Un lemme de Morse pour les surfaces convexes

François LABOURIE^{∗}

1^{er} décembre 1999

1 Introduction

Le lemme de Morse pour les géodésiques affirme que dans une variété à courbure strictement négative et à géométrie bornée, toute quasi-géodésique est à une distance bornée d’une géodésique.

D’un point de vue dynamique, il est le pendant géométrique du ”Shadowing Lemma”. Il a pour conséquence les trois propriétés hyperboliques du flot géodésique d’une variété compacte à courbure strictement négative, vu ici comme un feuilletage de dimension 1 :

(i) la réunion des feuilles compactes est dense ;

(ii) une feuille générique est dense ;

(iii) les flots géodésiques de deux métriques proches à courbure négative sont conjugués.

Le but de notre d’article est d’énoncer un lemme de Morse pour les k-surfaces dans les variétés de dimension 3 à courbure négative et d’en tirer des conséquences analogues.

Commençons par définir brièvement une k-surface dans une variété M de dimension 3 à courbure plus petite que -1 pour k ∈]0, 1[. Il s’agit d’une surface dont la courbure extrinsèque, c’est-à-dire le produit des courbures principales, vaut k. Les hypothèses sur k entraînent qu’une k-surface est localement convexe et à courbure intrinsèque strictement négative. Nous nous intéresserons principalement aux k-surfaces non compactes (elles le sont toutes si M est simplement connexe) et complètes dans un certain sens (voir le paragraphe 2.2 pour des précisions).

∗L’auteur remercie l’Institut Universitaire de France.

Revenons au lemme de Morse pour les k-surfaces. L’une de ses conséquences immédiates est que toute surface localement convexe à courbure extrinsèque plus grande que k, ayant de bonnes propriétés “à l’infini”, est à distance bornée d’une k-surface. Ce lemme apporte aussi une solution à une sorte de problème de Plateau pour les k-surfaces. Malheureusement, pour énoncer correctement ce lemme, il faut introduire des définitions techniques qui sortent du cadre de cette présentation (voir la section 2 pour un énoncé précis).

Nous allons plutôt présenter dans les deux prochains paragraphes deux incarnations de ce lemme de Morse :

(1) l’étude du problème de Plateau asymptotique ;

(2) les propriétés hyperboliques de l’espace des k-surfaces.

Ces propriétés hyperboliques font apparaître l’espace des k-surfaces comme une généralisation du flot géodésique dans le monde des laminations par des surfaces ; elles sont la motivation essentielle de notre travail.

Pour énoncer de façon simple nos résultats, nous supposerons dans cette introduction que M est le revêtement universel d’une variété N compacte.

1.1 Problème de Plateau asymptotique

Notons ∂_{∞}M le bord à l’infini de M. Soit i un homéomorphisme local d’une surface S dans ∂_{∞}M. Une solution du problème de Plateau asymptotique (i, S) est une immersion f de S dans M dont l’image est une k-surface et telle que i est l’application qui associe à un point s de S l’extrémité à l’infini de la normale extérieure à f(S) en f(s).

Donnons deux justifications de cette terminologie : d’une part, ce problème de Plateau asymptotique est une version asymptotique d’un problème plus proche du problème de Plateau usuel, à savoir déterminer une surface par son bord (cf proposition 5.0.3); d’autre part, lorsque i est un plongement du disque ouvert qui s’étend à un plongement du disque fermé, alors le bord à l’infini de la solution coïncide avec le bord du disque.

Cette terminologie peut être source de confusion car en général une solution d’un problème asymptotique n’a pas de bord à l’infini en un sens raisonnable. Enfin même dans le cas où i provient d’un plongement, la connaissance du bord ne suffit pas à décrire le problème de Plateau asymptotique : il faut préciser l’une des deux composantes connexes du complémentaire du bord du disque ; c’est le rôle de i.

Nous démontrerons les résultats suivants sur l’existence et l’unicité des solutions du problème de Plateau asymptotique.

Théorème A. Il existe au plus une solution d’un problème de Plateau asymptotique.

Le problème de Plateau asymptotique n’a pas toujours de solution :

Théorème B. Si S est ∂_{∞}M privé de zéro, un, ou deux points, et si i est l’injection de S dans ∂_{∞}M, alors le problème (i, S) n’a pas de solution.

Par contre, nous avons les trois résultats d’existence suivants :

Théorème C. Si (i, S) est un problème de Plateau asymptotique et si ∂_{∞}M \ i(S) contient au moins trois points distincts, alors (i, S) admet une solution.

Théorème D. Soit Γ un groupe agissant sur S, tel que S/Γ est une surface compacte de genre plus grand ou égal à 2. Soit ρ une représentation de Γ dans le groupe des isométries de M. Si i vérifie

∀γ ∈ Γ, i ∘ γ = ρ(γ) ∘ i,

alors le problème (i, S) a une solution.

Théorème E. Soit (i, U) un problème de Plateau asymptotique. Si S est un ouvert relativement compact de U, alors (i, S) admet une solution.

On peut remarquer une analogie entre les problèmes de Plateau asymptotiques ayant des solutions, et les immersions hyperboliques du disque dans ℂP^{1}.

Nous avions démontré dans [4] le théorème D lorsque la variété ambiante était à courbure constante. Toujours dans le cas de la courbure ambiante constante, mais en toutes dimensions, J. Spruck et H. Rosenberg ont démontré dans [5] des versions partielles de nos résultats : ils ont montré que le problème de Plateau défini par (i, U) avait une solution dans le cas où U était l’intérieur du disque fermé D et où i s’étendait en un plongement de D. Les autres résultats de [5] sont des cas particuliers du théorème 5.0.3, toujours dans le cadre de la courbure ambiante constante mais en toutes dimensions : les auteurs ne considèrent que les graphes audessus d’horosphères. Ceci leur permet d’écrire explicitement les équations satisfaites par la fonction dont une telle surface est le graphe. Grâce à l’hypothèse de courbure ambiante constante, ces équations sont d’une forme simple et les estimées a priori classiques pour les équations de Monge-Ampère peuvent alors s’appliquer. Notre méthode est différente. Nous appliquons les techniques plus flexibles de courbes pseudo-holomorphes mises au point dans [3]. Nous décrivons les k-surfaces comme des solutions d’un problème de Monge-Ampère au sens de ce dernier article. Ceci nous permet, d’une part, de sortir du cadre de la courbure constante, d’autre part, de ne pas nous restreindre aux seuls graphes au-dessus d’horosphères.

1.2 Propriétés hyperboliques de l’espace des k-surfaces

Explicitons l’analogie avec le flot géodésique. Soit N une variété compacte de dimension 3. Le fibré unitaire de N est l’espace des géodésiques pointées, c’està-dire des paires (γ, x) où x est un point de la géodésique γ. Le flot géodésique vu comme feuilletage de dimension 1 s’obtient en déplaçant le point x le long de la géodésique γ.

Définissons les k-surfaces pointées, comme les paires (S, x) où x est un point sur la k-surface S. Ces surfaces sont en général non compactes et ont même beaucoup de récurrence. Les tubes pointés sont les paires (T, x), où T est une géodésique et x un vecteur unitaire normal à T.

Dans [3], dans le cadre plus général des problèmes de Monge-Ampère, nous avons montré l’espace N, constitué des k-surfaces pointées et des tubes pointés, est compact. Il possède de plus une structure de lamination définie par la condition : deux points (F, x) et (G, y) sont sur la même feuille si F = G.

Par abus de langage, nous appellerons N l’espace des k-surfaces de N.

La topologie sous-jacente, et les précautions à prendre pour traiter du cas des revêtements sont précisées dans la section 8 et dans l’article [3].

Le théorème suivant est le résultat central de cet article. Il montre que l’espace N possède les propriétés hyperboliques du flot géodésique.

Théorème F. Soit N l’espace des k-surfaces d’une variété compacte N munie d’une métrique h_{0} à courbure plus petite que -1, alors :

(i) pour tout entier g, la réunion des feuilles compactes de genre plus grand que g est dense dans N ;

(ii) une feuille générique est dense dans N ; (iii) N est stable dans le sens suivant : si h est une métrique suffisamment

proche de h_{0}, et si N̄ est l’espace des k-surfaces pour la métrique h, alors il existe un homéomorphisme entre N et N̄ envoyant feuille sur feuille.

L’espace des k-surfaces contient l’espace des tubes pointés, espace qui fibre au-dessus du flot géodésique. En ce sens, l’espace des k-surfaces “contient le flot géodésique”. Dans le cas où la courbure ambiante est constante, il contient également l’espace des plans totalement géodésiques orientés P: en effet, les surfaces équidistantes des plans totalement géodésiques sont à courbure constante. Notre espace N de dimension infinie est cependant beaucoup plus gros.

Signalons, à titre de comparaison, quelques propriétés de l’espace P dans le cas de la courbure ambiante constante. D’après le théorème d’ergodicité de Moore, une feuille générique est dense. Pour certaines variétés arithmétiques, P ne contient aucune feuille compacte ; pour d’autres au contraire, il en contient un ensemble dense.

Cet espace P n’a pas beaucoup d’intérêt quand la courbure n’est pas constante, mais il possède une sorte de propriété de “stabilité” démontrée par M. Gromov [2] : si une métrique h sur une variété N est suffisamment proche d’une métrique g à courbure constante, alors il existe une application continue de P, l’espace des plans totalement géodésiques pour g, dans N telle que les images des feuilles soient des surfaces minimales.

La situation décrite par le théorème F amène à se poser un certain nombre de questions :

(i) on a une abondance de mesures transverses invariantes, mais y en a-t-il une qui charge tous les ouverts?

(ii) Quelle est la statistique des feuilles compactes ? On peut associer à chaque k-surface l’intégrale de sa courbure moyenne. Pour de bonnes raisons nous appellerons ceci l’aire de la k-surface. De manière naturelle, l’aire des tubes est alors la longueur de la géodésique sous-jacente (à 2π près). On peut alors montrer (ce n’est pas fait dans cet article) qu’il n’y a qu’un nombre fini N(A) de feuilles compactes d’aire bornée par A. Notons N(A, g) le nombre de celles qui sont de genre g. On peut poser

ent_{g}(N) = lim inf_{h≤g, A→∞} \frac{log(N(A, g))}{A}.

Le nombre ent_{0} est l’entropie du flot géodésique, quelles sont les valeurs de ent_{g}?

(iii) Les feuilles compactes sont elles équidistribuées?

(iv) Pour deux métriques proches, supposons que l’homéomorphisme de conjugaison puisse être choisi conforme sur chacune des feuilles, les métriques sont-elles isométriques?

1.3 Structure de l’article

2 - Définitions, énoncé du lemme de Morse. Nous énonçons le lemme de Morse et donnons les définitions utilisées de manière récurrente dans l’article ainsi que quelques propriétés préliminaires. 3 - Variations infinitésimales et déformations. Nous y démontrons le lemme 3.0.2 qui décrit les variations infinitésimales des k-surfaces à bord. 4 - Théorème de compacité. Nous y étudions les limites de k-surfaces. Cette section débute par un rappel des résultats de compacité sur les problèmes de Monge-Ampère démontrés dans [3]. 5 - Problème de Plateau pour les disques. Nous y démontrons la proposition 5.0.3 qui est une version faible du lemme de Morse. 6 - Démonstration du lemme de Morse pour les surfaces convexes. Nous utilisons une méthode de déformation. 7 - Problèmes asymptotiques. Nous y démontrons les théorèmes énoncés dans l’introduction. Nous traitons le théorème A en 7.2.1 ; les théorèmes C,D et E sont vus en 7.3.3, 7.3.1 et 7.3.2 respectivement, et enfin B est démontré en 7.4.1. 8 - Espace des k-surfaces. A partir de cette section, nous nous intéressons à l’espace des k-surfaces d’une variété compacte. Cet espace est introduit en 8. 9 - Densité des feuilles périodiques. Il s’agit de de F-(i). La démonstration est la plus délicate de cet article. 10 - Généricité des feuilles denses. Nous y démontrons F-(ii). 11 - Stabilité. Cette section contient la preuve de F-(iii).

2 Définitions, énoncé du lemme de Morse

Dans cette section, nous donnons les définitions utilisées dans cet article ainsi que quelques résultats préliminaires.

Enonçons tout de suite le lemme de Morse qui sera démontré dans le paragraphe 6.0.2 :

Lemme de Morse. Soit M une variété d’Hadamard à géométrie bornée et à courbure strictement plus petite que −c < 0. Soit S une surface localement convexe, éventuellement à bord, à courbure plus grande que c, à géométrie bornée et qui n’est ni horosphérique à l’infini, ni tubulaire, ni compacte sans bord. Alors, pour tout k ∈]0, c[, il existe une unique k-surface Σ lentille pour S.

De plus, si S n’est pas tubulaire à l’infini, la courbure moyenne de Σ est uniformément bornée et en particulier Σ n’est pas dégénérée.

Les k-surfaces dégénérées et non dégénérées sont définies dans le paragraphe 2.2, les surfaces lentilles en 2.2.2. Le paragraphe sur la géométrie bornée 2.3 est nécessaire pour donner la définition 2.4 de tubulaire, horosphérique à l’infini etc.

2.1 k-surfaces

Soit S une surface localement convexe immergée dans une variété M de dimension 3. Nous noterons n⃗(S) son relevé de Gauss, c’est-à-dire la surface immergée dans le fibré unitaire UM de M constituée des vecteurs normaux extérieurs à S.

Une k-surface est une surface (éventuellement à bord) immergée dans M dont le produit des courbures principales vaut k, et telle que la métrique induite de n⃗(S) soit complète. Cette dernière condition n’entraîne pas a priori que la métrique induite de celle de M est complète. Si tel est le cas, la surface est non dégénérée, et dégénérée dans le cas contraire. Si la courbure moyenne est bornée, alors la k-surface est non dégénérée.

2.2 Surfaces lentilles, normal étendu, bout

2.2.1 Normal étendu, bout

Soit Σ une surface localement convexe immergée à bord ∂Σ dans M. Soit n⃗ son champ de vecteurs normal extérieur et n⃗_{∂} le champ de vecteurs normal intérieur à ∂Σ dans Σ. Posons

N_{∂}^{+} = {u ∈ (T ∂Σ)^{⊥}/ ⟨u, n⃗_{∂}⟩ ≤ 0}.

Le normal étendu de Σ est le sous-ensemble N_{Σ} de UM, défini par

N_{Σ} = n⃗(Σ) ∪ N_{∂}^{+}.

Dans la suite, nous identifierons souvent abusivement Σ et n⃗(Σ), vu comme sousensemble de UM. Il est facile de voir que N_{Σ} est une sous-variété C^{0}-immergée dans UM dont le bord ∂N_{Σ} est l’ensemble de vecteurs normaux intérieurs à Σ le long de ∂Σ.

Le bout B de Σ est la variété riemannienne homéomorphe à N_{Σ}×]0, +∞[ munie de la métrique induite par l’application :

\{ \begin{matrix}N_{Σ}×]0, +∞[ & → & M \\ (t, n⃗) & ↦ & exp(tn⃗). \end{matrix}

D’un point de vue métrique, on compléte le bout en ajoutant Σ, on parlera alors d’un bout complet.

2.2.2 Graphe étendu, surface lentille, champ focal, pied, fonctions inverses

Nous notons Ā l’adhérence d’un ensemble A dans N_{Σ}. Une surface S localement convexe immergée à bord ∂S est un graphe étendu au-dessus de Σ, s’il existe :

- un ouvert O de int(N_{Σ}) = N_{Σ} \ ∂N_{Σ}, vérifiant

\overline{n⃗(Σ)} ⊂ O ⊂ Ō ⊂ int(N_{Σ});

- une fonction f continue définie sur Ō, strictement positive sur O;

tels que :

(i) ∀y ∈ Ō \ O, f(y) = 0 ;

(ii) S = {exp(f(u)u) / u ∈ O};

(iii) le segment géodésique exp([f(u), +∞[u) est extérieur à S.

Si f est bornée, nous dirons que S est un graphe étendu borné au-dessus de Σ. De manière symétrique, nous dirons dans ce dernier cas que Σ est lentille pour S, et appellerons f fonction associée.

Le champ de vecteurs focal pour un graphe étendu S au-dessus de Σ est le champ de vecteurs

U : exp(f(u)u) ↦ \frac{d}{dt}|_{t=f(u)} exp(tu).

Soit S un graphe étendu au-dessus de Σ. Soit y = exp(f(u)u) un point de S. Le pied de y le point x = π(u) de Σ. Ici π est la projection du fibré unitaire de M sur M.

2.2.3 Remarques

(i) Soit ν⃗ le champ de vecteurs normal extérieur à S, et n⃗ celui de Σ. On a ν⃗(s) ≠ n⃗(s) pour tous les points s de ∂Σ. En effet, l’ouvert O de la définition d’un graphe étendu contient l’adhérence de n⃗(Σ) et f est strictement positive.

(ii) Avec les mêmes notations, ν⃗(∂Σ) ⊂ int(N_{Σ}). En effet, d’après la condition 2.2.2 (iii), le vecteur n⃗_{∂} pointe vers l’intérieur de S; c’est-à-dire, si s est un point de ∂S = ∂Σ, nous avons :

⟨n⃗_{∂}(s), ν⃗(s)⟩ ≤ 0.

Le vecteur ν⃗(s) est perpendiculaire à T (∂Σ) ; il appartient donc au plan engendré par n⃗_{∂}(s) et n⃗(s). En particulier, si ν⃗(s) ∉ int(N_{Σ}), nous avons ν⃗(s) = −n⃗(s). Ceci est impossible : deux surfaces strictement convexes ayant en un point d’intersection deux normales opposées sont telles que leur intersection est réduite à ce point, au moins localement.

(iii) Un graphe étendu S au-dessus de Σ, se plonge naturellement dans le bout complet de Σ de telle sorte que ∂S ⊂ ∂Σ.

2.2.4 Fonction inverse

Introduisons une dernière notion. Soit Σ une surface lentille pour S de fonction associée λ. La fonction inverse est la fonction μ définie sur S par

μ(exp(λ(u)u)) = λ(u).

Nous avons alors l’assertion suivante :

Lemme 2.2.1 Toute fonction inverse est 2-lipschitzienne.

Démonstration. Notons μ la fonction inverse. Soit u et v deux éléments de N_{Σ}. Soit π la projection de UM sur M. Posons x = π(u) et y = π(v). Soit d_{S} la distance riemannienne intrinsèque de S. L’hypothèse de courbure négative et la convexité locale de Σ entraîne :

d(x, y) ≤ d_{S}(exp(λ(u)u), exp(λ(v)v)).

De plus

|λ(u) − λ(v)| ≤ d(x, y) + d_{S}(exp(λ(u)u), exp(λ(v)v),

d’où le résultat.⋄ 2.2.5 Déformations

La remarque 2.2.3 (i) permet de montrer le lemme évident de déformation suivant :

Lemme 2.2.2 Soit {S_{t}}_{t∈[0,1]}, une famille de surfaces compactes à bord, immergées et localement convexes. Soit {Σ_{t}}_{t∈[0,1]} une autre famille de surfaces compactes, immergées, localement convexes, et telle que ∂S_{t} = ∂Σ_{t}. Si Σ_{0} est lentille pour S_{0} alors Σ_{t} est lentille pour S_{t} pour tout t dans un voisinage de 0.

2.3 Géométrie bornée

Rappelons quelques définitions.

2.3.1 Convergence de variétés pointées

Une variété pointée est une paire (M, x) où M est une variété et x un point de M. Nous dirons que la suite de variétés pointées {(M_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ} équipées des métriques g_{n} converge C^{∞} sur tout compact vers la variété riemannienne (M_{∞}, x_{∞}) équipée de la métrique g_{∞}, s’il existe une suite d’applications {f_{n}}_{n∈ℕ} définies de M_{∞} dans M_{n}, envoyant x_{∞} dans x_{n} telle que :

(i) quelque soit R, pour n suffisamment grand, la restriction de f_{n} à la boule de rayon R et de centre x_{∞} est C^{∞} et injective ;

(ii) f_{n}^{∗}g_{n} converge C^{∞} sur tout compact vers g_{∞}.

