Formules de Verlinde pour les groupes simplement connexes et géométrie symplectique

Jean-Michel Bismut  François Labourie

October 14, 1997

Résumé : L’objet de la note est d’annoncer une démonstration des formules de Verlinde pour les groupes simplement connexes, par des méthodes de géométrie symplectique. On étend ainsi aux groupes de Lie généraux des résultats de Jeffrey-Kirwan obtenus pour SU(n).

Abstract : We announce a proof of the Verlinde formulas for arbitrary simply connected groups, by methods of symplectic geometry. Our results extend the results obtained by Jeffrey-Kirwan in the case of SU(n).

1 Introduction

Soit g ≥ 0, soit Σ une surface de Riemann de genre g (munie éventuellement de points marqués x_{1}, …, x_{s}). Soit G un groupe de Lie compact simple et simplement connexe. Soit M_{G} l’espace des modules des G fibrés stables sur Σ (munis de structures paraboliques en x_{1}, …, x_{s}). Alors M_{G} est muni naturellement d’un fibré en droites canonique L. Les formules de Verlinde [11] prédisent la dimension de H^{0}(M_{G}, L^{p}), pour p ∈ N. Faltings [4] identifie H^{0}(M_{G}, L^{p}) à l’espace des blocs conformes [10] et, à partir des règles de fusion, en déduit les formules de Verlinde pour A, B, C, D , G_{2}. Le cas G = SU(n) a été traité par Beauville et Laszlo [2]. Dans [1], Beauville obtient les formules de Verlinde pour A, B, C et D à partir des règles de fusion. Sorger [9] a annoncé une preuve des formules de Verlinde pour tous les groupes.

La version symplectique du problème évoqué plus haut est la suivante. Soient O_{1}, …, O_{s} ⊂ G des orbites adjointes de G. Soit R l’espace compact des représentations ρ : π_{1}(Σ) → G telles que si c_{i} est un petit cercle entourant x_{i}, alors ρ(c_{i}) ∈ O_{i}. Pour un choix générique de O_{1}, …, O_{s}, R est un orbifold, qui porte un orbifold-fibré L hermitien, muni d’une connexion ∇^{L} dont la courbure est la forme symplectique canonique σ de R.

Le Théorème de Riemann-Roch-Kawasaki [7] calcule l’indice d’un opérateur de Dirac bien choisi D_{p,+} sur R à l’aide d’intégrales de classe de cohomologie sur les strates de R.

Dans [12], Witten a calculé le volume symplectique de R. D’autre part quand (M, σ) est une variété symplectique munie d’une action de groupe et d’une application moment, les formules de Jeffrey-Kirwan [5] expriment les intégrales de classes caractéristiques sur les réductions symplectiques de Marsden-Weinstein à l’aide d’actions d’opérateurs différentiels sur le volume symplectique des fibres. Dans [6], Jeffrey et Kirwan ont considéré le cas où G = SU(n), avec un point marqué d’holonomie centrale, de telle sorte que R est une variété compacte C^{∞}. Elles ont montré l’applicabilité de la théorie de l’application moment. Des techniques de résidus non triviales leur permettent de montrer que la formule de Riemann-Roch-Hirzebruch est équivalente à la formule de Verlinde.

Nous nous proposons d’étendre les résultats de Jeffrey-Kirwan [6] à tous les groupes G. Nous montrons que quand R est un orbifold, pour p ∈ Z de module assez grand, l’indice de l’opérateur de Dirac considéré plus haut est donné par les formules de Verlinde. On étend ce résultat au cas général par un argument de perturbation. Pour G ≠ SU(n), R n’est en général pas C^{∞}. Les strates de R sont des espaces de modules pour des centralisateurs Z(u) ⊂ G d’éléments u ∈ G. En général Z(u) est connexe mais non simplement connexe. On peut encore utiliser, strate par strate, les formules de Witten [12] et des techniques à la Jeffrey-Kirwan [5]. Les preuves détaillées sont développées dans [3].

