0}^{n}) converge vers l’infini (3.2.) . Nous en déduisons qu’il existe une suite (r_{n}) de reéls tendant vers l’infini tels que

(i) les boules b′_{n} de B_{n} centrées sur s_{n} et de rayon r_{n} sont isométriques à des boules de l’espace hyperboliques. Soit G_{n} l’isométrie correspondante envoyant s_{n} sur un point fixé de l’espace hyperbolique.

(ii) les boules b_{n} de S_{n} centrés sur s_{n} et de rayon r_{n} sont homéomorphes au disque et plongées dans b′_{n} dans le bord d’un convexe C_{n}. Nous pouvons maintenant extraire une sous-suite de façon à ce que G_{n}(C_{n})

converge vers un convexe C_{0}. Nous allons montrer que ce convexe est une horoboule.

D’après notre construction, le bord S_{0} de ce convexe est isométrique au plan euclidien. Or (cf [S]) les seules surfaces plates plongées dans l’espace hyperbolique sont les horosphères et les surfaces équidistantes d’une géodésique.

Le bord de G_{n}(C_{n}) converge donc vers une horosphère, de plus s’agissant de surfaces plongées, et en utilisant la même remarque que à la fin de la démonstration de 3.3., cette convergence est C^{∞}. En particulier, l’opérateur deuxième forme fondamentale en x_{n} converge vers l’opérateur deuxième forme fondamentale d’une horosphère, c’est à dire l’identité.

4.3 Démonstration du théorème 3. Nous pouvons donc d’après le paragraphe précédent étendre par continuité f à ]−1, 0], grâce à f_{0}. Appelons encore f l’application prolongée et g l’application qui à (h, k) associe (f(h, k), k), le lemme crucial permettant de demontrer le théorème est alors le suivant 4.4 Lemme. L’application g est propre

preuve: On se donne donc (k_{n}) une suite de réels convergeant vers un réel k_{0} et (h_{n}) une suite de métriques hyperboliques géométriquement finies te sans cusp telles que la suite de structures conforme (J_{n}) des surfaces S_{k_{n}}, définies grâce au théorème 1 converge. Notons alors A_{n} l’opérateur deuxième forme fondamentale sur S_{k_{n}}.

Nous voulons donc démontrer que la suite (h_{n}) possède une sous-suite convergente, c’est à dire que la suite de structures conformes sur le bord à l’infini,

J_{n}^{0} = f_{0}(h_{n})

possède elle aussi une sous-suite convergente.

Il nous suffit pour cela de montrer que le rapport de conformalité entre J_{n} et J_{n}^{0} est uniformément majoré. D’après la formule

J_{n}^{0} = (1 + A_{n})^{−1}J_{n}(1 + A_{n}),

il nous suffit de majorer la trace de A_{n} c’est à dire la courbure moyenne. Pour démontrer notre résultat, il nous donc suffit de démontrer que la courbure moyenne des S_{k_{n}} est uniformément majorée.

Soit donc (x_{n}) une suite de points de S_{k_{n}}. La suite des structures conformes des S_{k_{n}} convergeant, il existe r telle que la boule B_{n} de S_{k_{n}}, centrée sur x_{n} et de rayon r, soit topologiquement un disque.

En relevant ces disques au revêtement universel, nous obtenons une famille d’immersions isométriques de B_{n} dans l’espace hyperbolique, dont les images sont incluses dans le bord d’un convexe. La famille des métriques sur B_{n} convergeant, nous pouvons utiliser la même remarque que à la fin de la démonstration de 3.3. et conclure que la coubure moyenne est uniformément majorée sur tout compact de B_{n}.

Notons f_{k} l’application de T (M_{∞}) dans lui même qui à un point t associe f(f_{0}^{−1}(t), k). Le lemme suivant entraîne alors notre théorème

4.5 Lemme. L’application f_{k} de T (M_{∞}) dans lui même, est propre et de degré 1. En particulier, elle est surjective

preuve: Compactifions T (M_{∞}) qui topologiquement est une boule en rajoutant un point à l’infini pour obtenir une sphère S. La propreté de g nous permet d’une part d’étendre f_{k} en une application de S dans elle même , et d’autre part de réaliser une homotopie entre f_{k} et f_{0} qui par construction est l’identité. Ceci montre notre lemme. Ceci est ce qu’il nous fallait démontrer.

5 Appendice: Courbes pseudo-holomorphes

Cet appendice ne prétend être qu’une introduction aux résultats de Gromov. Pour les démonstrations et la discussion des principales idées, nous renvoyons à [G],[P].

Rappelons qu’une structure presque complexe sur une variété M, est la donnée d’un champ d’endomorphismes du fibré tangent, J, de carré -1. Une courbe pseudo-holomorphe dans une telle variété, est alors une surface réelle dont l’espace tangent est stable par J.

Le théorème de Gromov est alors un théorème de compacité pour les courbes pseudo-holomorphes d’aire bornée et qui convergent modulo l’apparition de ”bulles”. Pour donner une formulation plus précise à ce résultat, nous avons besoin de la

5.1 Définition. Une J-courbe nodale dans (M, J) est la donnée d’une réunion disjointe de surfaces de Riemann Σ_{i}, d’une identification d’un nombre fini de points (appelés noeuds) et d’une application pseudo-holomorphe f : ∪_{i}Σ_{i} → (M, J) qui respecte les noeuds.