On ne demande pas aux applications f_{n} d’être continues.

Une variété M est dite à géométrie bornée si, pour toute suite de points {x_{n}}_{n∈ℕ} de M, la suite de variétés pointées {(M, x_{n})}_{n∈ℕ} possède une sous-suite convergente.

Par abus de langage, nous dirons qu’une variété d’Hadamard M est à géométrie bornée si, pour toute suite de points {x_{n}}_{n∈ℕ} de M, la suite de variétés pointées {(M, x_{n})}_{n∈ℕ} possède une sous-suite convergente vers une variété à courbure strictement négative.

2.3.2 Remarques

(i) Une variété d’Hadamard ayant un groupe discret cocompact d’isométries est à géométrie bornée.

(ii) Rappelons brièvement la preuve du très classique lemme suivant dont nous n’avons pu trouver de référence précise dans la littérature :

Lemme 2.3.1 Si une variété de Hadamard à courbure négative est à géométrie bornée, alors la croissance des horosphères est polynomiale.

Démonstration. Notons pour tout T > 0, π_{T} la projection d’une horosphère sur l’horosphère intérieure à distance T. Notons ω la forme volume sur chacune des horosphères, d_{H} la distance intrinsèque sur l’horosphère H, et B(R, x) la boule de centre x de rayon R sur une horosphère passant par x; les hypothèses de géométrie bornée entraînent qu’il existe des nombres réels strictement positifs A, u et λ tels que :

- si x et y appartiennent à la même horosphère H,

d_{π_{u}(H)}(π_{u}(x), π_{u}(y)) ≤ \frac{1}{2}d_{H}(x, y) ;

- pour tout x ∈ M, nous avons ∫_{B(1,x)} ω ≤ A;
- π_{−u}^{∗}ω ≤ λω.

Nous en déduisons immédiatement que la croissance du volume des boules est polynomiale :

V ol(B(2^{n}, x)) ≤ ∫_{B(1,π_{nu}(x))} π_{−nu}^{∗}ω ≤ Aλ^{n}.⋄

2.3.3 Convergence de sous-variétés immergées

Par définition, une variété immergée pointée est un quadruplet de la forme Q = (N, x, f, M) où x est un point d’une variété N, f une immersion de N dans une variété riemannienne M. Une suite de variétés immergées

{Q_{n} = (N_{n}, x_{n}, f_{n}, M_{n})}_{n∈ℕ},

converge C^{∞} sur tout compact vers une variété immergée Q_{∞} = (N_{∞}, x_{∞}, f_{∞}, M_{∞}) si :

(i) la suite de variétés pointées {(M_{n}, f_{n}(x_{n}))}_{n∈ℕ} converge vers la variété pointée (M_{∞}, f_{∞}(x_{∞})) ; (ii) la suite de variétés pointées {(N_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ}, où N_{n} est munie de la mét-

rique induite par f_{n}, converge vers {(N_{∞}, x_{∞})}, où N_{∞} est munie de la métrique induite par f_{∞};

(ii) {f_{n}}_{n∈ℕ} converge vers f_{∞} sur tout compact au sens où on l’imagine.

Une variété immergée (N, x, f, M) est dite à géométrie bornée si pour toute suite {x_{n}}_{n∈ℕ} la suite {(N, x_{n}, f, M)}_{n∈ℕ} admet une sous-suite convergente.

Plus généralement, nous dirons qu’une suite de variétés immergées

{(N_{n}, x_{n}, f_{n}, M_{n})}_{n∈ℕ},

est à géométrie bornée si pour toute suite de points {y_{n} ∈ N_{n}}_{n∈ℕ}, la suite

{(N_{n}, y_{n}, f_{n}, M_{n})}_{n∈ℕ},

possède une sous-suite convergente.

Lorsque la variété ambiante M est sous-entendue, nous abrégerons souvent le quadruplet (N, x, f, M) décrivant une variété immergée, en une paire (N, x) en confondant ainsi de manière abusive N et son image.

2.4 Surfaces horosphériques, surface tubulaires

Dans ce paragraphe, M sera toujours une variété d’Hadamard de dimension 3 à géométrie bornée.

2.4.1 Surfaces horosphériques, pseudo-horosphères

Par définition, une surface horosphérique est une surface Σ convexe complète plongée, pour laquelle il existe une fonction de Busemann h vérifiant les deux conditions suivantes :

(i) h est majorée sur Σ et atteint son maximum ;

(ii) le gradient de h est partout transverse à Σ.

Une suite de surfaces immergées {(S_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ} est dite de type horosphérique s’il existe une suite de points {y_{n} ∈ S_{n}}_{n∈ℕ} telle que {(S_{n}, y_{n})}_{n∈ℕ} possède une sous-suite qui converge vers une surface horosphérique.

Une surface immergée (Σ, x) est dite horosphérique à l’infini s’il existe une suite de points {x_{n}}_{n∈ℕ} de Σ telle que {(Σ, x_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une surface horosphérique.

Nous dirons qu’une surface convexe complète S plongée dans M est une pseudo-horosphère si l’application de Gauss-Minkowski définie de S dans ∂_{∞}M par

x ↦ exp(+∞n⃗(x)),

est une bijection sur ∂_{∞}M privé d’un point.

Une surface horosphérique est une pseudo-horosphère. La réciproque est donnée par le lemme suivant :

Lemme 2.4.1 Dans une variété à géométrie bornée, une pseudo-horosphère à géométrie bornée est horosphérique à l’infini.

Démonstration. Soit y ∈ ∂_{∞}M le point évité par l’application de Gauss-Minkowski de la pseudo-horosphère S. Soit B l’ensemble convexe bordé par S. D’après les constructions de M. Anderson [1], on peut en particulier construire une suite de convexes {C_{n}}_{n∈ℕ} ayant les propriétés suivantes :

(i) ∂_{∞}C_{n} est un voisinage de y;

(ii) {C_{n}}_{n∈ℕ} converge au sens de Hausdorff dans le compactifié de M vers y.

Soit maintenant d_{n} la fonction distance à C_{n} ∩ B. D’après la condition (i), S \ C_{n} est relativement compacte ; ainsi d_{n} atteint son maximum sur S en un point x_{n}. D’après la condition (ii), {d_{n}(x_{n})}_{n∈ℕ} tend vers +∞.

Considérons la suite {(S, x_{n})}_{n∈ℕ} de surfaces immergées dans la suite de variétés riemanniennes pointées {(M, x_{n})}_{n∈ℕ}. Puisque S est à géométrie bornée, la suite {(S, x_{n})}_{n∈ℕ} va converger vers une surface (S_{∞}, x_{∞}) immergée dans une variété (M_{∞}, x_{∞}). La suite de fonctions d_{n} − d_{n}(x_{n}) va alors converger vers une fonction de Buseman sur M_{∞}, majorée sur S, atteignant son maximum en x_{∞} et dont le gradient est dirigé vers l’extérieur de S_{∞}. La surface S_{∞} est donc de type horosphérique, S est bien horosphérique à l’infini.⋄

2.4.2 Surfaces tubulaires, tubes

Notons d_{γ} la distance à la géodésique γ. Par définition, une surface tubulaire est une surface localement convexe complète immergée Σ, pour laquelle il existe une géodésique γ telle que :

(i) d_{γ} est bornée sur Σ ; (ii) le gradient u de d_{γ} est dirigé vers l’extérieur de Σ, c’est-à-dire ⟨u, n⃗⟩ ≥ 0,

où n⃗ est le champ de vecteurs normal extérieur.

Remarquons que la surface est convexe, et que les lignes de gradient de d_{γ} sont des géodésiques, dès lors, la condition (ii) est équivalente à la condition ⟨u, n⃗⟩ > 0.

Une suite de surfaces immergées est dite de type tubulaire si elle possède une sous-suite qui converge vers une surface tubulaire.

Une surface immergée (Σ, x) est dite tubulaire à l’infini s’il existe une suite de points {x_{n}}_{n∈ℕ} de Σ telle que {(Σ, x_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une surface tubulaire.

Enfin, le tube d’une géodésique γ est défini par

n⃗(γ) = {u ∈ UM/⟨u, γ̇⟩ = 0}.

2.4.3 Remarque

Etre de type horosphérique, tubulaire, horosphérique ou tubulaire à l’infini pour {(S_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ} ou (S, x) est une propriété qui ne dépend que de {S_{n}}_{n∈ℕ} et S respectivement et ne fait pas intervenir les points choisis sur ces surfaces.

2.5 Principe du maximum géométrique et applications

L’énoncé suivant est évident. Nous l’appelerons principe du maximum géométrique :

Lemme 2.5.1 Soit S_{1} et S_{2} deux surfaces convexes tangentes en un point x. Soit k_{i} la courbure extrinsèque de S_{i}. Supposons que S_{1} est à l’intérieur de S_{2} au voisinage de x. Alors k_{1}(x) ≥ k_{2}(x).

En voici quelques conséquences. Supposons que la courbure de M est plus petite que −c < 0. Soit k tel que 0 < k < c. Nous avons :

Proposition 2.5.2 Si S est une k-surface compacte telle que ∂S est inclus dans une boule B, alors S toute entière est incluse dans cette boule.

Démonstration. Montrons tout d’abord que toute sphère a une courbure plus grande que c.

Nous utiliserons la proposition 3.1.1. Soit S^{r} la sphère de rayon r; soit λ_{i}^{r} les valeurs propres de l’opérateur deuxième forme fondamentale de S^{r}, associées aux vecteurs propres e_{i}^{r}; soit k_{i}^{r} les courbures sectionnelles des plans perpendiculaires à S^{r} passant par e^{i}. D’après les propositions 3.1.1 et 3.2.1, la courbure κ_{r} de la sphère de rayon r vérifie l’équation

\frac{dκ_{r}}{dr} = −κ_{r}(λ_{2}^{r}(1 + \frac{k_{1}^{r}}{κ_{r}}) + λ_{1}^{r}(1 + \frac{k_{2}^{r}}{k_{r}})).

De l’inégalité

\frac{dκ_{r}}{dr} ≥ (κ_{r} − c)(−λ_{1}^{r} − λ_{2}^{r}),

on déduit κ_{r} ≥ c.

Terminons la démonstration par l’absurde. Si S n’est pas incluse dans B, on peut construire une sphère à laquelle S est tangente intérieurement. Ceci contredit le principe du maximum.⋄

Le même raisonnement montre :

Proposition 2.5.3 Une k-surface ne peut-être horosphérique.

2.6 Domination

Soit Σ une surface lentille pour S. Soit f sa fonction associée définie sur l’adhérence d’un ouvert U du normal étendu N_{Σ} à Σ. Notons Ā l’adhérence d’un ensemble A dans N_{Σ}. Par définition, Σ domine la surface Σ_{1}, si

- il existe un ouvert V de U tel que V̄ ⊂ U

- il existe une fonction positive ou nulle g définie sur V̄, telle que

∀x ∈ V, g(x) ≤ f(x)
∀x ∈ V̄ \ V, g(x) = f(x)

- Σ_{1} est le graphe de g sur V.

Dans le cas où la fonction g est strictement positive, nous dirons que Σ domine strictement la surface Σ_{1}.

On montre aisément :

Lemme 2.6.1 Soit Σ une surface lentille pour S, {S_{t}}_{t∈[0,1]} une famille d’ouverts à bord de S et {Σ_{t}}_{t∈[0,1]} une famille de surfaces lentilles pour S_{t}, alors :

(i) l’ensemble des t tels que Σ domine strictement Σ_{t} est ouvert ; (ii) si pour tout t, t ∈]0, 1], Σ domine strictement Σ_{t} alors on a l’alterna-

tive :

– soit Σ domine strictement Σ_{0};

– soit Σ est tangente intérieurement à Σ_{0} en un point intérieur à Σ.

3 Variations infinitésimales et déformations

Le but essentiel de cette section est le lemme suivant :

Lemme 3.0.2 Soit M à courbure strictement plus petite que −k < 0. Soit Σ une k-surface compacte à bord ∂Σ. Soit {c_{t}}_{t∈[0,1]}, une famille continue de déformations de ∂Σ telle que c_{0} = ∂Σ. Soit k(t) une fonction C^{∞} de t telle que k(0) = k. Il existe alors une unique famille de k(t)-surfaces immergées {Σ^{t}}, pour t au voisinage de 0, telle que Σ^{0} = Σ et ∂Σ^{t} = c^{t}.

De plus, s’il existe une famille immergée de surfaces {S^{t}}_{t∈[0,1]} vérifiant c_{t} = ∂S^{t}, telle que Σ est lentille pour S^{0}, alors Σ^{t} est lentille pour S^{t} au voisinage de 0.

Enfin, si S^{t} ⊂ S^{s} pour t ≥ s et k(t) est croissante, alors Σ domine Σ^{t}, pour t au voisinage de 0. Si de plus S^{t} ≠ S^{0} ou bien k(t) est strictement croissante, alors Σ domine strictement Σ^{t} pour t au voisinage de zéro.

La démonstration de cette proposition repose sur un résultat de déformation infinitésimale que nous allons maintenant présenter.

Soit S ⊂ M une surface compacte immergée à bord. Notons C_{0}^{∞}(S) l’espace des fonctions C^{∞} définies sur S et nulles sur le bord. Notons n⃗ le champ de vecteurs normal extérieur à S.

A toute fonction f ∈ C^{∞}(S), on peut associer une variation de surfaces définie pour t suffisamment petit par les immersions s_{t}^{f} :

\{ \begin{matrix}S & ⟶ & M, \\ x & ⟼ & exp(tfn⃗(x)) = s_{t}^{f}(x). \end{matrix}

Désignons par k_{t}^{f}(x) la courbure extrinsèque à la surface s_{t}^{f}(S) au point s_{t}^{f}(x). L’opérateur L de variation infinitésimale de courbure extrinsèque est alors :

\{ \begin{matrix}C_{0}^{∞}(S) & ⟶ & C^{∞}(S), \\ f & ⟼ & L(f) = \frac{d}{dt} |_{t=0}k_{t}^{f}. \end{matrix}

Nous montrerons :

Proposition 3.0.3 Soit k un réel positif. Soit M à courbure strictement plus petite que −k. Si S est à courbure extrinsèque strictement comprise entre 0 et k, alors l’opérateur L est elliptique et inversible.

Dans cette section, nous expliciterons tout d’abord l’opérateur L, puis démontrerons la proposition 3.0.3 en utilisant le principe du maximum. Enfin nous montrerons le lemme 3.0.2.

3.1 Explicitation de l’opérateur L

Calculons explicitement l’opérateur L pour une surface quelconque S. Notons :

– ∇ la connexion de Levi-Civita de M ;

– R son tenseur de courbure ;

– n⃗ le vecteur normal à S;

– W l’endomorphisme de T S défini par W (u) = R(n⃗, u)n⃗;

– κ la courbure extrinsèque de S;

– B l’opérateur deuxième forme fondamentale de S défini par B(u) = ∇_{u}n⃗

– Hess(f) la hessienne d’une fonction f.

Proposition 3.1.1 Nous avons

L(f) = κ(−trace(Hess(f) ∘ B^{−1}) + ftrace(W ∘ B^{−1}) − ftrace(B)).

Démonstration. Donnons tout d’abord le cadre de ce calcul. Considérons la famille d’immersions s_{t}^{f} comme une application s^{f} de S ×ℝ dans M. Identifions S à S ×{0}. Sur le fibré E induit de T M par s^{f}, notons par abus de langage ∇ la connexion induite de la connexion de Levi-Civita de M. Nous pouvons maintenant voir T s^{f} = F, comme une section de T S^{∗} ⊗ E. Bien sûr d^{∇}F = 0 et F (\frac{∂}{∂t}) = fn⃗ le long de S = S × {0}.

Tout champ de vecteurs u sur S donne canoniquement naissance à un champ de vecteurs noté également u sur S × ℝ qui commute avec le champ \frac{∂}{∂t}. Considérons également n⃗_{t} le champ de vecteurs normal à S_{t} = s_{t}^{f}(S), et n⃗ la section de E qui s’en déduit. Par abus de notation, si v est une section de ce fibré E, nous noterons

\frac{dv}{dt} |_{t=0}(x) = (∇_{\frac{∂}{∂t}} v)(x, 0).

Soit A, la section de T S^{∗} ⊗ E définie par

A(u) = ∇_{u}n⃗.

Un premier calcul donne

\frac{dF (u)}{dt}|_{t=0} = ∇_{u}(fn⃗) = df(u).n⃗ + fA(u).

Notons ⟨, ⟩ la métrique de M et celle qui s’en déduit sur E. Nous avons

0 = \frac{d⟨n⃗, F (u)⟩}{dt}|_{t=0} = ⟨\frac{dn⃗}{dt}|_{t=0}, F (u)⟩ + ⟨n⃗, \frac{dF (u)}{dt}|_{t=0}⟩.

Nous en tirons facilement

\frac{dn⃗}{dt}|_{t=0} = F (−∇f).

Nous obtenons ainsi

\frac{dA(u)}{dt}|_{t=0} = ∇_{\frac{∂}{∂t}} ∇_{u}n⃗
= R(\frac{∂}{∂t}, u)n⃗ + ∇_{u}∇_{\frac{∂}{∂t}} n⃗
= fR(n⃗, u)n⃗ − ∇_{u}∇f.

Soit g la métrique induite sur T S par F, c’est-à-dire définie par

g(u, u) = ⟨F (u), F (u)⟩,

et B l’endomorphisme de T S défini par

g(B(u), u) = ⟨A(u), u⟩.

Rappelons que nous voulons calculer

L(f) = \frac{ddet(B)}{dt}|_{t=0}.

Pour cela utilisons le fait que

\frac{dg(u, u)}{dt}|_{t=0} = 2f⟨A(u), F (u)⟩ = 2fg(B(u), u).

En dérivant l’équation g(B(u), u) = ⟨A(u), u⟩, nous obtenons

g(\frac{dB(u)}{dt}|_{t=0}, u)

= ⟨\frac{dA(u)}{dt}|_{t=0}, u⟩ − fg(B(u), B(u))
= f⟨R(n⃗, u)n⃗, u⟩ − ⟨∇_{u}∇f, u⟩ − fg(B(u), B(u)).

Et donc

\frac{dB}{dt} |_{t=0} = fR(n⃗, u)n⃗ − Hess(f) − fB^{2}.

La formule classique

\frac{d log(det(B))}{dt}|_{t=0} = trace(\frac{dB}{dt} |_{t=0} ∘ B^{−1}),

nous donne la proposition.⋄

On déduit des formules démontrées dans ce paragraphe les conséquences suivantes :

Corollaire 3.1.2 Supposons que M ait une courbure plus petite que −c. Les sphères et les horosphères de M ont alors une courbure plus grande que c. De plus, si S est une surface convexe, pour tout k < c, il existe R indépendant de S tel que la surface S_{R} = exp(Rn⃗(S)) ait ses courbures principales plus grandes que k^{1/2} et en particulier sa courbure plus grande que k.

3.2 Démonstration de la proposition 3.0.3

Si κ est strictement positif, B est défini positif. En particulier, L est elliptique d’indice nul. Pour conclure, il suffit de démontrer que L est injectif. La proposition suivante et le principe du maximum permettent de conclure :

Proposition 3.2.1 Le terme de degré zéro de la formule donnée dans la proposition 3.1.1 est strictement positif :

J = trace(W ∘ B^{−1}) − trace(B) > 0.

Démonstration. Soit (e_{1}, e_{2}) la base de vecteurs propres de B associée aux valeurs propres λ_{1} et λ_{2}. Soit k_{i} la courbure du plan engendré par n⃗ et e_{i}. On a

J = −\frac{k_{1}}{λ_{1}} − \frac{k_{2}}{λ_{2}} − λ_{1} − λ_{2}
= 1 − λ_{2}(1 + \frac{k_{1}}{κ}) − λ_{1}(1 + \frac{k_{2}}{κ}) > 0. ⋄

3.3 Démonstration du lemme 3.0.2

Procédons par étapes et intéressons-nous tout d’abord au problème infinitésimal. Une variation infinitésimale de S^{t} est un champ de vecteurs ζ le long de S^{t} qui s’écrit sous la forme

ζ = fn⃗ + u,

où u ∈ T S, f ∈ C^{∞}(S^{t}), et qui vérifie la condition au bord

∀x ∈ ∂S, ζ(x) = \frac{d}{dt}c_{t}(x).