2 L’orbifold M_{G}

Soit G un groupe de Lie compact connexe, simplement connexe et simple. Soit T un tore maximal dans G. Soit t l’algèbre de Lie de T. Soit R ⊂ t^{∗} le système de racines de G, soit CR ⊂ t le système de coracines correspondant. Soit \overline{R} ⊂ t^{∗}, \overline{CR} ⊂ t les réseaux engendrés par R et R^{∗}. Soit Λ = \overline{CR}^{∗} le réseau des poids. Soit W le groupe de Weyl de G. Soit R_{+} un système de racines positives, soit K ⊂ t la chambre de Weyl correspondante, soit P ⊂ K l’alcove associée d’adhérence contenant 0. Si α ∈ R, soit h_{α} ∈ CR la coracine correspondante. Soit <, > le produit scalaire W -invariant sur t, tel que si h_{α} est une coracine courte, ∥h_{α}∥^{2} = 2. On identifie t et t^{∗} par le produit scalaire <, > . Alors

\overline{CR} ⊂ \overline{R} ∩ \overline{R}^{∗} ⊂ Λ. (1)

On a

Vol(T)^{2} = |\frac{Λ}{\overline{CR}}| (2)

Proposition 2.1 Soit q ∈ N^{∗}. Soit f : \frac{Λ}{\overline{qR}^{∗}} → R une fonction W -invariante. Alors

∑_{{λ∈Λ/q\overline{R}^{∗} \atop σ(λ)≠0.}} f(λ) = \frac{|W |}{|Z(G)|} ∑_{λ∈qP ∩Λ} f(λ) (3)

Soit G′ = G/Z(G). Alors T′ = t/\overline{R}^{∗} est un tore maximal dans G′.

Définition 2.2 Soit C ⊂ t l’ensemble des u ∈ t tels que {α ∈ R, < α, u >∈ Z} engendre t^{∗}.

Si u ∈ G′, soit Z(u) ⊂ G le centralisateur de G. Alors Z(u) est un sousgroupe de Lie connexe de G. Si u ∈ T′, on pose W (u) = {u ∈ W, wu = u}.

Proposition 2.3 Si u ∈ T′, le système de racines R_{u} de Z(u) est donné par

R_{u} = {α ∈ R, < α, u >∈ Z}, (4)

et R_{u,+} = R_{u} ∩ R_{+} est un système de racines positives pour Z(u). Le groupe de Weyl W_{u} de Z(u) est donné par

W_{u} = W (u). (5)

Enfin

(6) C/\overline{R}^{∗} = \{u ∈ T′; Z(u) est semi-simple.\}

Soient t_{1}, …, t_{s} des éléments réguliers de t. Soient O_{t_{1}}, …, O_{t_{s}} ⊂ G les orbites adjointes de t_{1}, ⋯, t_{s}. Soit g ≥ 2. Soit Σ_{0} une surface de Riemann orientée de genre g. Soit x_{1}, ⋯, x_{s} s points distincts de Σ_{0}. On pose Σ = Σ_{0}\{x_{1}, ⋯, x_{s}}. Soit Γ = π_{1}(Σ). Soit M(G, t_{1}, ⋯, t_{s}) l’espace des représentations de Γ à valeurs dans G, qui , évaluées sur un petit cercle c_{i} entourant t_{i}, prennent leurs valeurs dans l’orbite O_{t_{i}}. Soit S ⊂ T l’ensemble des t ∈ T qui s’écrivent sous la forme t = ∑_{α∈R_{+}} t^{α}h_{α}, de telle sorte que {h_{α} tels que t_{α} ≠ 0} n’engendre pas t.

Définition 2.4 On dit que t_{1}, ⋯, t_{s} vérifient l’hypothèse (A) si pour tout (w^{1}, ⋯, w^{s}) ∈ W^{s}, ∑_{j=1}^{s} w^{j}t_{j} ∉ S.

Théorème 2.5 Si (t_{1}, ⋯, t_{s}) vérifient l’hypothèse (A), alors M(G, t_{1}, ⋯, t_{s}) est une variété sur laquelle G′ agit localement librement.

On suppose que (t_{1}, ⋯, t_{s}) vérifient l’hypothèse (A). Alors par le Théorème 2.5, M = M(G, t_{1}, …, t_{s}) est une variété C^{∞}, et M/G′ est un orbifold. Si x ∈ M, le stabilisateur St(x) ⊂ G′ est un groupe fini.

Proposition 2.6 L’ensemble des classes de conjugaison des g′ ∈ G′ qui appartiennent à un stabilisateur St(x) est en bijection avec W \C/\overline{R}^{∗}.