Il nous faut également munir l’ensemble des courbes nodales d’une topologie

5.2 Définition. Soit f : ∪_{i}Σ_{i} → M une J-courbe nodale. Un élément d’une base d’ouverts de la topologie C^{∞} sur les courbes nodales est déterminé par le choix

(a) d’un voisinage U des noeuds

(b) d’un réel ϵ positif,

(c) d’un voisinage W de f pour la topologie C^{∞} sur les applications de ∪_{i}Σ_{i}\U dans M,

(d) d’un voisinage V de J_{Σ} pour la topologie C^{∞} sur structures presque complexes de ∪_{i}Σ_{i} \ U. C’est l’ensemble des courbes nodales g : ∪_{j}S_{j} → M telles qu’il existe une

application continue

σ : ∪_{j}S_{j} → ∪_{i}Σ_{i}

qui est un difféomorphisme sauf au dessus des noeuds, pour lesquels, si x est un noeud, σ^{−1}(x) est une courbe fermée simple ou un noeud. Cette application doit de plus vérifier:

(i) | aire(f) − aire(g) |< ϵ, (ii) g ∘ σ^{−1} appartient à W, (iii) σ_{∗}^{−1}J_{S} appartient à V, (iv) enfin, g(∪_{j}Sj) est ϵ proche de f(∪_{i}Σ_{i}) pour la distance de Haussdorff.

Autrement dit au voisinage de deux sphères attachées en un point on peut trouver une sphère étranglée. Soulignons que, d’une part, la convergence pour cette topologie implique la convergence de Haussdorf des images, d’autre part, au voisinage d’une vraie courbe pseudo-holomorphe, on ne trouve que des vraies courbes pseudo-holomorphes, et la convergence est alors la convergence C^{∞} des paramétrisations.

Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer le théorème de compacité de Gromov:

5.3 Théorème. (Gromov) Soit M une variété riemanienne munie d’une suite de structures presque complexes J_{n} convergeant C^{∞} vers J_{0}. De toute suite de courbes J_{n}-pseudo-holomorphes f_{n} : S → M, on peut extraire une sous-suite convergeant dans C^{∞} vers une J_{0}-courbe nodale f : ∪_{l}Σ_{l} → M.

Topologiquement S = ∪_{l}Σ_{l} modulo un nombre fini de courbes simples écrasées sur un point. En particulier le genre ne peut que décroître:

∑_{l} g(Σ_{l}) ≤ g(S).

Le théorème reste vrai si l’on demande simplement que les structures presque complexes soient définies sur un sous-fibré tangent à M et que les courbes pseudo-holomorphes soient tangentes à ce sous-fibré.

Enfin, une topologie C^{k} est définie également pour les courbes nodales et un théorème de compacité s’énonce aussi pour cette topologie.

[B] M.S.Berger, Riemaniannian Structure of prescibed Gaussian Curvature for compact 2-Manifolds,, J. of Diff. Geom., 5 (1971), pp 325-332.

[C.E.G.] R.D.Canary, D.B.A.Epstein, P.Green, Notes on notes of Thurston, in ”Analytical and geometric aspects of hyperbolic spaces,” London Mathematical Society lecture Notes 111, (D.B.A.Epstein ed.), Cambridge University Press, Cambridge (1987), pp.3-92

[D] P.Delanoë, Plongements radiaux à courbure de Gauss positive prescrite, Ann.scient.Ec.Norm.Sup.,4^{e} série,t. 18 (1985), pp.635-649

[G] M.Gromov, Pseudo-holomorphic curves in almost complex manifolds-

, Invent. Math. 82, (1985), pp. 307-347 [B.G.S] W.Ballman,M.Gromov,V.Schroeder, Manifolds of non-positive-

curvature, Birkhauser studies (1985)

[H] R.S.Hamilton, The inverse function theorem of Nash and Moser, Bull A.M.S. (New series), vol 7, No 1 (1982), pp. 65-222

[L1] Labourie, Immersions isométriques elliptiques et courbes pseudo-ho-lomorphes, preprint, à paraître dans Jour. of Diff. Geom.

[L2] Labourie, Surfaces convexes dans l’espace hyperboliques et CP^{1}-- structures, preprint

[M] J.W.Morgan, Uniformization theorem for 3-dimensional manifolds, - chapter 5 in Proceedings on the Smith Conjecture Symposium, ed. J.W.Morgan and H.Bass, Academic Press 1984

[N] L.Nirenberg, The Weyl and Minkowski problem in differential geometry in the large, Comm. Pure Appl. Math., vol 6, No 3 (1953), pp. 337-394.

[O] V.I.Oliker, Hypersurfaces in R^{n+1} with prescribed Gaussian curvature and related equations of Monge-Ampère type, Comm. P.D.E.,vol 9,No 8 (1984), pp 807-838

[P] P.Pansu, Notes sur la démonstration du théorème de compacité des courbes cusps de Gromov, preprint, à paraître

[Po] A.V.Pogorelov, Extrinsic geometry of convex surfaces, Israel program for scientific translation, Jerusalem (1973).

[S] M.Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry , - Publish or Perish, Boston (1975).

[T] Thurston, Geometry and topology of 3-manifolds, ch.8, mimeographic notes

François Labourie Centre de Mathématiques Ecole Polytechnique F-91128 Palaiseau (Cedex) URA D.0169 du C.N.R.S.