Ici, nous voyons abusivement c_{t} comme une famille d’immersions de ∂Σ dans M.

Pour une surface de courbure extrinsèque κ, la variation infinitésimale de courbure extrinsèque associée à une telle variation ζ est

L(f) + dκ(u),

où L est l’opérateur de la proposition 3.0.3. Pour résoudre infinitésimalement notre problème, nous devons donc montrer qu’il existe une unique fonction f telle que

L(f) = 0,

avec la condition au bord

∀x ∈ ∂S, f(x) = ⟨\frac{d}{dt}c_{t}(x), n⃗⟩.

L’existence et l’unicité de f découlent de la proposition 3.0.3. Nous pouvons maintenant utiliser le théorème d’inversion locale pour les opérateurs elliptiques pour résoudre notre problème localement, c’est-à-dire construire au voisinage de 0 une unique famille t ↦ Σ^{t}, continue en t, de k-surfaces vérifiant Σ^{0} = Σ et ∂Σ^{t} = c_{t}.

Plaçons-nous maintenant dans le cadre de la deuxième partie du lemme 3.0.2. Le lemme 2.2.2 nous permet de montrer que Σ^{t} est lentille pour S^{t}.

Enfin S^{t} ⊂ S^{0} pour t ≥ 0, la proposition 3.2.1 assure donc que la fonction f décrivant la variation infinitésimale de Σ est positive : dans le cas d’une surface lentille nous avons ⟨\frac{d}{dt}c^{t}(x), n⃗⟩ > 0. Ainsi Σ domine Σ^{t} pour t positif et suffisamment petit.

4 Théorème de compacité

Nous allons dans cette section énoncer et démontrer le théorème de compacité qui nous sera utile par la suite.

Théorème 4.0.1 Soit M une variété d’Hadamard à géométrie bornée et à courbure plus petite que −c < 0. Soit {(S_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ} une suite de surfaces convexes immergées à courbure extrinsèque plus grande que c, convergeant vers (S_{∞}, x_{∞}). Supposons que cette suite est à géométrie bornée et n’est pas de type horosphérique.

Soit k appartenant à l’intervalle ]0, c[. Soit {k_{n}}_{n∈ℕ} une suite de nombre réels convergeant vers k. Pour tout n, soit Σ_{n} une k_{n}-surface lentille pour S_{n}. Notons y_{n} ∈ Σ_{n} le pied de x_{n}.

Nous avons alors les trois possibilités suivantes :

(i) S_{∞} n’est pas tubulaire à l’infini ; alors, après extraction d’une soussuite, la suite de surfaces pointées {(Σ_{n}, y_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une ksurface lentille non dégénérée pour S_{∞};

(ii) S_{∞} n’est pas tubulaire, tout en étant tubulaire à l’infini ; alors après extraction d’une sous-suite, la suite de surfaces pointées {(Σ_{n}, y_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une k-surface lentille éventuellement dégénérée pour S_{∞};

(iii) S_{∞} est tubulaire pour une géodésique γ; alors la suite de surfaces pointées {(n⃗(Σ_{n}), n⃗(y_{n}))}_{n∈ℕ} converge après extraction d’une sous-suite vers le tube de γ.

Nous allons tout d’abord rappeler les résultats principaux de [3] et leurs conséquences sur ce que nous appellerons le problème de Dirichlet pour les k-surfaces. Ensuite, nous appliquerons ces résultats pour démontrer le théorème 4.0.1.

4.1 Rappels sur les problèmes de Monge-Ampère

4.1.1 Définitions

Dans [3], nous avons étudié une classe de problèmes, appelée de Monge-Ampère. Les k-surfaces en sont un exemple. De plus, nous y avons défini une classe de problèmes à bord convexe. Cette dernière classe correspond dans notre contexte au problème de Dirichlet dont nous allons maintenant donner la définition.

Un problème de Dirichlet pour les k-surfaces est la donnée d’un quadruplet (M, S, c, x), où c est une courbe plongée compléte, tracée sur une surface plongée S localement convexe, incluse dans une variété riemannienne M. Le point x ∈ M sert seulement à donner un sens à la notion de convergence pour une suite de problèmes de Dirichlet.

Une solution du problème de Dirichlet est une k-surface Σ complète connexe immergée passant par x telle que :

– le ∂Σ de Σ est inclus dans c;

– Σ est intérieure à S le long de c.

Une solution dégénérée est une k-surface Σ telle que

– son bord ∂Σ est complet et inclus dans c;

– Σ est intérieure à S le long de c;

– la surface n⃗(Σ) ⊂ UM est complète, sans que Σ le soit.

Remarquons que dans ce cas, toute surface équidistante de Σ est complète.

Pour des raisons techniques, il nous faut introduire la définition suivante : si U est un ouvert de M contenant x, le problème (U, S ∩ U, c ∩ U, x) sera appelé problème restreint à U. Alors, la restriction à U d’une solution Σ définie sur M est la composante connexe de Σ ∩ U contenant x.

4.1.2 Remarques

(i) Un tube est une surface rideau au sens de [3] .

(ii) Une k-surface Σ lentille pour S est un cas particulier de solution du problème de Dirichlet défini par S et ∂S.

(iii) Si la courbure moyenne d’une solution est bornée, alors la solution est non dégénérée.

(iv) Nous serons amener à considérer des problèmes de Dirichlet (M, S, c, x) et des solutions Σ pour lesquels S, c ou ∂Σ sont vides.

4.1.3 Compacité

Soit ε > 0 et Δ = (M, S, c, x) un problème de Dirichlet. Notons Δ^{ε} le problème restreint à la boule ouverte de centre x de rayon ε. De même, Σ^{ε} désignera la restriction d’une solution Σ à cette boule.

Le résultat principal de l’article [3] se traduit dans le cas des k-surfaces par :

Théorème 4.1.1 Soit {Δ_{n} = (M_{n}, S_{n}, c_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ} une suite de problèmes de Dirichlet convergeant C^{∞} sur tout compact vers un problème de Dirichlet

Δ_{∞} = (M_{∞}, S_{∞}, c_{∞}, x_{∞}).

Soit {k_{n}}_{n∈ℕ} une suite de nombres réels convergeant vers k ∈]0, c[. Soit {Σ_{n}}_{n∈ℕ} une suite de k_{n}-solutions, éventuellement dégénérées de {Δ_{n}}_{n∈ℕ}. Il existe alors ε > 0, pour lequel nous avons l’alternative suivante, après extraction d’une sous-suite :

(a) soit {Σ_{n}^{ε}}_{n∈ℕ} converge vers une k-solution, éventuellement dégenérée, du problème de Dirichlet Δ_{∞}^{ε};

(b) soit {n⃗(Σ_{n}^{ε})}_{n∈ℕ} converge vers un tube. Dans ce cas, à partir d’un certain rang ∂Σ_{n}^{ε} = ∅.

Les corollaires suivants de ce théorème sont particuliers à la courbure négative :

Corollaire 4.1.2 Soit {Δ_{n} = (M_{n}, S_{n}, c_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ} une suite de problèmes de Dirichlet convergeant C^{∞} sur tout compact vers un problème de Dirichlet

Δ_{∞} = (M_{∞}, S_{∞}, c_{∞}, x_{∞}).

Soit {k_{n}}_{n∈ℕ} une suite de nombres réels convergeant vers k ∈]0, c[. Pour tout n, soit Σ_{n} une k_{n}-solution, éventuellement dégénérée de Δ_{n}. Alors la suite de surfaces

W_{n} = {exp(n⃗(s)), s ∈ Σ_{n}},

pointées en exp(n⃗(x_{n})), converge C^{∞} après extraction d’une sous-suite.

Démonstration. En effet, la restriction de l’exponentielle à un tube est une immersion à valeurs dans M.⋄

Corollaire 4.1.3 Soit {(f_{n}, S)}_{n∈ℕ} une suite de surfaces immergées localement convexes convergeant C^{∞} sur tout compact vers une surface immergée (f_{0}, S). Soit {l_{n}}_{n∈ℕ} une suite de fonctions positives définies sur S dont les graphes sont des k-surfaces. On suppose que pour tout y ∈ S, la suite {l_{n}(y)}_{n∈ℕ} est bornée. Alors après extraction d’une sous-suite, la suite de fonctions {l_{n}}_{n∈ℕ} converge C^{∞} sur tout compact de S vers une fonction dont le graphe est une k-surface.

Démonstration. Il suffit pour cela d’appliquer le théorème de compacité 4.1.1 pour la suite de problèmes de Dirichlet (à bord vide) définie dans les bouts des surfaces f_{n}(S).⋄

4.2 Une première majoration

A partir de maintenant, soit {S_{n}}_{n∈ℕ} une suite de surfaces immergées pointées localement convexes à courbure extrinsèque plus grande que c, convergeant vers la surface S_{∞} à géométrie bornée. Soit k ∈]0, c[. Soit {Σ_{n}}_{n∈ℕ} une k_{n}-surface lentille pour {S_{n}}_{n∈ℕ}. Soit λ_{n} la fonction associée définie sur N_{Σ_{n}}, l’ensemble des vecteurs normaux étendus à Σ_{n}.

Montrons tout d’abord :

Proposition 4.2.1 Si la suite {S_{n}}_{n∈ℕ} n’est pas de type horosphérique, alors la suite de fonctions {λ_{n}}_{n∈ℕ} est bornée par une constante.

Démonstration. Raisonnons par l’absurde : soit Λ_{n} la borne supérieure de λ_{n}, supposons que {Λ_{n}}_{n∈ℕ} tende vers l’infini. Il existe alors deux suites de points {w_{n} ∈ S_{n}}_{n∈ℕ} et {v_{n} ∈ N_{Σ_{n}}}_{n∈ℕ}, telles que :

(i) w_{n} = exp(λ_{n}(v_{n})v_{n}) ;

(ii) la suite {λ_{n}(v_{n}) − Λ_{n}}_{n∈ℕ} tende vers zéro.

Notons S_{n}^{R} la composante connexe de l’intersection de S_{n} avec la boule ouverte de M de centre w_{n} et de rayon R. Notons U_{n} le champ de vecteurs focal le long de S_{n}.

La suite {S_{n}}_{n∈ℕ} est à géométrie bornée. En extrayant au besoin une soussuite, nous pouvons donc supposer que {S_{n}^{R}, w_{n}}_{n∈ℕ} converge. Le lemme 2.2.1 affirme que les fonctions inverses μ_{n} définies sur S_{n} sont 2-lipschtziennes. Nous pouvons donc extraire une sous-suite telle que la suite de fonctions {μ_{n} − Λ_{n}}_{n∈ℕ} converge uniformément vers une fonction 2-lipschtzienne négative g. En particulier, {μ_{n}}_{n∈ℕ} converge uniformément vers l’infini sur S_{n}^{R}.

Nous en tirons deux conséquences :

(a) notons d_{i} désigne la distance riemannienne dans S_{n}; pour tout L, il existe n_{0}, tel que si n ≥ n_{0}, alors d_{i}(y_{n}, ∂S_{n}^{R}) ≥ L; en effet, la restriction de μ_{n} au bord de Σ_{n} est nulle ;

(b) à partir d’un certain rang, pour tout t ∈]0, 2R[ et z, w ∈ S_{n}^{R}, on a d(exp(−tU_{n}(z), −tU_{n}(w)) ≤ d(z, w).

Rappelons que dans une variété à courbure négative, une hypersurface sans bord localement convexe et complète respectivement à une boule, est plongée et borde un convexe. En utilisant (a) et ce rappel, nous en déduisons que {S_{n}, v_{n}}_{n∈ℕ} converge sur tout compact vers une hypersurface plongée pointée globalement convexe (H, v).

Extrayons une sous-suite de telle sorte que {U_{n}(v_{n})}_{n∈ℕ} converge vers un vecteur U. En utilisant (b), nous déduisons que {U_{n}}_{n∈ℕ} converge sur tout compact vers le champ de gradient de la fonction de Buseman f associée à exp(−∞U). Ce champ va être transverse à H.

Par construction, f|_{H} − f(v) = g − g(v). Nous en déduisons que f|_{H} − f(v) ≤ g(v) = 0. La surface H est de donc de type horosphérique. Ceci contredit l’hypothèse.⋄

4.3 Surfaces tubulaires et tubes

Introduisons une définition intermédiaire. Soit {w_{n}}_{n∈ℕ} une suite convergente de points de {S_{n}}_{n∈ℕ}. Notons alors y_{n} ∈ Σ_{n} le point pied associé à w_{n} = exp(λ_{n}(u_{n})u_{n}) (cf 2.2.2). Soit ε le nombre réel fourni par le théorème 4.1.1 de compacité sur les problèmes de Monge-Ampère. Soit Σ_{n}^{ε} la composante connexe de Σ_{n} ∩ B(y_{n}, ε).

Nous dirons que la suite {w_{n}}_{n∈ℕ} est critique, si la suite {n⃗(Σ_{n}^{ε}), u_{n})}_{n∈ℕ} converge vers un tube autour d’une géodésique après extraction ventuelle d’une soussuite ; c’est-à-dire si nous sommes dans le deuxième cas de l’alternative du théorème 4.1.1. Par abus de langage, nous dirons alors que la suite critique converge vers n⃗(γ). D’après le théorème cité, à partir d’un certain rang, y_{n} est un point intérieur à S_{n} et u_{n} est le vecteur normal à y_{n}.

Nous démontrerons deux propositions. Nous avons tout d’abord :

Proposition 4.3.1 Si {S_{n}}_{n∈ℕ} n’est pas de type horosphérique et s’il existe une suite critique, alors la surface S_{∞} est tubulaire.

Démonstration. Raisonnons par l’absurde. Soit {w_{n}}_{n∈ℕ} une suite critique. Soit y_{n} le point pied de w_{n} dans Σ_{n}. Posons u_{n} = n⃗(y_{n}) ∈ n⃗(Σ_{n}). Par définition, après extraction d’une sous-suite, la suite de variétés immergées pointées {n⃗(Σ_{n}), u_{n}}_{n∈ℕ} converge vers un revêtement \overline{n⃗(γ)} d’un tube pointé n⃗(γ). Soit γ la géodésique associée à ce tube, et d_{γ} la fonction distance à cette géodésique.

Comme {S_{n}}_{n∈ℕ} converge, la suite de fonctions inverses {μ_{n}}_{n∈ℕ} converge sur tout compact vers la fonction d_{γ}. Ainsi d’après la proposition 4.2.1, la fonction d_{γ} restreinte à S_{∞} est bornée. Par construction, le champ de gradient de d_{γ} est dirigé vers l’intérieur de S_{∞}. Tout ceci nous dit que S_{∞} est tubulaire.⋄

Réciproquement, nous avons :

Proposition 4.3.2 Supposons que {S_{n}}_{n∈ℕ} est à géométrie bornée et n’est pas de type horosphérique. Si S_{∞} est tubulaire pour une géodésique γ, alors toute suite convergente de points de {S_{n}}_{n∈ℕ} est critique et converge vers n⃗(γ).

Démonstration. Soit γ la géodésique associée à S_{∞} et μ la fonction distance à cette géodésique. Raisonnons par l’absurde. Soit {w_{n}}_{n∈ℕ} une suite convergente de points non critique. Notons {y_{n}}_{n∈ℕ}, y_{n} ∈ Σ_{n}, la suite de points pieds associées. En utilisant le théorème 4.1.1, nous pouvons extraire une sous-suite telle que {(Σ_{n}, y_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une k-surface Σ_{∞}, éventuellement dégénérée.

La surface S_{∞} est tubulaire. La proposition 4.2.1 entraîne alors que μ est bornée sur Σ_{∞}. Soit Λ sa borne supérieure.

Soit {s_{n}}_{n∈ℕ} une suite de points de Σ_{∞} telle que μ(s_{n}) tende vers Λ. La variété M étant à géométrie bornée ainsi que la suite {S_{n}}_{n∈ℕ}, nous pouvons extraire une sous-suite telle que

{Δ_{n} = (M, s_{n}, ∂S_{n}, S_{n})}_{n∈ℕ},

converge vers Δ_{0} = (M_{0}, s_{0}, ∂S_{0}, S_{0}).

Appliquons le théorème de compacité 4.1.1 à la suite {(Σ_{∞}, s_{n})}_{n∈ℕ} que nous voyons comme solutions des problèmes de Dirichlet Δ_{n}.

Nous avons donc deux possibilités :

(a) soit {(Σ_{∞}, s_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une k-surface, éventuellement dégénérée ;

(b) soit {(n⃗(Σ_{∞}), n⃗(s_{n}))}_{n∈ℕ} converge vers un tube n⃗(γ̄).

Eliminons d’abord (b). Puisque μ est bornée sur Σ_{∞}, γ̄ et γ sont à distance bornée l’une de l’autre. Ces deux géodésiques sont donc confondues. Autrement dit, Λ est nulle. Ainsi, la restriction de μ à Σ_{∞} est nulle. Ceci est impossible pour une k-surface.

Eliminons maintenant (a). Supposons donc que {(Σ_{∞}, s_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une k-surface (Σ̄_{∞}, s_{∞}), peut-être dégénérée. Par construction, μ restreinte à Σ̄_{∞} atteint son maximum en s_{∞}. Ceci signifie que Σ̄_{∞} est intérieurement tangente à la surface convexe G_{Λ} à distance constante Λ de γ. Le principe du maximum géométrique fournit la contradiction : G_{Λ} est à courbure extrinsèque strictement plus grande que c.

Nous venons de montrer que toute suite convergente est critique. Par ailleurs, supposons qu’une suite critique converge vers n⃗(γ̄). La fonction μ étant bornée, les géodésiques γ̄ et γ sont confondues.⋄

4.3.1 Démonstration du théorème 4.0.1

Soit {(S_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ} une suite de surfaces pointées à courbure supérieure à c. Supposons que cette suite converge vers (S_{∞}, x_{∞}). Pour tout n, soit Σ_{n} une k-surface lentille pour S_{n} et y_{n} le pied de x_{n}. On suppose que la suite {S_{n}}_{n∈ℕ} n’est pas de type horosphérique et est à géométrie bornée.

Si S_{∞} est tubulaire, la proposition 4.3.2 donne précisément le cas (iii) de 4.0.1. Supposons maintenant que S_{∞} n’est pas tubulaire. D’après la proposition

4.3.1, aucune suite convergente de points de {S_{n}}_{n∈ℕ} n’est critique. Le théorème 4.1.1 entraîne que la suite {Σ_{n}, y_{n}}_{n∈ℕ} converge vers une solution (éventuellement dégénérée) Σ_{∞} du problème de Dirichlet pour S_{∞}. Il reste à montrer que Σ_{∞} est lentille pour S_{∞}.

Notons comme précédemment {λ_{n}}_{n∈ℕ} la suite de fonctions associées convergeant vers λ_{∞}. Notons u le vecteur normal intérieur à ∂S_{∞} dans S_{∞} et n⃗ le champ de vecteurs normal extérieur à Σ_{∞}. Pour conclure il suffit de démontrer :

(a) λ_{∞} est strictement positive sur S_{∞};

(b) ⟨u, n⃗⟩ > 0 le long de ∂S_{∞}.

La démonstration de (a) est simple : les fonctions λ_{n} sont positives ou nulles et il en est donc de même pour λ_{∞}. Si maintenant λ_{∞} est nulle en un point intérieur à S_{∞}, nous en déduisons que Σ_{∞} est tangente intérieurement à S_{∞} en ce point. Ceci est impossible à cause des conditions de courbure et du principe du maximum géométrique 2.5.1.