Soit u ∈ C/\overline{R}^{∗}. Soit M^{u} = \{x ∈ M; ux = x\}. Si t′_{1}, ⋯, t′_{s} ∈ T, on désigne par M(Z(u), t′_{1}, ⋯, t′_{s}) l’ensemble M relatif à Z(u) et aux Z(u) -orbites de t′_{1}, ⋯ t′_{s}.

Proposition 2.7 Pour u ∈ C/\overline{R}^{∗}, on a l’identité

M^{u} = ⋃_{(w^{1},···w^{s})∈(W (u)\W)^{s}} M(Z(u), w^{1}t_{1}, ⋯ w^{s}t_{s}) (7)

et les ensembles à droite de (9) sont non vides et disjoints.

Soit Z̃(u) le revêtement universel de Z(u). Soit CR_{u} l’ensemble des coracines de Z̃(u). Rappelons que π_{1}(Z(u)) = \overline{CR}/\overline{CR}_{u}. Pour u ∈ C/\overline{R}^{∗}, on a la décomposition naturelle

M^{u} = ⋃_{{(w^{1},···w^{s})∈W (u)\W^{s} \atop h∈\overline{CR}/\overline{CR}_{u}}} M(Z(u), w^{1}t_{1}, ⋯ w^{s}t_{s}, h), (8)

Soit x ∈ M. Alors la représentation x : Γ → G définit un G fibré plat sur Σ. Si G est l’algèbre de Lie de G, on pose E = Σ ×_{G} G. Soit Ĥ^{1}(Σ, E) l’image de la cohomologie relative dans la cohomologie absolue de Σ à coefficients dans E. Alors Ĥ^{1}(Σ, E) est un fibré G′ -équivariant sur M, qui définit le fibré tangent à l’orbifold M/G′. Si ω, ω′ ∈ Ĥ^{1}(Σ, E), on pose

σ(ω, ω′) = ∫_{Σ} − < ω ∧ ω′ > . (9)

Alors σ est une 2 forme fermée G′ invariante sur M qui descend en une 2-forme symplectique sur M/G′.

On suppose que p ∈ Z, et que les orbites O(t_{1}), ⋯, O(t_{s}) sont d’ordre p, i.e. pour 1 ≤ j ≤ s, pt_{j} ∈ \overline{CR}. Par une construction proche de [8], on peut construire sur M un G′-fibré en droites hermitien L_{p}, muni d’une connexion horizontale ∇^{L_{p}} telle que

c_{1}(L_{p}, ∇^{L_{p}}) = pσ (10)

Alors L_{p} descend en un orbifold-fibré en droites sur M/G′.

Proposition 2.8 Si u ∈ C/\overline{R}^{∗}, si (w^{1}, ⋯ w^{s}) ∈ W^{s}, h ∈ \frac{\overline{CR}}{\overline{CR}_{u}} , alors l’action de u sur L_{p}|_{M(Z(u),w^{1}t_{1},···w^{s}t_{s},h)} est donnée par multiplication par e^{2iπp⟨∑_{1}^{s} w^{j}t_{j}+h,u⟩}

Soit J^{T M/G′} une structure presque complexe G′ invariante sur Ĥ^{1}(Σ, E) ≃ T M/G′ qui polarise la forme σ. Soit D^{M/G′} l’opérateur de Dirac sur l’orbifold M/G′ agissant sur les sections C^{∞} de Λ(T^{∗(0,1)}M/G′) ⊗ L_{p} (où T^{∗(0,1)}M/G′ est défini par J^{T M/G′}). L’indice Ind(D_{+}^{M/G′}) de la restriction D_{+}^{M/G′} de D^{M/G′} aux formes paires est donné par [7]. Soit A(u, L_{p}) la classe caractéristique considéré comme ensemble de points fixes de u dans M/G′).