Démontrons (b). Par passage à la limite, ⟨u, n⃗⟩ est positif ou nul le long de ∂S_{∞}. Si en un point z, nous avons ⟨u, n⃗⟩ = 0, alors les deux surfaces sont tangentes en z. Elles ne peuvent être tangentes extérieurement : si deux surfaces convexes sont tangentes extérieurement en un point, alors au moins au voisinage de ce point leur intersection est réduite à ce point. Rappelons maintenant que chaque surface S_{n} est un graphe au-dessus d’un ensemble fermé du normal étendu à Σ_{n}. Ceci va être également vrai à la limite ; puisqu’enfin en z les surfaces sont tangentes, Σ_{∞} est tangente intérieurement à S_{∞}. Ceci est impossible à cause des hypothèses de courbure et du principe du maximum géométrique.

Enfin, les propositions 4.3.1 et 4.3.2 montrent que S_{∞} est tubulaire à l’infini, si et seulement si il existe une suite {w_{n}}_{n∈ℕ} telle que {M, w_{n}}_{n∈ℕ} converge et {Σ_{∞}, w_{n}}_{n∈ℕ} est critique. En particulier, si S_{∞} n’est pas tubulaire à l’infini alors la courbure moyenne des Σ_{n} est uniformément bornée.⋄

5 Problème de Plateau pour les disques

La démonstration du lemme de Morse va se faire par étapes. La première d’entre elles est la résolution du problème de Plateau pour les disques. Le but de cette section est de démontrer un résultat plus précis :

Proposition 5.0.3 Soit S un disque compact immergé à courbure strictement plus grande que c, dans une variété d’Hadamard à courbure plus petite que −c. Alors, pour tout k ∈]0, c[, il existe une unique k-surfacee Σ lentille pour S.

De plus, si c > k_{1} ≥ k > 0, si Σ_{1} est la k_{1}-surface lentille pour un disque S_{1} ⊂ S, alors Σ domine Σ_{1} au sens de la définition 2.6.

Dans toute cette section et la suivante, M est une variété d’Hadamard de dimension 3, à géométrie bornée et à courbure plus petite que −c. De même, k est un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0, c[.

Nous allons utiliser une méthode de déformation.

5.1 Déformation contractante

Notons f_{1} l’immersion du disque S dans M. Identifions arbitrairement ce disque à la boule unité de ℝ^{2}. Soit {f_{t}}_{t∈]0,1]}, la famille d’immersions de S dans M définie par f_{t}(x) = f_{1}(tx).

Le but de ce paragraphe est de démontrer le résultat suivant :

Proposition 5.1.1 Soit Σ une k-surface lentille pour f_{1}. Soit k(t) une fonction décroissante à valeurs dans ]0, c[ telle que k(1) = k. Il existe alors une famille continue de surfaces {Σ_{t}}_{t∈]0,1]} telle que

– Σ_{1} = Σ ;

– pour tout t, Σ_{t} est une k(t)-surface lentille pour f_{t}(S) ;

– quand t tend vers 0, Σ_{t} tend vers f_{1}(0) au sens de la topologie de Hausdorff pour les compacts.

Démonstration. La proposition 3.0.2 permet de construire pour t dans un intervalle ]a, 1], une k(t)-surface Σ_{t} lentille pour f_{t}(S). Cette famille est continue et vérifie Σ_{1} = Σ. D’après la deuxième partie de cette même assertion, si t > s, alors Σ_{s} domine Σ_{t}.

Pour achever la démonstration de la première partie de la proposition 5.1.1, il reste à montrer : pour toute suite {a_{n}}_{n∈ℕ} tendant vers a par valeurs supérieures, la suite {Σ_{a_{n}}}_{n∈ℕ} converge vers une surface lentille pour f(S_{a}).

D’aprs le théorème de compacité 4.0.1, la suite {Σ_{a_{n}}}_{n∈ℕ} converge vers une k-surface, après extraction éventuelle d’une sous suite.

Par ailleurs, soit {a_{n}}_{n∈ℕ} et {ā_{n}}_{n∈ℕ} deux suites convergeant vers a par valeurs supérieures, telles que les suites {Σ_{a_{n}}}_{n∈ℕ} et {Σā_{n}}_{n∈ℕ} convergent respectivement vers Σ_{a} et Σā. Nous en déduisons que Σ_{a} domine Σā et réciproquement. Ainsi Σ_{a} = Σā, ce qui achève de démontrer que si t tend vers a par valeurs inférieures, Σ_{t} converge.

Ce dernier point termine la démonstration de la première partie de notre proposition.

La deuxième partie de la proposition découle immédiatement de la proposition 2.5.2 qui affirme : si S est une surface compacte dont le bord ∂S est inclus dans une boule B, alors toute k-surface Σ, solution du problème de Dirichlet pour S, est incluse dans la boule B.⋄

5.2 Unicité

Nous pouvons maintenant montrer :

Proposition 5.2.1 Soit S un disque compact immergé à courbure strictement plus grande que c. Soit k_{1} et k tels que 0 < k ≤ k_{1} < c. Si Σ est une k-surface lentille pour S, et Σ_{1} une k_{1}-surface lentille pour S_{1} ⊂ S, alors Σ domine Σ_{1}.

En particulier, il existe au plus une k-surface lentille pour S.

Démonstration. Considérons comme dans le paragraphe précédent, f_{1} l’immersion du disque S_{1} et {f_{t}} la famille contractante d’immersions associée ; soit de plus k(t) une fonction strictement décroissante à valeurs dans ]0, c[, telle que k_{1} = k(1).

Soit Σ_{1} comme dans l’énoncé ; d’après la proposition 5.1.1, il existe une famille de k_{t}-surfaces Σ_{t} lentilles pour f_{t}(S). Pour montrer que Σ domine Σ_{1}, il suffit de montrer que Σ domine Σ_{t} pour tout t.

En vertu du lemme de domination 2.6.1 et du principe du maximum géométrique 2.5.1, il suffit en fait de montrer qu’il existe t, tel que Σ domine strictement Σ_{t}. Ceci découle de la dernière partie de la proposition 5.1.1 : clairement, puisque Σ_{t} converge vers un point quand t tend vers 0, Σ domine Σ_{t} pour t suffisamment petit.⋄

5.3 Existence

Pour achever la démonstration de la proposition 5.0.3, il faut montrer l’existence d’une surface lentille pour le disque immergé S. Nous allons pour cela construire une nouvelle famille de déformations de ce disque.

Ce disque étant compact, il est inclus dans une boule B. Perturbons la métrique de M dans un petit ouvert U n’intersectant pas cette boule B de façon à ce que la nouvelle métrique soit toujours à courbure plus petite que −c, et que de plus elle soit à courbure constante dans une boule B_{0} ⊂ U. Ceci est toujours possible

Il suffit maintenant de montrer l’existence d’une surface lentille pour la métrique perturbée. En effet, d’après la proposition 2.5.2, cette surface lentille sera incluse dans B: elle sera donc lentille pour la métrique originelle.

Montrons le lemme technique suivant :

Lemme 5.3.1 Soit S un disque immergé à courbure extrinsèque plus grande que c. Il existe alors une déformation continue {S_{t}}_{t∈[0,1]}, telle que S_{0} = S et vérifiant

(i) pour tout t, la courbure extrinsèque de f_{t} est plus grande que c;

(ii) S_{1} ⊂ B_{0} est à courbure constante, et son bord est le bord d’un disque tracé dans un plan totalement géodésique de B_{0}.

Démonstration. Donnons une esquisse de la construction de cette déformation. Utilisons tout d’abord la déformation contractante pour déformer notre disque en un tout petit disque inclus dans le bord d’une surface convexe. Ce petit disque D_{2} va être un graphe au-dessus d’un disque topologique D_{3} sur une sphère S de petit rayon. Nous déformons ensuite D_{2} en D_{3} : si le rayon de la sphère est suffisamment petit de même que le diamètre de D_{2}, les surfaces intermédiaires vont avoir une courbure plus grande que c. Ensuite nous déformons D_{3} en un hémisphère. Enfin, nous déplaçons la sphère S de telle sorte quelle soit incluse dans B_{0} et notre manipulation est terminée.⋄

Utilisons la déformation produite par ce dernier lemme pour construire une k-surface lentille pour S.

En utilisant les équidistantes aux plans totalement géodésiques dans l’espace hyperbolique, on construit tout d’abord une k-surface lentille pour S_{1}.

Le lemme 3.0.2 permet de construire une famille continue de k-surfaces {Σ_{t}} lentilles pour {S_{t}}, pour t dans un intervalle maximal ]a, 1]. Le théorème de compacité 4.0.1 et l’unicité 5.2.1, entraînent que Σ_{t} converge lorsque t tend vers a; ainsi a = 0 et la démonstration est terminée.

6 Démonstration du lemme de Morse pour les surfaces convexes

Le but de cette section est la démonstration du lemme de Morse pour les surfaces convexes dont nous rappelons l’énoncé.

Lemme 6.0.2 Soit M une variété d’Hadamard à géométrie bornée et à courbure strictement plus petite que −c < 0. Soit S une surface localement convexe, éventuellement à bord, à courbure plus grande que c, à géométrie bornée. On suppose que S n’est ni horosphérique à l’infini, ni tubulaire, ni compacte sans bord. Alors, pour tout k ∈]0, c[, il existe une unique k-surface lentille, éventuellement dégénérée, pour S.

De plus, si S n’est pas tubulaire à l’infini, cette k-surface est non dégénérée.

Il suffit de démontrer ce résultat quand S est un disque topologique : dans le cas général, on passe au revêtement universel et on utilise l’unicité pour conclure.

Nous supposerons dans toute la suite de cette section que M est une variété d’Hadamard à géométrie bornée de dimension 3 et à courbure plus petite que −c. De même, S est un disque localement convexe, éventuellement à bord, à courbure plus grande que c, à géométrie bornée et qui n’est ni horosphérique à l’infini, ni tubulaire.

Le lemme de Morse est une conséquence immédiate des deux propositions suivantes 6.1.1 et 6.2.1, traitant successivement de l’existence et de l’unicité d’une k-surface lentille pour S.

6.1 Existence

Nous allons montrer la proposition :

Proposition 6.1.1 Il existe une k-surface Σ lentille pour S, telle que pour toute k-surface Σ̄ lentille pour S, Σ̄ domine Σ. De plus, si S n’est pas tubulaire à l’infini, Σ est non dégénérée.

Démonstration. Soit {S_{t}}_{t∈]0,1]} une famille continue de disques inclus dans S vérifiant :

(i) S_{1} = S;

(ii) S_{t} est compacte à bord pour t ≠ 1;

(iii) S_{t} ⊂ S_{s} si t ≤ s;

(iv) S_{t} converge vers un point x_{0} quand t tend vers 0.

La proposition 5.0.3 permet de construire une famille {Σ_{t}}_{t∈]0,1]} de k-surfaces lentilles pour S_{t}. Par ailleurs, d’après le théorème de compacité 4.1.1, on peut extraire une suite {t_{n}}_{n∈ℕ} tendant vers 1, telle que {Σ_{t_{n}}, y_{n}}_{n∈ℕ} converge quand n tend vers l’infini vers une k-surface Σ pointée lentille pour S. Ici, y_{n} désigne le pied de x_{0} dans Σ_{t_{n}}.

Si maintenant \overline{Σ} est une autre surface lentille pour S, il est clair que \overline{Σ} domine Σ_{t} pour t petit. Ensuite le lemme 2.6.1 et le principe du maximum 2.5.1 assure que \overline{Σ} domine strictement Σ_{t} pour tout t. Ainsi \overline{Σ} domine Σ.⋄

6.2 Unicité

L’unicité d’une k-surface lentille pour S découle immédiatement de la proposition précédente 6.1.1 et de l’assertion suivante :

Proposition 6.2.1 Si Σ_{1} et Σ_{2} sont deux k-surfaces lentilles pour S telles que Σ_{1} domine Σ_{2}, alors Σ_{1} = Σ_{2}.

Démonstration. Soit N_{Σ_{1}} le fibré normal étendu à Σ_{1}. Soit F l’immersion naturelle de M_{1} = N_{Σ_{1}} × ℝ^{+} dans M qui à (n⃗, t) associe exp(tn⃗). Notons μ la fonction de M_{1} qui a (n⃗, t) associe t, G_{λ} la surface localement convexe de niveau λ pour la fonction μ, et enfin π la projection de M_{1} dans Σ_{1}.

Par définition, puisque Σ_{1} domine Σ_{2}, nous pouvons trouver une immersion i de Σ_{2} dans M_{1}, telle que F ∘ i est l’immersion initiale de Σ_{2}.

Confondons Σ_{2} et son image dans M_{1}. Notre but est de montrer que μ restreinte à Σ_{2} est nulle.

Supposons donc le contraire. Soit Λ la borne supérieure strictement positive de μ sur Σ_{2}. Remarquons que Λ est fini puisque Σ_{2} est entre Σ_{1} et S, et que S est un graphe borné au-dessus de Σ_{1}. Soit {w_{n}}_{n∈ℕ} une suite de points de Σ_{2}, telle que {μ(w_{n})}_{n∈ℕ} converge vers Λ.

Extrayons de {w_{n}}_{n∈ℕ} une sous-suite telle que la suite {(M, w_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une variété (M_{∞}, w_{∞}). Soit π la projection naturelle de M_{1} dans Σ_{1}. Soit z_{n} = π ∘ i(w_{n}). Utilisons le théorème de compacité 4.1.1 pour extraire de la suite {w_{n}}_{n∈ℕ} une sous-suite telle que les deux suites {(Σ_{1}, z_{n})}_{n∈ℕ} et {(Σ_{2}, w_{n})}_{n∈ℕ} convergent. En ce qui concerne {(Σ_{1}, z_{n})}_{n∈ℕ}, nous avons comme toujours deux possibilités :

- soit {(Σ_{1}, z_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une k-surface ;
- soit {(n⃗(Σ_{1}), n⃗(z_{n}))}_{n∈ℕ} converge vers un tube.

Néanmoins, dans ces deux cas, puisque Λ est strictement positif, la suite de surfaces convexes pointées

{(G_{Λ}, exp(Λn⃗(z_{n}))}_{n∈ℕ},

converge vers une surface strictement convexe lisse à courbure strictement plus grande que k.

Examinons maintenant {(Σ_{2}, w_{n})}_{n∈ℕ}, nous avons aussi deux cas.

– Soit {Σ_{2}, w_{n}}_{n∈ℕ} converge vers une k-surface ; d’après notre construction cette k-surface est alors tangente intérieurement à G_{Λ} ; ceci contredit le principe du maximum géométrique 2.5.1 ;

– Soit {n⃗(Σ_{2}), n⃗(w_{n})}_{n∈ℕ} converge vers un tube n⃗(γ) ; la géodésique γ est alors tangente intérieurement à G_{Λ} qui est strictement convexe ; ceci est impossible.

Ainsi Λ est nul, et la démonstration est terminée.⋄

7 Problèmes asymptotiques

A partir de maintenant et dans toute la suite, M est une variété d’Hadamard de dimension 3 à géométrie bornée et à courbure plus petite que −1.

Rappelons la définition du problème de Plateau asymptotique : soit k ∈]0, 1[ ; soit i un homéomorphisme local d’une surface S dans le bord à l’infini ∂_{∞}M de M ; nous cherchons une immersion f de S dans M, telle que :

(i) f(S) est une k-surface sans bord (éventuellement dégénérée) ; (ii) si N est l’application de Gauss-Minkowski de f(S) dans ∂_{∞}M qui a un

point associe le point à l’infini de la normale extérieure, alors

i = N ∘ f.

Le couple (i, S) est la donnée de ce problème de Plateau asymptotique, ou plus simplement le problème de Plateau asymptotique. De même, le couple (f, S), ou plus simplement f, est une solution de ce problème. Pour éviter d’alourdir les notations, le nombre k est sous-entendu.

Nous allons résoudre ce problème tout d’abord dans le cas où S est le disque ouvert et où f s’étend en un plongement du disque fermé. Nous utiliserons ce résultat pour montrer l’unicité de la solution du problème de Plateau, puis l’existence dans les cas qui nous intéressent.

7.1 Disques plongés

Nous voulons montrer :

Lemme 7.1.1 Soit D le disque ouvert. Soit f un plongement du disque fermé D̄ dans ∂_{∞}M. Alors il existe une unique k-surface plongée solution du problème de Plateau asymptotique (f, D).

Démonstration. Soit S_{0} le bord de l’enveloppe convexe de ∂_{∞}M \ f(D). D’après M. Anderson [1], le bord à l’infini de S_{0} coïncide avec f(\overline{D} \ D).

Soit S_{ε} la surface à distance constante ε de S_{0}. D’après le corollaire 3.1.2, on peut choisir ε de telle sorte que la surface S_{ε} ait une courbure strictement plus grande que k. Remarquons que dans cette situation l’application de Gauss-Minkowski est un homéomorphisme de S_{ε} sur f(D).

La k-surface Σ_{k} lentille pour S_{ε} produite par le lemme de Morse 6.0.2 est alors une solution du problème asymptotique. Il s’agit maintenant de montrer l’unicité de cette solution appelée pour le moment canonique. Soit Σ̄_{k} une autre solution. Nous voulons montrer que Σ̄_{k} = Σ_{k}.

Raisonnons en deux temps.

(i) Les trois surfaces Σ̄_{k}, Σ_{k} et S_{0} bordent des convexes que nous noterons Ō_{k}, O_{k} et U_{0} respectivement. Nous voulons montrer que Σ̄_{k} se trouve à l’extérieur de Σ_{k}, c’est-à-dire que O_{k} ⊂ Ō_{k}.

Bien sûr, nous avons

U_{0} ⊂ Ō_{k}, U_{0} ⊂ O_{k}.

Par construction, la surface Σ_{k} est coincée entre S_{ε} (c’est une surface lentille) et S_{0} (elle borde un convexe). En particulier, lorsque k tend vers 0, Σ_{k} tend vers S_{0}. Notons F la surface convexe à distance ε_{0} de Ō_{k}; comme U_{0} ⊂ Ō_{k}, F se trouve à l’extérieur de O_{k}.

Soit k_{0} strictement plus petit que k, choisi de telle sorte que la courbure de F soit strictement plus grande que k_{0}. Soit t ↦ k_{t} une fonction continue strictement décroissante de [0, 1] dans [k, k_{0}]. Soit B_{t}, t ∈]0, 1], une suite exhaustive continue de compacts à bord lisse de F. Soit F_{t} la k_{t}-surface solution du problème de Plateau défini par B_{t}. Par le principe de maximum géométrique et un argument de déformation, F_{t} se trouve toujours à l’extérieur de O_{k}. Enfin, lorsque t tend vers 1, nous avons vu que F_{t} converge vers la solution du problème de Plateau pour F, c’est-à-dire Σ̄_{k}.

Ainsi Σ̄_{k} se trouve à l’extérieur de Σ_{k}.

(ii) Maintenant, soit D^{r} le disque de rayon r inclus dans D, et k(r) une fonction de r strictement décroissante. Notons alors S_{ε}^{r} la surface à distance constante ε du bord de l’enveloppe convexe de ∂_{∞}M \ f(D^{r}) . Soit Σ_{k(r)}^{r} la k(r)-solution canonique du problème de Plateau asymptotique pour D^{r}. Les familles {S_{ε}^{r}}_{r∈[0,1]} et {S_{0}^{r}}_{r∈[0,1]} dépendent continûment de r, ainsi que les surfaces {Σ_{k(r)}^{r}}_{r∈[0,1]}.

Notre deuxième remarque est la suivante : pour r strictement plus petit que 1 Σ̄_{k} est à l’intérieur de Σ_{k(r)}^{r}. En effet, dans le cas contraire, il existe r tel que Σ̄_{k} est tangente intérieurement à Σ_{k(r)}^{r}. Ceci contredit le principe de maximum géométrique 2.5.1).

En faisant tendre r vers 1, on obtient bien que Σ̄_{k} = Σ_{k}. ⋄

Plus tard, nous aurons besoin d’un lemme plus explicite. Ce lemme est l’analogue de la δ-hyperbolicité pour les géodésiques, ou du caractère fin des triangles en courbure strictement négative. Pour cela, notons U_{α}^{(z,u)} ⊂ M le cône d’angle α autour du vecteur u en z.

Remarquons le fait suivant : si α ≤ \frac{π}{2}, alors pour tout vecteur u, le point z appartient à l’enveloppe convexe de ∂_{∞}M \ ∂_{∞}U_{α}^{(z,u)} ; en effet, z se trouve sur une géodésique évitant le cône ouvert. En particulier, si S est la k-solution du problème de Plateau asymptotique pour ∂_{∞}U_{α}^{(z,u)}, alors S est incluse dans U_{α}^{(z,u)}.

Lemme 7.1.2 Soit 0 ≤ β < α < \frac{π}{2}. Soit z un point quelconque de M. Soit S la ksolution du problème de plateau asymptotique pour ∂_{∞}U_{α}^{(z,u)}. Il existe une constante δ(α, β) ne dépendant que de α, β et k vérifiant : toute géodésique joignant z à un point de ∂_{∞}U_{β}^{(y,u)} coupe S à une distance plus petite que δ(α, β) de z.

Démonstration. Ce lemme découle immédiatement du résultat précédent et d’un argument de compacité.⋄

7.2 Unicité

Nous voulons montrer :

Théorème 7.2.1 Il existe au plus une solution du problème de Plateau asymptotique. De plus, soit (f, S) une k-surface (pas nécessairement complète). Soit Σ un ouvert de S, et N l’application de Gauss-Minkowski de Σ dans ∂_{∞}M. Il existe alors une solution du problème de Plateau asymptotique (N, Σ) et cette solution est un graphe au-dessus de (f, Σ).

Ce théorème découle immédiatement des trois propositions suivantes :

Proposition 7.2.2 Soit S un disque. Soit (f, S) et (g, S) deux solutions du même problème de Plateau asymptotique. Il existe alors une troisième solution (h, S) de ce même problème de Plateau, tel que (h, S) est un graphe au-dessus de f(S) et au-dessus de g(S).

Proposition 7.2.3 Soit Σ une k-surface éventuellement dégénérée. Soit Σ_{1} une k-surface qui est un graphe au-dessus de Σ. Alors Σ = Σ_{1}.

L’unicité découle immédiatement de ces deux premières propositions, en passant au besoin au revêtement universel. La dernière partie du théorème provient du résultat suivant, qui va être l’outil fondamental dans la démonstration des deux premières propositions.

Proposition 7.2.4 Soit (f, S) une k-surface éventuellement dégénérée. Soit Σ un ouvert de S et N l’application de Gauss-Minkowski de Σ dans ∂_{∞}M. Il existe alors une solution du problème de Plateau asymptotique pour (N, Σ) et cette solution est un graphe au-dessus de (f, Σ).

.

7.2.1 Démonstration de la proposition 7.2.4

Démonstration. Examinons tout d’abord le cas où Σ est un ouvert à bord lisse et relativement compact de S. Posons Σ_{0} = f(Σ), et considérons Σ_{r}^{0} la surface “à distance r” de Σ_{0}, c’est à dire, en notant n⃗ le champ de vecteurs normal extérieur à f(S)

Σ_{r}^{0} = {exp(rn⃗(s)), s ∈ Σ_{0}}.

Soit ensuite Σ_{r} la solution du problème de Plateau pour Σ_{r}^{0}. La famille {Σ_{r}} forme alors une famille continue. Notre but est de montrer que {Σ_{r}} converge, quand r tend vers +∞ vers une solution du problème de Plateau asymptotique (N, Σ). Nous allons raisonner par étapes.

(i) Montrons dans un premier temps que pour tout r, Σ_{r} est un graphe audessus de Σ_{0}.

Remarquons tout d’abord que ceci est vrai pour r petit. En effet, soit g la fonction correspondant à la variation infinitésimale de Σ_{r} en r = 0 ; cette fonction satisfait L(g) = 0 et g|_{∂Σ_{0}} > 0, où L est l’opérateur elliptique défini en 3.0.2. Il suit de la proposition 3.2.1 et du principe de maximum que g > 0.

Montrons que pour tout r, Σ_{r} est un graphe au-dessus de Σ_{0}. Soit O l’ensemble des r tels que Σ_{r} est un graphe. L’ensemble O est évidemment un ouvert de ℝ^{+}. Soit [0, r_{0}[ la composante connexe de 0. Raisonnons par l’absurde et supposons que r_{0} est fini.

Pour r plus petit que r_{0}, la surface Σ_{r} sépare le bout B de Σ_{0} en deux composantes connexes l’une bornée et contenant Σ_{0}, et l’autre non bornée.

Par continuité, la surface Σ_{r_{0}} étant limite de graphes, la normale extérieure à Σ_{r_{0}} va toujours pointer vers une composante connexe de B \ Σ_{r_{0}} ne contenant pas Σ_{0}. Par ailleurs, cette surface n’est pas un graphe. Il existe donc un point x de Σ_{0} tel que la normale issue de x est tangente intérieurement à Σ_{r_{0}}. Soit y ce point de tangence. Par convexité locale de Σ_{r_{0}}, la normale extérieure en y est alors dirigée vers une composante connexe de B \ Σ_{r_{0}} contenant x. C’est la contradiction.

(ii) Soit f_{r} la fonction dont Σ_{r} est le graphe. Montrons que pour tout y ∈ Σ_{0}, f_{r}(y) est bornée.

Soit u le vecteur normal en y. Il existe un nombre α strictement positif et petit tel que le cône U_{α}^{(y,u)} est plongé dans le bout de Σ. Soit D la solution du problème de Plateau asymptotique pour ∂_{∞}U_{α}^{y,u}; puisque D ⊂ U_{α}^{(y,u)}, D se plonge dans le bout de Σ. En particulier, la géodésique issue de y dans la direction de u coupe D au temps K. Par le principe du maximum géométrique la surface D va servir de barrière à la famille {Σ_{r}}. Nous en déduisons que ∀r, f_{r}(y) ≤ K.

(iii) Nous pouvons maintenant montrer que la suite {Σ_{r}} converge après extraction éventuelle d’une sous-suite vers une surface Σ_{∞} telle que :

– Σ_{∞} est le graphe d’une fonction λ définie sur Σ_{0} ;

– la fonction λ est propre, i.e. tend vers l’infini lorsque l’on tend vers le bord de Σ_{0}.

Considérons la suite de fonctions {f_{r}} définies au paragraphe précédent (ii). Pour chaque y de Σ_{0} la suite {f_{r}(y)} est croissante et bornée. Nous en déduisons immédiatement que cette suite de fonctions converge vers une fonction λ propre et de graphe convexe. Pour cela, il faut utiliser la classique compacité des convexes en courbure négative. Il reste à montrer que le graphe de la limite est une k-surface. Ceci découle du théorème de compacité 4.1.1 appliqué au problème de Dirichlet à bord vide défini sur le bout de Σ_{0} et de la remarque suivante : la suite de surfaces {Σ_{r}} est toujours transverse au champ de vecteurs normal à Σ_{0} (ce sont des graphes), et en particulier, on ne peut pas voir apparaître de tubes à la limite.

(iv) Montrons enfin que la surface limite Σ_{∞} est une solution du problème de Plateau asymptotique pour (N, Σ_{0}).

Notons B le bout de S. La surface Σ_{∞} va séparer B en deux composantes connexes. Soit C la composante connexe de l’extérieur de Σ_{∞}. Par construction ∂_{∞}C = N(Σ_{0}). En particulier, nous en déduisons que l’application de Gauss-Minkowski de Σ_{∞} est injective et à valeurs dans N(Σ_{0}). Il reste à montrer que cette application est surjective. Pour cela, soit v ∈ N(Σ_{0}) et soit h la fonction horosphérique associée à v. Remarquons que h est propre sur Σ_{∞}; elle admet donc un minimum, c’est-à-dire un point dont la normale extérieure pointe vers v.

(v) Il reste à examiner le cas où Σ_{0} n’est pas à bord lisse et relativement compact.

Soit {Σ_{r}^{0}} une suite d’ouverts à bord lisse, relativement compacts, emboîtés et dont la réunion est Σ_{0}. Soit B le bout de S. D’après ce que nous venons de voir, il existe une suite {Σ_{r}} de k-surfaces dans B solutions des problèmes de Plateau asymptotiques associés à {Σ_{r}^{0}}. Les bouts des {Σ_{r}} sont emboîtés et une adaptation simple de la démonstration précédente montre que la suite {Σ_{r}} va converger vers une k-surface solution de notre problème.⋄ Démonstration. Soit Σ une k-surface éventuellement dégénérée. Soit Σ_{1} une ksurface, graphe d’une fonction f au-dessus de Σ. Pour montrer que Σ = Σ_{1}, il suffit de montrer que f est bornée par une constante a. En effet, Σ et Σ_{1} seront alors toutes deux lentilles pour la surface S_{a} à distance a de Σ ; l’unicité suit alors de la proposition 6.2.1.

Montrons donc que f est bornée. Soit B le bout de Σ. Supposons dans un premier temps Σ complète. Soit y ∈ Σ de vecteur normal extérieur n⃗. Soit u un vecteur tangent tel que ⟨u, n⃗⟩ > 0. Alors la géodésique issue de u reste tracée dans B. Cette propriété reste vraie dans le cas d’une k-surface dégénérée : en effet une telle géodésique heurte transversalement en un temps fini une surface équidistante, et une telle surface est toujours complète.

En particulier, le cône U_{α_{0}}^{y,n⃗} est inclus dans B, où α_{0} < \frac{π}{2} et n⃗ désigne vecteur normal à y. Soit D_{y} l’unique solution du problème de Plateau asymptotique pour ∂_{∞}U_{α_{0}}^{(y,n⃗)} (cf 7.1.1). Ce disque D_{y} est inclus dans U_{α_{0}}^{y,n}, et en particulier dans B; d’après la proposition 7.2.4, c’est donc le graphe d’une fonction f_{y} au-dessus d’un ouvert U_{y} relativement compact de Σ. En appliquant à nouveau la proposition 7.2.4, nous en déduisons que D_{y} est un graphe au-dessus d’un ouvert de S_{1}.

Ainsi, f(y) ≤ f_{y}(y). Or f_{y}(y) ≤ δ(α, 0), où cette constante a été introduite dans le lemme 7.1.2.⋄

7.2.3 Démonstration de la proposition 7.2.2

Démonstration. Soit (f, S) et (g, S) deux solutions du problème de Plateau asymptotique (i, S). Soit n⃗_{f} et n⃗_{g} les champs de vecteurs normaux extérieurs associés à f et g respectivement. Pour tout y ∈ S, soit D_{y} un disque ouvert tel que

i(D_{y}) ⊂ ∂_{∞}U_{α_{0}}^{(f(y),n⃗_{f} (y))} ∩ ∂_{∞}U_{α_{0}}^{(g(y),n⃗_{g}(y))}.

Soit S_{y} l’unique solution du problème de Plateau asymptotique pour (i, D_{y}) produite par le lemme 7.1.1. D’après la proposition 7.2.4, S_{y} est le graphe de fonctions f_{y} et g_{y} au-dessus de (f, D_{y}) et (g, D_{y}) respectivement.

Considérons un recouvrement localement fini de S par de tels ouverts D_{y} où y décrit un ensemble Y. Soit

f_{0} = inf_{y∈Y} (f_{y}), g_{0} = inf_{y∈Y} (g_{y}).

Par construction le graphe de f_{0} et celui de g_{0} coïncident. Nous avons ainsi construit une surface intermédiaire S_{2} qui est un graphe à la fois au-dessus de (f, S) et audessus de (g, S). Pour le moment, cette surface convexe n’a pas de raison d’être lisse.

Remplaçons donc cette surface S_{2} par la surface S_{3} à distance r de S_{2}. Pour r bien choisi, indépendamment de S_{2}, S_{3} est à courbure strictement supérieure à k. A nouveau, S_{3} est un graphe au-dessus de (f, S) et (g, S).

Identifions comme d’habitude S_{3} au disque D_{1} de rayon 1 de ℂ. Soit D_{r} les disques de rayon r, et Σ_{r} les solutions du problèmes de Plateau pour D_{r}. Pour r petit, Σ_{r} est un graphe à la fois au-dessus de (f, S) et de (g, S). Ceci est également vrai par continuité pour tout r, les k-surfaces (f, S) et (g, S) faisant office de barrière.

Quand r tend vers l’infini la suite de surfaces {Σ_{r}} tend vers une k-surface Σ_{0}. Pour voir cela, il suffit d’invoquer le même raisonnement que lors de la démonstration du point (iii) du paragraphe 7.2.1.⋄

7.3 Existence

Démontrons maintenant les théorèmes d’existence de solutions du problème de Plateau asymptotique annoncés dans l’introduction. Rappelons en tout d’abord les énoncés.

Théorème 7.3.1 Soit S une surface compacte de genre plus grand que 2. Notons S̄ son revêtement universel. Soit ρ une représentation de π_{1}(S) dans le groupe des isométries de M. Soit f un homéomorphisme local ρ-équivariant de S̄ dans ∂_{∞}M. Il existe alors une unique solution non dégénérée du problème de Plateau asymptotique pour (f, S̄). De plus, cette solution est équivariante sous ρ.

Théorème 7.3.2 Soit f un homéomorphisme local de U dans ∂_{∞}M. Soit S un ouvert relativement compact de U. Il existe alors une unique solution au problème de Plateau asymptotique pour (f, S).

Nous montrerons également le résultat suivant qui peut-être conçu comme une généralisation faible du petit théorème de Picard.

Théorème 7.3.3 Soit f un homéomorphisme local de S dans ∂_{∞}M, évitant trois points. Alors, il existe une solution non dégénérée du problème de Plateau asymptotique pour (f, S).

Pour démontrer les deux premiers théorèmes d’existence, nous allons à chaque fois construire une surface convexe immergée dans M dont l’application de Gauss-Minkowski définit un problème de Plateau asymptotique. Nous construirons cette surface en recollant des surfaces obtenues comme solutions de problèmes de Plateau asymptotiques pour des disques plongés.

Les deux premiers théorèmes vont chacun utiliser des lemmes ayant leur intérêt propre. Pour le premier, il faudra :

Lemme 7.3.4 Soit S une surface localement convexe complète, qui n’est ni tubulaire, ni horosphérique à l’infini. Soit N son application de Gauss Minkowski à valeurs dans ∂_{∞}M. Alors le problème de Plateau asymptotique (N, S) admet une solution. De plus, si S n’est pas tubulaire à l’infini, cette k-surface n’est pas dégénérée.

Pour le deuxième, nous utiliserons :

Lemme 7.3.5 Soit V une surface sans bord (pas nécessairement complète) et immergée de façon localement convexe dans M. Soit N son application de Gauss-Minkowski à valeurs dans ∂_{∞}M. Soit S ⊂ V un ouvert relativement compact. Alors le problème de Plateau asymptotique (N, S) admet une solution.

7.3.1 Démonstration du lemme 7.3.4

Démonstration. Soit S_{1} la surface à distance r de S. Cette surface n’est évidemment ni horosphérique à l’infini, ni tubulaire. Pour r bien choisi, cette surface est à courbure strictement plus grande que k. De plus, toute solution de (N, S_{1}) est solution de (N, S). Il est maintenant facile de vérifier que la k-surface lentille pour S_{1}, produite par le lemme de Morse, est une solution du problème de Plateau asymptotique.⋄

7.3.2 Démonstration du lemme 7.3.5

Démonstration. Nous allons produire la solution du problème de Plateau asymptotique comme limite de solutions de problèmes de Plateau, comme dans la preuve de la proposition 7.2.4.

Examinons tout d’abord le cas où S est un ouvert relativement compact à bord lisse. Considérons S_{r} les surfaces à distance r de S. Soit Σ_{r} les k-surfaces lentilles pour S_{r}; ces surfaces sont solutions du problème de Plateau pour S_{r}. Pour adapter la démonstration de la proposition 7.2.4, il suffit de faire la remarque suivante. Nous savons que, par définition des surfaces lentilles S = S_{0} est un graphe au-dessus d’un ouvert O du fibré normal étendu N_{Σ_{0}}. Si Σ_{r} n’a pas de raison d’être un graphe au-dessus de Σ_{0}, les arguments développés dans le point (i) du paragraphe 7.2.1 montrent qu’elle sera un graphe au-dessus de ce même ouvert O.

Le reste de la preuve, qui comprend les points (ii), (iii), et (iv), s’adapte sans difficulté, et permet de construire une solution du problème de Plateau pour (N, S).

Enfin dans le cas où S n’est pas à bord lisse, il suffit de construire S̄ à bord lisse relativement compact et contenant S. Ce que nous venons de dire nous permet de construire une solution du problème de Plateau asymptotique pour (N, S̄). L’application directe de la proposition 7.2.4 permet de conclure.⋄

7.3.3 Démonstration du théorème 7.3.1

Démonstration. Par compacité, nous pouvons trouver des disques fermés D_{i}, i ∈ J, dont les intérieurs recouvrent S̄ le revêtement universel de S, et vérifiant, si nous notons

I_{i} = {j ∈ I, D_{i} ∩ D_{j} ≠ ∅},

les hypothèses suivantes :

(a) Pour tout i, le cardinal de I_{i} est fini ;

(b) D_{i} ⊄ ⋃_{j∈I_{i}\{i}} D_{i_{j}} ;

(c) Pour tout i, il existe un disque Δ_{i} contenant ⋃_{j∈I_{i}} D_{i_{j}}, tel que f restreinte à Δ_{i} soit un plongement ;

(d) la famille {D_{i}} est π_{1}(S)-équivariante.

D’après le lemme 7.1.1, nous pouvons construire des solutions S_{j} de chacun des problèmes de Plateau asymptotiques (f, D_{j}). Chacune de ces surfaces S_{j} découpe M en deux composantes dont l’une est convexe. Nous appellerons cette composante convexe C_{j}.

Remarquons maintenant que les hypothèses (a), (b) et (c) entraînent l’assertion suivante :

(e) si j, k ∈ I_{i}, alors S_{j} ∩ S_{k} ≠ ∅ entraîne D_{j} ∩ D_{k} ≠ ∅.

En effet, soit Σ_{i} la solution du problème de Plateau asymptotique (f, Δ_{i}). D’après la proposition 7.2.4, S_{j} est alors un graphe au-dessus de N^{−1}(D_{j}) ⊂ Σ_{i}. Ceci montre (e).

Remplaçons maintenant les S_{i} par des surfaces C^{∞} proches, de façon à ce qu’elles restent convexes, vérifient (e) et soient transverses entre elles. Pour simplifier, nous gardons les mêmes notations. Soit maintenant

U_{i} = ⋂_{j∈I_{i}} C_{j}.

Cet ensemble U_{i} est convexe. Son bord est une réunion de “faces”. Parmi celles-ci, nous distinguerons F_{i} = S_{i} ∩ ∂U_{i}. La face F_{i} est une surface, non vide d’après (b). Son bord est une réunion d’arcs C^{∞} pas nécessairement connexes, γ_{(i,j)}, j ∈ I_{i}, portions de S_{j} ∩ S_{i}. Plus précisément encore

γ_{(i,j)} = S_{j} ∩ S_{i} ∩ U_{i}.

Nous avons même, d’après (e)

γ_{(i,j)} = S_{j} ∩ S_{i} ⋂_{k∈I_{i}∩I_{j}} C_{k}.

En particulier γ_{(i,j)} = γ_{(j,i)}.

Recollons maintenant F_{j} avec F_{i} le long de γ_{(i,j)} ; nous obtenons ainsi de proche en proche une surface F localement convexe ; nous la lissons, de manière C^{1}, en prenant la surface Σ à distance r. Il est maintenant clair que le problème de Plateau asymptotique défini par (N, Σ), où N est l’application de Gauss-Minkowski, est équivalent à notre problème de départ.

Nous voulons appliquer le lemme 7.3.4. Montrons donc que Σ est à géométrie bornée et n’est ni tubulaire à l’infini, ni horosphérique à l’infini.

Comme l’action de π_{1}(S) sur Σ est cocompacte, il suffit de montrer que Σ n’est ni tubulaire, ni horosphérique.

Si Σ était horosphérique, alors par définition π_{1}(S) agirait de manière cocompacte sur une horosphère. Mais ceci est impossible : d’après le lemme 2.3.1 la croissance des horosphères est polynomiale.

De même, supposons Σ tubulaire. Dans cette situation, π_{1}(S) git de manière isométrique sur le fibré normal T à une géodésique. De plus, il existe une immersion ϕ, π_{1}(S)-équivariante de S sur T. Ceci est impossible : T est conforme au plan privé d’un point.

Le lemme 7.3.4 permet de conclure.⋄ 7.3.4 Démonstration du théorème 7.3.2

Démonstration. Procédons comme dans le paragraphe précédent. Les hypothèses permettent de construire une famille finie de disques ouverts D_{i}, pour i ∈ J, dont les intérieurs recouvrent l’adhérence de S, et vérifiant, si nous notons

I_{i} = {j ∈ I, D_{i} ∩ D_{j} ≠ ∅},

les hypothèses suivantes :

(b) D_{i} ⊄ ⋃_{j∈I_{i}\{i}} D_{i_{j}} ;

(c) Pour tout i, il existe un disque Δ_{i} contenant ⋃_{j∈I_{i}} D_{i_{j}}, tel que f restreinte à Δ_{i} soit un plongement.

D’après le lemme 7.1.1, il existe des solutions S_{j} de chacun des problèmes de Plateau asymptotiques (f, D^{j}). Chacune de ces surfaces S_{j} découpe M en deux parties dont l’une est convexe. Nous appellerons cette composante convexe C_{j}.

Remarquons maintenant que les hypothèses (b) et (c) entraînent, comme dans le paragraphe précédent, l’assertion suivante :

(e) soit j, k ∈ I_{i}. Alors S_{j} ∩ S_{k} ≠ ∅ entraîne D_{j} ∩ D_{k} ≠ ∅.

En procédant exactement comme dans le paragraphe précédent, nous obtenons une surface convexe Σ telle que le problème de Plateau asymptotique défini par (N, Σ), où N est l’application de Gauss-Minkowski, est équivalent au problème de Plateau asymptotique (N, ⋃_{i∈J} D_{i}). L’ouvert S étant par hypothèse relativement compact dans ⋃_{i∈J} D_{i}, le lemme 7.3.5 permet de conclure.⋄

7.3.5 Démonstration du théorème 7.3.3

Démonstration. Soit i un homéomorphisme local de S dans ∂_{∞}M évitant trois points x_{1}, x_{2} et x_{3}.

Soit S_{0} = ∂_{∞}M \{x_{1}, x_{2}, x_{3}} et i l’injection de S_{0} dans ∂_{∞}M. Pour démontrer le résultat, il suffit de montrer que le problème de Plateau asymptotique (i, S_{0}) a une solution. En effet, supposons que (i, S_{0}) a une solution. Soit (f, S) un homéomorphisme local de S dans S_{0}. Soit S̄ et S̄_{0} les revêtements universels de S et S_{0} respectivement. Nous pouvons alors relever f en une application f̄ de S̄ dans S̄_{0}. La proposition 7.2.4 permet de construire une solution du problème de Plateau asymptotique pour (π ∘ f̄, S̄) où π désigne la projection canonique de S̄_{0} dans S_{0}.

Le théorème d’unicité 7.2.1 permet enfin de montrer que la solution ainsi obtenue est bien une solution de (f, S).

Concentrons-nous maintenant sur le cas de (i, S_{0}). Distinguons deux possibilités :

(i) Premièrement, supposons qu’il existe un triangle idéal T totalement géodésique dont les sommets sont nos trois points.

La surface S_{ε}, bord de la boule de centre T et de rayon ε, est alors à courbure plus grande que k pour un certain ε. Elle n’est ni horosphérique à l’infini, ni tubulaire. D’après le lemme 7.3.4, la k-surface lentille pour S_{ε} produite par le lemme de Morse est une solution du problème de Plateau asymptotique associé à S_{ε}. Cette solution borde un convexe, elle est donc complète. Autrement dit la k-surface ainsi obtenue n’est pas dégénérée.

(ii) Plaçons-nous dans le cas général maintenant.

Soit {S_{n}}_{n∈ℕ} une exhaustion de S_{0} par des ouverts relativement compacts. Le théorème 7.3.2 permet de construire pour tout n une solution (f_{n}, S_{n}) du problème de Plateau asymptotique pour (i, S_{n}). Notre but est de montrer que la suite de solutions {(f_{n}, S_{n})}_{n∈ℕ} converge après extraction d’une sous-suite.

Soit x un point appartenant à l’enveloppe convexe de {x_{1}, x_{2}, x_{3}}. Les surfaces f_{n}(S_{n}) bordent des convexes C_{n} qui contiennent tous x. De plus, on a

(∗)  n ≥ p ⇒ C_{p} ⊂ C_{n}.

Posons

C = ⋂_{n∈ℕ}C_{n}.

Dans notre cas, l’intérieur de C est non vide. Il existe donc une sphère S_{a}, de centre x et de rayon a incluse dans C. Identifions cette sphère canoniquement à ∂_{∞}M.

Nous voyons maintenant les ouverts S_{n} comme des sous-ensembles de S_{a}. Les surfaces f_{n}(S_{n}) sont des graphes de fonctions λ_{n} au-dessus de S_{n}. D’après (∗), pour tout y, la suite {λ_{n}(y)}_{n∈ℕ} est décroissante.

D’après le corollaire 4.1.3, la suite de fonctions {λ_{n}}_{n∈ℕ} converge C^{∞} vers une fonction λ. Le graphe de cette dernière va fournir la solution du problème de Plateau (i, S_{0}).⋄

7.4 Non existence

Le théorème suivant montre qu’un problème de Plateau asymptotique n’a pas toujours de solution :

Théorème 7.4.1 Soit U l’ouvert de ∂_{∞}M obtenu en ôtant zéro, un ou deux points. Soit i l’injection de U dans ∂_{∞}M. Le problème de Plateau asymptotique défini par (i, U) n’a pas de solution.

Démonstration. Raisonnons par l’absurde. Soit Σ la solution du problème de Plateau correspondant ; dans les trois cas, cette surface est globalement convexe.

Dans le premier cas, Σ est une sphère compacte. Ceci est clairement impossible : d’après l’équation de Gauss, la métrique induite sur une k-surface est à courbure négative.

Dans le deuxième cas, Σ est une pseudo-horosphère. D’après la proposition 2.4.1, elle est horosphérique à l’infini. Il existe donc une suite de points {x_{n}}_{n∈ℕ} de Σ telle que {(Σ, x_{n})}_{n∈ℕ} converge vers une surface horosphérique Σ_{0}. Ceci est à nouveau impossible : par compacité Σ_{0} est également une k-surface ; or, d’après le principe du maximum géométrique, une k-surface ne peut-être horosphérique.

Dans le dernier cas, soit γ la géodésique joignant les deux points du bord à l’infini. Soit μ la fonction distance à cette géodésique. Soit ensuite {x_{n}}_{n∈ℕ} une suite de points de Σ tel que la suite {μ(x_{n})}_{n∈ℕ} tend vers la borne supérieure μ_{0} (peut-être infini) de μ. Nous pouvons extraire une sous suite telle que (Σ, x_{n}) converge vers Σ_{0}. Séparons en deux cas :

(i) La borne μ_{0} est finie. Dans ce cas, Σ_{0} est tangente intérieurement à une équidistante à une géodésique ; ceci contredit le principe du maximum géométrique.

(ii) La borne μ_{0} est infinie. Dans ce cas la surface Σ_{0} est une pseudohorosphère ; nous venons de voir dans le paragraphe précédent qu’une telle éventualité est impossible.

⋄

8 Espace des k-surfaces

Abusivement, en utilisant le relevé de Gauss, c’est-à-dire l’application qui a un point de la surface associe sa normale extérieure, nous considérerons une k-surface comme une surface immergée dans le fibré unitaire de la variété M.

Soyons un peu plus précis dans la définition d’une k-surface pour éviter le problème des revêtements multiples.

Les k-surfaces étant les solutions d’un problème elliptique, toute surface de ce type est totalement déterminée par son jet d’ordre infini en un point. On en déduit qu’étant donnée une k-surface (f, S) sans bord, où f désigne une immersion de S dans le fibré unitaire, il existe un représentant minimal de la k-surface (g, Σ), c’est-à-dire vérifiant la propriété suivante : pour tout k-surface (f̄, S̄) telle que f(S) = f̄(S̄), il existe un revêtement p de S̄ sur Σ, tel que f̄ = g ∘ p.

Le représentant minimal d’une k-surface est totalement déterminé par son image, et nous omettrons souvent de parler de l’immersion sous-jacente.

L’espace des k-surfaces N d’une variété N est l’espace des paires (S, x), où x ∈ S, et où S est soit un tube, soit le représentant minimal d’une k-surface sans bord (éventuellement dégenérée).

Cet espace N est munie d’une topologie décrite dans [3]. La notion de convergence pour cette topologie est celle des sous-variétés immergées pointées décrites dans la paragraphe 2.3.1.

Dans la section 8.1 de [3], nous avons montré que l’espace N est compact et muni d’une structure de lamination, c’est-à-dire de produit local. Une feuille L_{S} de cette lamination est identifiée à S qui est soit le représentant minimal d’une ksurface, soit un tube ; plus précisément, les points de cette feuille L_{S} sont les points de la forme (S, x), pour x décrivant S.

9 Densité des feuilles périodiques

A partir de maintenant, M est le revêtement universel d’une variété compacte N de dimension 3 à courbure strictement négative.

Soit N l’espace compact laminé associé, décrit dans la section 8. Nous voulons montrer :

Théorème 9.0.2 La réunion des feuilles compactes est dense dans N.

Les feuilles compactes de N représentent par définition les k-surfaces compactes dans N. Nous pouvons interpréter ces surfaces compactes dans le revêtement universel de la manière suivante. Elles s’identifient aux quadruplets (f, Σ, Γ, ρ), où :

– Γ est un groupe discret agissant de manière cocompacte sur le disque Σ ; – ρ est une représentation de Γ dans π_{1}(N) ;

– f est une immersion ρ-équivariante, localement convexe de Σ dans M, dont l’image est une k-surface.

Introduisons une définition : un quadruplet (f, Σ, Γ, ρ) est une immersion équivariante à valeurs dans ∂_{∞}M, lorsque

– Σ est une surface, éventuellement à bord ;

– Γ est un groupe agissant sur Σ de façon à ce que le quotient soit une surface ;

– f est un homéomorphisme local de Σ dans ∂_{∞}M ;

– ρ est une représentation de Γ dans iso(M) le groupe des isométries de M.

L’ensemble devant vérifier la relation d’équivariance :

∀s ∈ Σ, ∀g ∈ Γ, f(g.s) = ρ(g)f(s).

Une immersion équivariante est dite cocompacte si Σ/Γ est une surface compacte.

D’après le théorème 7.3.1, les feuilles compactes de la lamination N s’identifient aux immersions équivariantes cocompactes.

Il n’est peut-être pas inutile de remarquer que dans la démonstration que nous allons donner, les immmersions équivariantes cocompactes qui apparaîtront seront telles que ρ(Γ) est un groupe libre.

Décrivons maintenant la structure de cette section.

9.1 Mous introduisons une définition, l’inclusion des problèmes de Plateau asymptotiques, et démontrons un lemme de compacité s’y rapportant.

9.2 Nous expliquons comment approcher en un certain sens tout plongement du disque par une suite d’immersions équivariantes.

9.3 Nous décrivons un procédé de fusion permettant de construire de nouvelles immersions équivariantes à partir d’anciennes.

9.4 Nous définissons une classe d’immersions topologiques du disque dans les sphères appelées quasi-plongements. Nous montrons que tout problème asymptotique est limite de quasi-plongements.

9.5 Nous montrons que tout quasi-plongement est limite d’immersions équivariantes cocompactes ; celles-ci sont obtenues par fusion d’immersions équivariantes construites en 9.2.

Enfin, nous concluons la démonstration dans le dernier paragraphe.

9.1 Inclusion, lemme de compacité pour les inclusions

Dans ce qui suit, D_{i} désignera toujours une variété connexe de dimension 2 sans bord. Nous allons donner trois définitions techniques.

9.1.1 Inclusion

Introduisons une définition. Soit (f, D_{1}) et (g, D_{2}) deux problèmes de Plateau asymptotiques. S’il existe un plongement i de D_{1} dans D_{2}, tel que f = g ∘ i, nous dirons que (f, D_{1}) est inclus dans (g, D_{2}) par i , et noterons

(f, D_{1}) ⊂ (g, D_{2}) [i].

La petite observation suivante nous sera utile :

(i) Soit x_{1} et x_{2} des points de D_{1} et D_{2} respectivement. Supposons que pour tout ouvert U relativement compact de D_{1}, il existe i_{U} telle que

(f, U) ⊂ (g, D_{2}) [i_{U}],

de telle sorte que i_{U}(x_{1}) = x_{2}. Alors (f, D_{1}) est inclus dans (g, D_{2}).

9.1.2 Intersection

Une seconde définition. Soit {(f_{n}, D_{n})}_{n∈ℕ} une suite de problèmes de Plateau asymptotiques. Soit (g, D_{∞}) un autre problème de Plateau asymptotique. On suppose que pour tout n, il existe i_{n} tel que

(g, D_{∞}) ⊂ (f_{n}, D_{n}) [i_{n}].

Supposons maintenant que l’inclusion de (g, D_{∞}) est “minimale” dans le sens suivant : si (h, U) (où U est connexe) est une donnée asymptotique telle que

(g, D_{∞}) ⊂ (h, U) [j] ;

si par ailleurs, pour tout n

(h, U) ⊂ (f_{n}, D_{n}) [j_{n}]
i_{n} = j_{n} ∘ j,

alors (h, U) = (g, D_{∞}).

Dans cette situation, nous dirons que (g, D_{∞}) est l’intersection des (f_{n}, D_{n}) le long de i_{n}, et nous noterons

(g, D_{∞}) = ⋂_{n∈ℕ}(f_{n}, D) [i_{n}].

On vérifie la proposition suivante :

Proposition 9.1.1 Supposons que

(g, D) = ⋂_{n∈ℕ}(f_{n}, D) [i_{n}].

Soit par ailleurs, (h, U) telle que, pour tout n

(h, U) ⊂ (f_{n}, D) [j_{n}].

Supposons qu’il existe x_{0} ∈ D et x_{1} ∈ U tels que pour tout n, i_{n}(x_{0}) = j_{n}(x_{1}). Alors

(h, U) ⊂ (g, D) [j],

de telle sorte que j_{n} = i_{n} ∘ j.

9.1.3 Limite inférieure

Une dernière définition. Nous dirons que le problème de Plateau asymptotique (g, D_{∞}) est limite inférieure des problèmes de Plateau asymptotiques (f_{n}, D_{n}) par i_{n} et nous noterons

(g, D_{∞}) = lim inf_{n∈ℕ}(f_{n}, D_{n}) [i_{n}],

si pour toutes les sous-suites s(n), il existe p tel que

(g, D_{∞}) = ⋂_{n>p}(f_{s(n)}, D_{s(n)}) [i_{s(n)}].

L’exemple qui suit montre qu’il faut prendre quelques précautions avec cette notion. Soit {U_{n}}_{n∈ℕ} la suite décroissante d’ouverts, obtenue en enlevant les uns après les autres les points d’un ensemble dénombrable, dont l’adhérence est un équateur. Soit f_{n} la représentation conforme du disque dans U_{n}, envoyant zéro sur le pôle nord. Nous avons deux intersections possibles des {(f_{n}, U_{n})}_{n∈ℕ}: la représentation conforme de l’hémisphère nord et celle de l’hémisphère sud.

9.1.4 Lemme de compacité

Nous voulons montrer :

Lemme 9.1.2 Soit {(f_{n}, D)}_{n∈ℕ} une suite de problèmes de Plateau asymptotiques, admettant des solutions {ϕ_{n}}_{n∈ℕ}. Soit x_{0} un point de D. Soit également un problème de Plateau asymptotique

(g, D) = lim inf_{n∈ℕ}(f_{n}, D_{n}) [i_{n}].

Alors, la suite de k-surfaces {(ϕ_{n}, D)}_{n∈ℕ}, pointées en {i_{n}(x_{0})}_{n∈ℕ}, converge vers une solution du problème de Plateau asymptotique pour (g, D).

Démonstration. Pour simplifier, notons 0 = x_{0} = i_{n}(x_{0}). D’après le théorème 7.3.2, il existe une solution ψ du problème de Plateau asymptotique défini par (g, D). D’après la proposition 7.2.4, ψ(D) est un graphe au-dessus d’un ouvert de ϕ_{n}(D) pour n suffisamment grand.

Notre première étape consiste à démontrer l’assertion :

(1) la suite {ϕ_{n}(0)}_{n∈ℕ} reste à distance bornée de ψ(0).

Raisonnons par l’absurde. Dans le cas contraire, il existe une sous-suite s(n) telle que {ϕ_{s(n)}(0)}_{n∈ℕ} converge vers un point m de ∂_{∞}M.

Notons N_{n} l’application de Gauss-Minkowski de ϕ_{s(n)}. Notons B_{n} la boule de rayon 1 de centre ϕ_{s(n)}(0) tracée sur ϕ_{s(n)}(D). Pour tout voisinage U de m, et pour n suffisamment grand, nous avons

∂_{∞}M \ U ⊂ N_{n}(B_{n}).

En particulier, (i, ∂_{∞}M \ U) est inclus dans (f_{s(n)}, D) pour n suffisamment grand. La proposition 9.1.1 entraîne alors que (i, ∂_{∞}M \ U) est inclus dans (g, D).

Cette proposition entraîne également que (i, ∂_{∞}M \ {m}) est inclus dans (g, D). Nous avons là la contradiction recherchée : le théorème 7.3.2 fournit une solution du problème de Plateau asymptotique pour (i, ∂_{∞}M \{m}), ce qui contredit le théorème 7.4.1.

Nous avons fini de démontrer l’assertion (1).

Nous sommes maintenant en mesure d’appliquer le théorème de compacité 4.1.1. Remarquons que dans notre cas, il n’y a pas de condition au bord. Extrayons donc une sous-suite s(n) telle que nous ayons l’alternative :

(a) soit {ϕ_{s(n)}(D), ϕ_{s(n)}(0)}_{n∈ℕ} converge vers une k-surface S (peut-être dégénérée) ; (b) soit {n⃗∘ϕ_{s(n)}(D), n⃗∘ϕ_{s(n)}(0)}_{n∈ℕ} converge vers un tube (nécessairement

complet) autour d’une géodésique γ. Ici, n⃗ désigne l’application de Gauss de la surface ϕ_{n}(D) à valeurs dans le fibré unitaire de M.

Un problème de Plateau asymptotique (f, D) est associé à chacune de ces deux possibilités : l’application de Gauss-Minkowski de la surface limite dans le premier cas ; le revêtement universel de la sphère moins deux points dans l’autre cas.

Remarquons maintenant que pour tout ouvert relativement compact U de D, (f, U) est inclus dans le problème de Plateau asymptotique (f_{s(n)}, D) pour n suffisamment grand ; ceci provient de la convergence sur tout compact des suites sous-jacentes. Par définition de limite inférieure, (f, U) est inclus dans le problème (g, D).

Grâce à notre observation préliminaire 9.1.1, nous en déduisons que (f, D) est inclus dans (g, D).

En particulier, le deuxième cas de l’alternative est exclu : en effet, le théorème 7.3.2 crée une solution du problème de Plateau défini par la sphère moins deux points, et contredit ainsi le théorème 7.4.1.

Enfin, prenons un ouvert relativement compact U de D. Par convergence uniforme sur tout compact, nous en déduisons que (g, U) est inclus dans (f, D). Ainsi, (g, D) est inclus dans (f, D).

En conclusion, (g, D) = (f, D). D’après le théorème d’unicité de la solution d’un problème de Plateau asymptotique 7.2.1, nous en déduisons que {ϕ_{s(n)}}_{n∈ℕ} converge vers ψ.⋄

9.2 Construction de groupes

Nous allons dans un premier temps exhiber des groupes associés à des plongements du disque.

Introduisons les notations suivantes : pour tout γ ∈ π_{1}(N) différent de l’identité, γ^{+} et γ^{−} désignent respectivement les points attracteurs et répulseurs de γ sur ∂_{∞}M ; si F est un sous-groupe de π_{1}(N), nous notons Λ(F) son ensemble limite et Ω(F) = ∂_{∞}M \ Λ(F) son ensemble de discontinuité ; nous dirons que F est convexe cocompact si F agit de manière cocompacte sur Ω(F).

Le but de ce paragraphe est la proposition technique suivante :

Proposition 9.2.1 Soit (f, D) un plongement du disque dans ∂_{∞}M. Soit x_{i}^{±}, i ∈ {1, …, p}, 2p points de f(∂D). Soit {γ_{i,n}}_{n∈ℕ}, i ∈ {1, …, p}, p suites d’éléments de π_{1}(N), telles que :

(i) les suites {γ_{i,n}^{±}}_{n∈ℕ} convergent vers x_{i}^{±}; (ii) ∀i, n, γ_{i,n}^{±} ∉ f(D).

Il existe alors une suite de groupes libres convexes cocompacts {F_{n}}_{n∈ℕ} vérifiant

(1)  ∀n, ∃q, ∀i, γ_{i,n}^{q} ∈ F_{n},

(2)  ∀γ ∈ F_{n} \ {id}, γ(f(D)) ∩ f(D) = ∅,

(3)  (f, D) = lim inf_{n∈ℕ}(i_{n}, Ω(F_{n})) [f ∘ i_{n}^{−1}],

où i_{n} désigne l’injection canonique de Ω(F_{n}) dans ∂_{∞}(M).

Démonstration. Munissons ∂_{∞}M d’une métrique arbitraire. Fixons un entier n. Soit ε le réel défini par

ε = sup_{i}{d(γ_{i,n}^{±}, x_{i}^{±})}.

D’après l’hypothèse (ii), ε est strictement positif. De plus, ε tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

Par densité des géodésiques périodiques, il existe des éléments de π_{1}(N), {λ_{1}, … λ_{k}}, où k est un nombre fini dépendant de n, tels que l’ensemble

L = {λ_{i}^{+}, λ_{i}^{−}; 1 ≤ i ≤ k},

soit ε-proche pour la distance de Hausdorff de f(∂D) et à l’extérieur de f(D). On peut enfin faire en sorte que tous les points de L soient distincts et que λ_{i} = γ_{i,n}, ∀i ∈ {1, …, p}.

Par l’argument classique sur les groupes de Schottky, il existe q suffisamment grand tel que le groupe

F_{n} = ⟨λ_{1}^{q}, …, λ_{k}^{q}⟩,

soit libre et agisse de manière cocompacte sur son ensemble de discontinuité.

En prenant q suffisamment grand, l’ensemble limite Λ_{n} est dans un ε-voisinage de L, et à l’extérieur de f(D).

Toujours en prenant q suffisamment grand, on obtient la condition (2). Pour achever la démonstration de la proposition, remarquons que Λ_{n} est une

suite de compacts convergeant pour la métrique de Hausdorff vers le bord de f(D), tout en restant à l’extérieur de f(D). Ainsi nous avons bien

(f, D) = lim inf_{n∈ℕ}(i_{n}, Ω(F_{n})) [f ∘ i_{n}^{−1}],

ce que nous voulions démontrer.⋄

Déjà, nous pourrions montrer que chaque plongement du disque est limite d’immersions équivariantes cocompactes : il suffit d’assembler la proposition précédente et le lemme de compacité 9.1.2.

Malheureusement, toute immersion n’est pas limite de plongement. Il faut donc raffiner cette construction. Nous devons introduire une procédure, appelée fusion, permettant de construire de nouvelles immersions équivariantes cocompactes. Celles-ci permettront d’approcher ce que nous appellerons des quasi-plongements. Ces derniers vont être denses dans les immersions.

9.3 Fusion de groupes et de surfaces

Nous allons expliquer dans ce paragraphe une construction permettant de construire de nouveaux problèmes de Plateau équivariants à partir d’anciens.

Introduisons tout d’abord nos notations et hypothèses.

Soit (f_{i}, S_{i}, Γ_{i}, ρ_{i}), où i ∈ {1, 2}, deux immersions équivariantes. Nous supposerons ici que les S_{i}/Γ_{i} sont des surfaces à bord. Soit c_{1} et c_{2} deux composantes connexes du bord respectivement de S_{1}/Γ_{1} et S_{2}/Γ_{2}. On suppose qu’il existe deux relevés v_{i} de ces courbes dans S_{i}, associés à des éléments γ_{i} ∈ Γ_{i} tels que ρ_{1}(γ_{1}) = ρ_{2}(γ_{2}). De même, on suppose qu’il existe un homéomorphisme j entre v_{1} et v_{2}, vérifiant

f_{1} ∘ j = f_{2},
γ_{2} ∘ j = j ∘ γ_{1}.

En particulier, j descend en un homéomorphisme h entre c_{1} et c_{2}. Notre construction est une conséquence de la proposition suivante :

Proposition 9.3.1 Avec les hypothèses et notations précédentes, il existe une unique immersion équivariante (f, Σ, Γ, ρ) telle que Σ/Γ = Σ_{1}/Γ_{1} ∪_{h} Σ/Γ_{2}. De plus, en notant ι_{i} l’injection de Σ_{i} dans Σ qui se déduit de cette dernière identification, nous avons f ∘ ι_{i} = f_{i}.

Démonstration. Il s’agit d’une construction standard.⋄

L’immersion équivariante ainsi construite est appelée fusion des deux immersions équivariantes précédentes.

On peut remarquer alors que Γ est un produit amalgamé de Γ_{1} et Γ_{2}. Nous verrons plus tard comment la fusion se comporte vis-a-vis de l’opération limite inférieure.

9.4 Quasi-plongements

Introduisons une définition intermédiaire.

Un homéomorphisme local f du disque ouvert D dans ∂_{∞}M sera appelé un quasi-plongement, si

(i) f se prolonge continûment en un homéomorphisme local de l’adhérence de D;

(ii) il existe une famille finie d’arcs plongés {c_{i}}, 1 ≤ i ≤ q deux à deux disjoints, dont les extrémités sont dans ∂D

(iii) f s’étend en un plongement de l’adhérence de chaque composante

connexe de

D \ ⋃_{1≤i≤q} c_{i}.

La famille d’arcs {c_{i}} de la définition sera appelée découpe du quasi-plonge-ment.

En un certain sens, le résultat suivant affirme que tout homéomorphisme local est limite de quasi-plongements.

Proposition 9.4.1 Soit f un homéomorphisme local de D dans ∂_{∞}M. Soit U un ouvert relativement compact U de D. Il existe alors un ouvert relativement compact V de D contenant U tel que (f, V) soit un quasi-plongement.

Démonstration. Nous allons utiliser des idées contenues dans la paramétrisation faite par Thurston de l’espace des ℂP^{1}-structures par les laminations géodésiques mesurées.

Identifions ∂_{∞}M à la sphère S^{2}. Munissons S^{2} d’une métrique à courbure constante et D de la métrique induite par f. Nous noterons D̄ sa complétion métrique et F r(D) = D̄ \ D. Au besoin, en restreignant un peu D, nous pouvons supposer que D̄ est homéomorphe au disque fermé et que f s’étend en un homéomorphisme local de D̄ dans S^{2}.

Une boule métrique ouverte de D sera appelée une bonne boule, si f est une isométrie de cette boule sur une boule de S^{2}. Une boule sera maximale, si c’est une bonne boule, et si elle n’est incluse dans aucune autre bonne boule qu’elle même.

Si B est une boule maximale, notons B̄ son adhérence dans D (et non dans D̄). Posons F r(B) = B̄ \ B. Cet ensemble F r(B) est une réunion d’intervalles ouverts. Un peu de géométrie sphérique montre l’assertion : si deux points de F r(B) sont dans une même composante connexe de F r(B), alors ils appartiennent à une même bonne boule.

Nous dirons enfin que deux points x et y de F r(D) sont joignables, s’il existe une boule maximale B et une composante connexe A de F r(B) telle que x et y appartiennent à l’adhérence de A dans D̄.

Soit x_{1} et x_{2} deux points joignables. Soit également y_{1} et y_{2} deux points joignables tels que y_{i} ≠ x_{j}. Montrons tout d’abord :

(1) les points y_{1} et y_{2} appartiennent à la même composante connexe de F r(D) \ {x_{1}, x_{2}}.

Notons B_{x} et B_{y} les bonnes boules respectives pour les paires (x_{1}, x_{2}) et (y_{1}, y_{2}). Soit A_{x} et A_{y} les composantes connexes de F r(B_{x}) et F r(B_{y}) qui s’en déduisent. Si B_{x} = B_{y}, les arcs A_{x} et A_{y} sont disjoints ; si B_{x} ≠ B_{y} les arcs de cercles A_{x} et A_{y} se coupent en au plus deux points. Dans les deux cas, A_{x} et A_{y} sont transverses. Supposons maintenant que y_{1} et y_{2} sont dans des composantes connexes différentes de F r(D) \ {x_{1}, x_{2}}. Alors, par transversalité, A_{x} et A_{y} se rencontre transversalement en exactement un point. Dès lors, l’une des extrémités de A_{x} ( c’est-à-dire x_{1} ou x_{2}) appartient à l’intérieur de B_{y}. Nous avons la contradiction recherchée, et l’assertion (1) est démontrée

Soit maintenant x et y deux points joignables correspondant à une boule maximale B. Traçons entre x et y la géodésique pour la métrique hyperbolique conforme de B. L’arc correspondant est appelé bon arc. Un raisonnement géométrique élémentaire montre que deux bons arcs ne peuvent se couper qu’en leurs extrémités.

La réunion L des bons arcs forme un ensemble fermé. Nous avons construit ainsi une lamination de D.

Cette construction n’est pas originale, c’est celle qui associe à toute ℂP^{1}- structure une lamination dans la construction de Thurston déjà citée.

On remarque aisément que si A est le complémentaire de L, toute composante connexe de A est incluse dans une bonne boule.

Nous pouvons maintenant construire une exhaustion de D par des disques compacts D_{n} telle que toute intersection non vide d’un bon arc avec D_{n} soit connexe et de longueur minorée par une constante ne dépendant que de n: par exemple, on peut trouver une métrique hyperbolique telle que la lamination soit géodésique, puis prendre une exhaustion par des convexes, et enfin éventuellement découper ces convexes en enlevant la “petite”composante connexe du complémentaire des bons arcs de petite longueur.

Fixons ensuite l’un des D_{p}; montrons que f restreinte à D_{p} est un quasiplongement.

Pour cela, il suffit de construire un recouvrement ouvert de D_{p} tel que tout ouvert O_{i} de ce recouvrement vérifie les propriétés suivantes :

(i) O_{i} est bordé par une courbe de Jordan constituée d’un nombre fini de bons arcs et d’arcs inclus dans le bord de D_{p};

(ii) il existe une découpe de cet ouvert O_{i} pour laquelle la restriction de f à cet ouvert soit un quasi-plongement.

En effet, supposons construit un tel recouvrement fini {O_{i}}. La famille de bons arcs obtenue en prenant la réunion des bons arcs inclus dans le bord des ouverts O_{i}, et des bons arcs provenant des découpes de ces ouverts, donnera une découpe de quasi-plongement.

Construisons maintenant ce recouvrement avec les propriétés requises. Soit x ∈ D_{p}, notre but est d’associer à x un ouvert O_{x} vérifiant (i) et (ii). Nous avons quatre cas à considérer.

(1) Le point x ∈ A = D \ L. Nous prenons simplement comme ouvert O_{x} la composante connexe de x dans A ∩ D_{p}. La longueur de la trace des bons arcs sur D_{p} étant minorée, il n’y a qu’un nombre fini de bons arcs dans le bord de cette composante connexe.

(2) Le point x se trouve sur un bon arc isolé. Ce bon arc sépare A en deux composantes connexes. Nous prenons alors comme ouvert O_{x} la réunion de ces deux composantes connexes, avec la découpe donnée par le bon arc passant par x.

(3) Le point x se trouve sur un bon arc c associé à une boule maximale B, isolé d’un côté mais pas de l’autre, c’est-à-dire si c borde une composante O connexe de A, et s’il existe une suite {c_{n}}_{n∈ℕ} d’arcs distincts de c tendant vers c. Dans ce cas, nous pouvons remarquer que pour n suffisamment grand, la région U_{n} bordée par c et c_{n} est telle que U_{n} ∩ D_{p} est incluse dans B. Posons alors O_{x} = (O ∪ U_{n} ∪ c) ∩ D_{p}. Ce dernier ouvert est bien inclus dans B.

(4) Le point x appartient à un bon arc c et il existe deux suites de bons arcs tendant vers c, {c_{n}}_{n∈ℕ} et {g_{n}}_{n∈ℕ}, telles que la région U_{n} comprise entre c_{n} et g_{n} contienne c. Il suffit de remarquer que pour n suffisamment grand U_{n} ∩ D_{p} est inclus dans B, et de poser enfin O_{x} = U_{n} ∩ D_{p}.

Notre construction est terminée.⋄

9.5 Quasi-plongements et immersions équivariantes cocompactes

Le résultat essentiel de cette section est une généralisation de la proposition 9.2.1 au cas des quasi-plongements.

Proposition 9.5.1 Soit (f, D) un quasi-plongement. Il existe alors une suite d’immersions équivariantes cocompactes {(f_{n}, S_{n})}_{n∈ℕ} telles que

(f, D) = lim inf_{n∈ℕ}(f_{n}, S_{n}) [i_{n}].

Démonstration. Soit (f, D) un quasi-plongement. D’après la définition, il existe une famille finie d’arcs plongés {c_{i}}, 1 ≤ i ≤ q deux à deux disjoints, dont les extrémités sont dans ∂D, et telle que f s’étend en un plongement de l’adhérence de chaque composante connexe D_{j} de

D_{c} = D \ ⋃_{1≤i≤q} c_{i}.

Orientons les arcs c_{i}. Notons x_{i}^{±} leurs extrémités et D_{i^{±}} les composantes connexes de D_{c} bordées par c_{i}.

Par densité des géodésiques périodiques, nous pouvons trouver des suites {γ_{i,n}}_{n∈ℕ} d’éléments de π_{1}(N) telles que :

(i) les suites {γ_{i,n}^{±}}_{n∈ℕ} convergent vers f(x_{i}^{±}) ;

(ii) ∀ i, n γ_{i,n}^{±} ∉ f(D_{i}^{±}).

D’après le lemme 9.2.1, pour toute composante D_{j} de D_{c}, il existe une suite de groupes libres convexes cocompacts {F_{j,n}}_{n∈ℕ} vérifiant, si c_{i} est dans le bord de D_{j},

(iii) ∀n, ∃q, γ_{i,n}^{q} ∈ F_{j,n};

(iv) ∀γ ∈ F_{j,n} \ {id}, γ(f(D_{j})) ∩ f(D_{j}) = ∅;

(v) (f, D_{j}) = lim inf_{n∈ℕ}(p_{j,n}, D).

Ici p_{j,n} désigne la projection du revêtement universel de Ω(F_{j,n}) identifié à D, choisi de telle sorte que p_{n}(0) = y_{j} ∈ D_{j}.

Pour tout j, n, notons S̄_{j,n} la surface compacte

S̄_{j,n} = Ω(F_{j,n})/F_{j,n},

et π_{j,n} la projection naturelle de Ω(F_{j,n}) sur S̄_{j,n}. La condition (iv) assure que π_{j,n} ∘f est un plongement de D_{j} dans S̄_{j,n}.

Dans la construction précédente, nous pouvons éventuellement prendre des sous-groupes d’indice fini des F_{j,n}; nous avons également une certaine liberté concernant le choix des générateurs des groupes F_{j,n} autres que les γ_{i}.

Pour continuer notre démonstration, nous allons raffiner notre construction. Utilisons la latitude que nous venons de décrire de telle sorte que les groupes F_{j,n} vérifient les propriétés supplémentaires suivantes :

(vi) le groupe F_{n} engendré par la réunion des F_{j,n} est lui-même convexe cocompact ;

(vii) f(c_{i}) ⊂ Ω(F_{n}).

Choisissons maintenant, pour tout i, n, des voisinages B_{i,n}^{±} de γ_{i,n}^{±}, homéomorphes à la boule fermée, disjoints deux à deux, tels que

(viii) γ_{i,n}(∂_{∞}M \ B_{i,n}^{−}) ⊂ B_{i,n}^{+} ;

(ix) lim_{n→∞}(diam(B_{i,n}^{±})) = 0 ;

(x) ces voisinages rencontrent les images des c_{i} exactement en leurs extré-

mités :

f(c_{i}) ∩ B_{i,n}^{±} = f(x_{i}^{±}).

A nouveau, si besoin en était, nous avons pris des sous-groupes d’indice fini des F_{j,n}.

Construisons encore pour tout entier n, et tout j ∈ {1, …, q}, une courbe c_{i,n} tracée sur Ω(F_{n}), telle que :

(xi) f(c_{i}) ⊂ c_{n,i};

(xii) γ_{i,n}(c_{i,n}) = c_{i,n};

(xiii) c_{n,i} \ f(c_{i}) ⊂ B_{i,n}^{+} ∪ B_{i,n}^{−}.

Pour ce faire, il faut procéder de la manière suivante : d’après la condition (viii), γ_{i,n}(f(c_{i})) ⊂ B_{i,n}^{+} ; par ailleurs, B_{i,n}^{+} \ B_{i,n}^{−} est connexe de même que son adhérence A; d’après la condition (x), cette adhérence A rencontre f(c_{i}) exactement en f(x_{i}^{+}), et γ_{i,n}(f(c_{i})) en γ_{i,n}(f(x_{i}^{−})). Choisissons donc dans A un chemin plongé λ_{i,n} joignant f(x_{i}^{+}) et γ_{i,n}(f(x_{i}^{−})). Nous pouvons alors prendre comme courbe c_{i,n}, la réunion des images itérées de l’arc f(c_{i}) ∪ λ_{i,n}:

c_{i,n} = ⋃_{p∈ℤ}γ_{i,n}^{p}(f(c_{i}) ∪ λ_{i,n}).

Enfin, en prenant éventuellement des sous-groupes d’indice fini des F_{j,n}, la condition (xiii) et le fait que les B_{i,n}^{±} sont deux à deux disjoints, nous permettent d’assurer la condition supplémentaire suivante :

(xiv) pour tout j et n, si c_{i_{1}}, … c_{i_{m}}, sont tracées dans le bord de D_{j}, alors les courbes π_{j,n}(c_{i_{k},n}) sont des courbes plongées et d’intersection vide dans S̄_{j,n} = Ω(F_{n})/F_{n}.

Rappelons que D_{j} est une composante connexe de

D \ ⋃_{1≤i≤q} c_{i}.

Nous avons fini d’imposer des conditions supplémentaires aux groupes F_{j,n}.

Commençons la démonstration. D’après la condition (iv), π_{j,n} ∘f est un plongement de D_{j} dans

U_{j,n} = S̄_{j,n} \ ⋃_{1≤k≤m} π_{j,n}(c_{i_{k},n}).

Notons Σ_{j,n} la composante connexe de U_{j,n} dans laquelle s’envoie D_{j}. Par construction, Σ_{j,n} est une surface dont le bord s’identifie à la réunion des courbes π_{j,n}(c_{i_{k},n}). Soit Γ_{j,n} le groupe fondamental de Σ_{j,n}, et S_{j,n} son revêtement universel.

L’étape suivante va être de fusionner toutes les surfaces S_{j,n}. La procédure est la suivante : pour tout i et n, la construction décrite en 9.3, permet de fusionner S_{n}^{i^{+}} et S_{n}^{i^{−}} le long de c_{i,n}. En procédant de proche en proche, nous produisons ainsi une immersion équivariante cocompacte (f_{n}, S_{n}, Γ_{n}) ayant la propriété suivante : il existe un plongement i_{n} de D dans S_{n} tel que f = f_{n} ∘ i_{n} c’est-à-dire

(f, D) ⊂ (f_{n}, S_{n}) [i_{n}].

Par ailleurs les courbes c_{i,n} donnent naissance à des courbes q_{i,n} tracées sur S_{n} telles que i_{n}(c_{i}) ⊂ q_{i,n} et f_{n}(q_{i,n}) = c_{i,n}.

Pour conclure, il nous suffit de montrer

(f, D) = lim inf_{n∈ℕ}(f_{n}, S_{n}) [i_{n}].

Soit s(n) une sous-suite et (g, U) un plongement d’un ouvert U connexe, tels que

\begin{aligned}(g, U) & ⊂ & (f_{s(n)}, S_{s(n)}) & [j_{s(n)}], \\ (f, D) & ⊂ & (h, U) & [j], \end{aligned}

avec i_{s(n)} = j_{s(n)} ∘ j. Pour simplifier les notations, nous allons supposer s(n) = n.

Voyons j comme une inclusion, et supposons que D est un ouvert de U. Notons Z(D) la frontière de D dans U. Nous voulons montrer que Z(D) est vide. Raisonnons par l’absurde et supposons que cet ensemble est non vide.

Munissons ∂_{∞}M d’une métrique annexe, U, S_{n} et D des métriques induites. D’après notre hypothèse (ix),

lim_{n→∞}(diam(B_{i,n}^{±})) = 0.

Il existe donc un point x de Z(D) et un nombre ε > 0 tels que

∀i, n d(g(x), B_{i,n}^{±}) ≥ ε,
∀i, d(x, c_{i}) ≥ ε.

En particulier, l’hypothèse (xiii) entraîne :

(xv) ∀i, n d(i_{n}(x), q_{i,n}) ≥ ε.

Pour ε suffisamment petit, g est une bijection de la boule B_{ε}^{U} de rayon ε de centre x dans U, vers la boule B_{ε} de centre g(x) de rayon ε dans ∂_{∞}M.

Le point x appartient nécessairement à la frontière d’une des composantes D_{j} de

D \ ⋃_{1≤i≤q} c_{i}.

Rappelons maintenant que S_{n} est la réunion de copies isométriques des surfaces S_{j,n}, bordées par les courbes q_{i,n} qui s’envoient par f_{n} sur les courbes c_{i,n}.

La condition (xv) nous permet d’affirmer que j_{n}(B_{ε}^{U}) est inclus dans l’intérieur d’une de ces copies de S_{j,n}. En particulier, puisque

B_{ε} = g(B_{ε}^{U}) = f_{n} ∘ j_{n}(B_{ε}^{U}),

nous en déduisons que pour tout n, g(B_{ε}) est inclus dans Ω(F_{j,n}). Ceci est impossible : la limite de Hausdorff des Λ(F_{j,n}) contient F r(D_{j}), et donc g(x), par construction.

Ce dernier point est la contradiction recherchée.⋄

9.6 Démonstration du théorème 9.0.2

Nous pouvons maintenant démontrer la densité des feuilles périodiques dans l’espace laminé N.

Tout d’abord la proposition 9.5.1 et le lemme 9.1.2 entraînent que l’adhérence de la réunion des feuilles périodiques contient l’ensemble des quasi-plongements.

Le théorème 9.0.2 suit alors de la proposition 9.4.1 et de la proposition suivante

Proposition 9.6.1 Soit (f, D) un problème de Plateau asymptotique. Soit {U}_{n∈ℕ} une suite emboîtée d’ouverts relativement compacts de D telle que

⋃_{n∈ℕ}U_{n} = D.

Notons {(ϕ_{n}, U_{n})}_{n∈ℕ} la suite de solutions des problèmes de Plateau asymptotiques définis par {(f, U_{n})}_{n∈ℕ} obtenues par le théorème 7.3.2. Nous avons alors les deux résultats suivants :

(i) si (f, D) admet une solution (ϕ, D), alors la suite {(ϕ_{n}, U_{n})}_{n∈ℕ} pointées à l’origine de D converge vers (ϕ, D) ;

(ii) supposons que D est le revêtement universel de ∂_{∞}M privé des deux extrémités d’une géodésique γ; soit f la projection canonique de D dans ∂_{∞}M ; notons S_{n} l’ensemble des vecteurs normaux extérieurs à la surface ϕ_{n}(U_{n}) ; alors la suite de surfaces {S_{n}}_{n∈ℕ}, immergées dans UM pointées à l’origine de D, converge vers le tube de γ.

Démonstration. Montrons (i) tout d’abord. D’après le théorème 7.2.1, pour tout n, ϕ_{n}(U_{n}) est le graphe d’une fonction f_{n} au-dessus de ϕ(U_{n}). D’après le lemme 7.1.2

∀x ∈ D, ∃K, tel que ∀n, f_{n}(x) ≤ K.

Les arguments de compacité habituels montrent que la suite de fonctions {f_{n}}_{n∈ℕ} converge C^{∞} sur tout compact. Le graphe de la limite est une solution du problème de Plateau asymptotique défini par (f, D). L’unicité de la solution du problème de Plateau asymptotique montre que cette fonction limite est identiquement nulle. Ceci démontre l’assertion (i).

En ce qui concerne l’assertion (ii), il suffit de montrer la propriété suivante : il n’existe pas de sous-suite s(n), telle que la suite de k-surfaces {(ϕ_{s(n)}, U_{s(n)})}_{n∈ℕ} pointées à l’origine de D, converge vers k-surface. En effet, dans ce cas, d’après le théorème de compacité 4.1.1, la suite {S_{n}}_{n∈ℕ} converge vers le tube d’une géodésique. Par construction de D, cette géodésique ne peut être que γ. Maintenant, si la suite de k-surfaces {(ϕ_{s(n)}, U_{s(n)})}_{n∈ℕ} pointées à l’origine de D converge vers une k-surface, celle-ci est une solution du problème de Plateau asymptotique défini par ∂_{∞}M privé d’un ou deux points. Ceci contredit le théorème 7.4.1.⋄

9.6.1 Remarque

Soit (f, D) un problème de Plateau asymptotique qui s’étend en un homéomorphisme local d’un voisinage du disque fermé dans ∂_{∞}M. Soit (ϕ, D) une ksurface solution du problème de Plateau asymptotique (f, D). Alors, (ϕ, D) n’est pas tubulaire à l’infini. En effet, si (ϕ, D) était tubulaire à l’infini, il existerait une suite {x_{n}}_{n∈ℕ} de points de ∂_{∞}M, telle que le cardinal de f^{−1}(x_{n}) tende vers l’infini. Ceci est une contradiction.

9.7 Feuilles périodiques de même genre

Nous voulons démontrer :

Proposition 9.7.1 Soit {Θ_{n}}_{n∈ℕ} = {(f_{n}, S_{n}, Γ_{n}, ρ_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’immersions équivariantes cocompactes telle que le genre de S_{n}/Γ_{n} soit borné. Soit {x_{n}}_{n∈ℕ} une suite de points telle que x_{n} ∈ S_{n} et que {f_{n}(x_{n})}_{n∈ℕ} reste dans un compact.

Supposons que {(f_{n}, S_{n}, x_{n})}_{n∈ℕ} converge vers (f_{∞}, S_{∞}, x_{∞}), nous avons alors les possibilités suivantes :

(i) soit il existe Γ_{∞} et ρ_{∞} telle que (f_{∞}, S_{∞}, Γ_{∞}, ρ_{∞}) est cocompacte. Dans ce cas {Θ_{n}}_{n∈ℕ} est constante à partir d’un certain rang,

(ii) soit (f_{∞}, S_{∞}) est dégénérée ou tubulaire à l’infini.

Remarquons qu’il découle de la proposition 9.6.1 et de la remarque 9.6.1 que l’ensemble des k-surfaces qui ne sont ni dégénérées, ni tubulaires à l’infini est dense dans l’espace N.

La proposition 9.7.1 et l’unicité énoncée dans le lemme de Morse entraîne que l’ensemble des k-surfaces compactes de même genre est discret. Nous en déduisons un raffinement du théorème 9.0.2 :

Théorème 9.7.2 Soit g ∈ ℕ, alors l’ensemble des feuilles compactes de genre plus grand que g est dense dans N.

9.7.1 Démonstration de 9.7.1

Montrons tout d’abord :

Proposition 9.7.3 Soit S une k-surface à courbure moyenne bornée. Munissons S de la métrique induite de celle de N. Le rayon d’injectivité de S est alors strictement positif.

Démonstration. Le théorème de compacité 4.1.1 montre que S est à géométrie bornée. Le rayon d’injectivité est donc bien uniformément minoré.⋄

Nous pouvons maintenant démontrer la proposition 9.7.1. D’après l’équation de Gauss, la courbure des métriques sur S_{n} est comprise entre deux constantes strictement négatives.

Supposons tout d’abord que le diamètre de S_{n}/Γ_{n} est uniformément borné. Alors S_{n}/Γ_{n} converge vers une surface compacte. Ainsi, la limite de la suite

{(f_{n}, S_{n}, Γ_{n}, ρ_{n})}_{n∈ℕ},

est une immersion équivariante cocompacte. En particulier, la suite {(Γ_{n}, ρ_{n})}_{n∈ℕ} devient constante à partir d’un certain rang. D’après l’unicité énoncée dans lemme de Morse, la suite {Θ_{n}}_{n∈ℕ} elle même est constante à partir d’un certain rang.

Si maintenant le diamètre de S_{n}/Γ_{n} tend vers l’infini, le rayon d’injectivité de S_{∞} est nul. D’après la proposition 9.7.3, la courbure moyenne de f_{∞} n’est pas bornée. La surface (f_{∞}, S_{∞}) est donc dégénérée ou tubulaire à l’infini.⋄

10 Généricité des feuilles denses

Nous nous proposons de démontrer :

Théorème 10.0.4 L’ensemble des points de N par lesquels passent des feuilles denses, est dense et est une intersection dénombrable d’ouverts.

Démonstration. Nous allons en fait démontrer un résultat plus fort. Notons M l’espace laminé associé à M, c’est-à-dire tel que N = M/π_{1}(N). Nous montrerons que dans M une feuille générique est dense.

Remarquons tout d’abord que l’espace N posséde une base dénombrable d’ouverts. Pour cela, il suffit de trouver une application continue injective de N dans un espace à base dénombrable. Notons donc N(k), l’espace des k-jets de plans de N, et N(∞) la limite projective des N(k). Cet espace est à base dénombrable. Par ellipticité, l’application naturelle de N dans N(∞) est injective et continue. De même, M est à base dénombrable.

La topologie de N provient donc d’une métrique qui en fait un espace complet. L’espace M jouit également de cette propriété. En particulier le théorème de Baire s’applique.

Pour conclure, soit X et Y deux points de M. Il nous suffit de montrer qu’il existe deux suites de points {X_{n}}_{n∈ℕ} et {Y_{n}}_{n∈ℕ}, tendant respectivement vers X et Y, telles que pour tout n, X_{n} et Y_{n} sont sur la même feuille L_{n}.

Nous nous donnons donc deux k-surfaces pointées (f_{∞}, S, x) et (ϕ_{∞}, Σ, y), dans M; notons f, et ϕ respectivement, leurs applications de Gauss-Minkowski à valeurs dans ∂_{∞}M.

Soit maintenant {S_{n}}_{n∈ℕ}, et {Σ_{n}}_{n∈ℕ} des exhaustions de S et Σ par des ouverts relativement compacts, contenant x et y respectivement. Soit (f_{n}, S_{n}), et (ϕ_{n}, Σ_{n}), les solutions des problèmes de Plateau asymptotiques définis respectivement par (f, XSS_{n}), et (ϕ, Σ_{n}). D’après la proposition 9.6.1, {(f_{n}, S_{n}, x)}_{n∈ℕ}, et {(ϕ_{n}, Σ_{n}, y)}_{n∈ℕ}, convergent respectivement vers (f_{∞}, S, x) et (ϕ_{∞}, Σ, y).

Par ailleurs, pour tout entier p, nous pouvons construire une famille de données asymptotiques {(h_{(p,n)}, U_{(p,n)}}_{n∈ℕ} et des injections i_{(p,n)} et j_{(p,n)} de S_{p} et Σ_{p} dans U_{(p,n)} respectivement, telles que

(f_{p}, S_{p}) = lim inf_{n∈ℕ}(h_{(p,n)}, U_{(p,n)}) [i_{(p,n)}],
(ϕ_{p}, Σ_{p}) = lim inf_{n∈ℕ}(h_{(p,n)}, U_{(p,n)}) [j_{(p,n)}].

Donnons l’esquisse de cette construction : il suffit de rejoindre f(S_{p}) et ϕ(Σ_{p}) par des rubans dont l’épaisseur tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

En utilisant le théorème 7.3.2, c’est-à-dire en restreignant au besoin U_{(p,n)}, nous pouvons enfin faire en sorte que, pour tout n et p, le problème de Plateau asymptotique (h_{(p,n)}, U_{(p,n)}) possède une solution (H_{(p,n)}, U_{(p,n)}).

D’après le lemme 9.1.2, la suite de k-surfaces pointées

{(H_{(p,n)}, U_{(p,n)}, i_{(p,n)}(x))}_{n∈ℕ},

converge vers (f_{p}, S_{p}, x), et, respectivement, la suite

{(H_{(p,n)}, U_{(p,n)}, j_{(p,n)}(y))}_{n∈ℕ},

converge vers (ϕ_{p}, Σ_{p}, y). Il existe donc une sous-suite s(n) telle que les suites de k-surfaces pointées

\begin{matrix}\{(H_{(s(n),n)}, U_{(s(n),n)}, i_{(s(n),n)}(x))\}_{n∈ℕ}, \\ \{(H_{(s(n),n)}, U_{(s(n),n)}, j_{(s(n),n)}(y))\}_{n∈ℕ}, \end{matrix}

convergent respectivement vers (f_{∞}, S, x) et (ϕ_{∞}, Σ, y).

Enonçons ceci dans le cadre de M. Les suites de points de M définies par

{X_{n}}_{n∈ℕ} = {(H_{(s(n),n)}, U_{(s(n),n)}, i_{(s(n),n)}(x))}_{n∈ℕ},
{Y_{n}}_{n∈ℕ} = {(H_{(s(n),n)}, U_{(s(n),n)}, j_{(s(n),n)}(y))}_{n∈ℕ},

convergent vers X = (f_{∞}, S, x) et Y = (ϕ_{∞}, Σ, y). Par ailleurs, pour tout n, X_{n} et Y_{n} appartiennent à la même feuille L_{n}, définie par

L_{n} = (H_{(s(n),n)}, U_{(s(n),n)}).

C’est ce que nous voulions démontrer.⋄

11 Stabilité

Notre but dans cette section est de démontrer un résultat analogue au théorème de stabilité du flot géodésique des variétés à courbure strictement négative :

Théorème 11.0.5 Soit N une variété compacte de dimension 3. Soit g une métrique à courbure strictement plus petite que -1, et k ∈]0, 1[. Notons N_{g}^{k} son espace des k-surfaces.

Soit k et l appartenant à ]0, 1[. Soit g et h deux métriques appartenant à la même composante connexe de l’espace des métriques à courbure plus petite que -1. Il existe alors un homéomorphisme Φ de N_{g}^{k} dans N_{h}^{l} envoyant feuille sur feuille.

11.1 Un lemme

Nous voulons montrer :

Lemme 11.1.1 Soit g une métrique à courbure strictement négative sur N et c une constante strictement positive. Il existe un voisinage U de g pour la topologie C^{∞} tel que : pour toute surface immergée complète à géométrie bornée (f, S) dont les courbures principales (pour la métrique g) sont plus grandes que c, pour toutes métriques h et h̄ dans U ; si (f, S) est horosphérique à l’infini pour h, alors (f, S) est horosphérique à l’infini pour h̄.

Démonstration. On peut choisir U de façon à ce que (f, S) ait une courbure extrinsèque plus grande que c^{2}/4 pour toutes les métriques de U. En particulier, S est une surface localement convexe pour toutes ces métriques.

Pour conclure, il suffit de montrer que si (f, S) est horosphérique pour h, alors (f, S) est horosphérique à l’infini pour h̄. Or, si (f, S) est horosphérique, elle (ou plus exactement son image inverse dans le revêtement universel) borde un ensemble convexe ayant exactement un point à l’infini. Le bord à l’infini étant un invariant de quasi-isométrie, nous en déduisons que le convexe bordé par (f, S) a lui aussi un seul point à l’infini pour h̄.

La surface (f, S) est donc une pseudo-horosphère pour la métrique g. Par le lemme 2.4.1, elle est horosphérique à l’infini pour h̄.⋄

11.1.1 Démonstration du théorème 11.0.5

Il suffit de considérer le cas de deux métriques h̄ et h suffisamment proches au sens C^{∞}. Nous allons les prendre dans un ouvert U donné par lemme précédent pour une constante c adéquate.

Soit L = (f, S) une feuille de N k ; h̄. Nous voyons ici (f, S) comme une immersion de S dans UN le fibré unitaire de N. Notons f_{R} l’application de S dans N, donnée par

f_{R} : s ↦ exp(Rf(s)).

D’après le corollaire 3.1.2, pour R choisi suffisamment grand indépendamment de S, chacune des courbures principales de f_{R} est plus grande qu’une constante c, avec c > l^{1/2}.

Ainsi pour une h est une métrique suffisamment proche de h̄, l’immersion (f_{R}, S) est à courbure plus grande que l.

Construisons notre homéomorphisme Φ. Séparons en deux cas.

(i) Supposons que (f, S) est un tube.

Alors, d’après le lemme de Morse pour les géodésiques, (f_{R}, S) est tubulaire pour la métrique h. Soit γ la géodésique correspondante et T son tube. Nous avons donc une projection radiale naturelle π de f_{R}(S) sur T. Nous posons enfin si x ∈ S

Φ(f, S, x) = (T, π ∘ f_{R}(x)),

où nous voyons maintenant (f, S, x), resp. (T, π ∘ f_{R}(x)), comme un point de N k ; h̄, resp. de N_{h}^{l}.

(ii) Supposons que (f, S) n’est pas un tube.

D’après le lemme de Morse pour les géodésiques, (f_{R}, S) n’est pas tubulaire pour h. De plus, par le lemme 11.1.1 (f_{R}, S) n’est pas horosphérique à l’infini. Le lemme de Morse 6.0.2, permet de construire une l-surface lentille pour la métrique h, (f̄, S̄) pour (f_{R}, S). Enfin, notons π la projection qui a tout point de (f_{R}, S) associe son pied sur (f̄, S̄). Nous pouvons alors définir

Φ(f, S, x) = (f̄, S̄, π ∘ f_{R}(x)).

A nouveau, nous voyons (f, S, x), resp.(f̄, S̄, π∘f_{R}(x)), comme un point de N k ; h̄, resp. de N_{h}^{l}.

Par construction, Φ envoie feuille sur feuille. La continuité de Φ provient du théorème de compacité 4.0.1.

Pour démontrer que Φ est une bijection, remarquons tout d’abord que Φ envoie bijectivement chaque feuille sur chaque feuille. Soit maintenant Φ̄ l’application obtenue en inversant les rôles de h et h̄. L’unicité dans le lemme de Morse entraîne que Φ ∘ Φ̄ envoie chaque feuille dans elle-même. L’application Φ ∘ Φ̄ est donc une bijection, ce qui entraîne que Φ est une bijection.⋄

Références

[1] M. Anderson The Dirichlet Problem at infinity for manifolds of negative curvatureJ. Differ. Geom. 18, 701-722 (1983)

[2] M. Gromov Foliated Plateau Problem I G.A.F.A. 1, 14-79 (1991)

[3] F. Labourie Equations de Monge-Ampère, courbes holomorphes et laminations G.A.F.A. 7, 496-534 (1997)

[4] F. Labourie Surfaces convexes dans l’espace hyperbolique et ℂℙ^{1}-struc-tures Jour. Lond. Mat. Soc. 45, 549-565 (1992)

[5] H. Rosenberg, J. Spruck On the existence of convex hypersurfaces of constant Gauss curvature in hyperbolic space J. Differ. Geom. 40-2, 379-409 (1994).