Théorème 2.9 On a la formule

Ind(D_{+}^{M/G′}) = ∑_{u∈C/\overline{R}^{∗}} \frac{|W (u)|}{|W |} \frac{|Z(G)|}{|Z(Z(u))|} ∫_{M^{u}/Z′(u)} A(u, L_{p}). (11)

On pose Λ_{+} = Λ∩K. Pour λ ∈ Λ_{+}, soit χ_{λ} le caractère de la représentation de G de plus haut poids λ. Pour t régulier dans T, soit V_{G}(t_{1}, …, t_{s}, t) le volume symplectique de la variété M/G′ associée aux orbites de t_{1}, …, t_{s}, t. Rappelons le résultat fondamental de Witten [12]:

Théorème 2.10 On a la formule

V_{G}(t_{1}, …, t_{s}, t) = |Z(G)|\frac{Vol(G)^{(2g+s−1)}}{Vol(T)^{s+1}} ∑_{λ∈Λ_{+}} \frac{∏_{1}^{s} |σ(t_{j})|χ_{λ}(t_{j})|σ(t)|χ_{λ}(t)}{[χ_{λ}(1)]^{2g+s−1}}. (12)

Soit Λ_{u} = \overline{CR}_{u}^{∗}. Pour t ∈ t, on pose

π_{u}(t) = ∏_{α∈R_{u+}}⟨2iπα, t⟩. (13)

Définition 2.11 Pour u ∈ C/\overline{R}^{∗}, n ∈ N, t ∈ t/\overline{CR}_{u}, on pose

P̃_{u,n}(t) = − ∑_{{λ∈Λu \atop πu∗(λ)≠0}} \frac{exp(2iπ⟨λ, t⟩)}{[π_{u}(λ)]^{n}}. (14)

De même pour u ∈ C/\overline{R}^{∗}, n ∈ N, q ∈ N, t ∈ T = t/\overline{CR}, on pose

P_{u,n,q}(t) = \frac{1}{|\frac{\overline{CR}}{\overline{CR_{u}}} |} ∑_{h∈_{\frac{\overline{CR}}{\overline{CRu}}}} exp(2iπ⟨qu, h⟩)P̃_{u,n}(t + h). (15)

On vérifie très que P_{u,n,q}(t) est un polynôme sur T \S. Soit c le nombre dual de Coxeter de G. Si α_{0} ∈ R_{+} est la racine dominante, alors c = ⟨ρ, h_{α_{0}}⟩+ 1. Soit H_{u}(t) la fonction

H_{u}(t) = (−1)^{ℓ(g−1)+1} [\frac{∏_{α∈R_{u,+}} ⟨α, t⟩}{∏_{α∈R_{+}} 2 sinh(\frac{1}{2}⟨α, t + 2iπu⟩)}]^{2g−2+s} (16)

Théorème 2.12 Pour u ∈ C/\overline{R}^{∗}, on a

∫_{M^{u}/Z′(u)} A(u, L_{p}) = (17)

Vol(T)^{2g−2} \frac{|Z(Z(u)|}{|W (u)|}(p + c)^{(g−1) dim(z(u))+(s/2) dim(z(u)/t)}
H_{u}(\frac{∂/∂t}{p+c}) ∑_{(w^{1},··· ,w^{1})∈W^{s}} ∏_{j=1}^{s} ε_{w^{j}}e^{⟨w^{j}(ρ−ct_{j}), \frac{∂/∂t}{p+c} ⟩+2iπ⟨w^{j}(ρ+pt_{j}),u⟩}
P_{u,2g−2+s,p+c}(t)|_{t=∑_{1}^{s} w^{j}t_{j}} .

Soit e_{1}, …, e_{r} ⊂ R_{+} la base simple correspondante, soit e^{1}, …, e^{r} la base duale. On numérote R_{+} sous la forme R_{+} = {α_{1}, …, α_{ℓ}}, avec α_{i} = e_{i} pour 1 ≤ i ≤ r.On dit que I = {i_{1}, …, i_{r}} ⊂ {1, …, ℓ} est générique si pour tout j, 1 ≤ j ≤ r, (α_{i}, …, α_{i_{j}}, e_{j+1}, …, e_{r}) est une base de t^{∗}. On pose

⟨α_{i_{1}} … α_{i_{r}}⟩ = ⟨α_{i_{1}} ∧ … ∧ α_{i_{r}}, e^{1} ∧ … ∧ e^{r}⟩ . (18)

Si I est générique, α_{i_{1}}, …, α_{i_{r}} est une base de t^{∗}. Soit α^{i_{1}}, …, α^{i_{r}} la base duale de t. Pour x ∈ C^{ℓ}, on pose

x^{I} = ∑_{j=1}^{r} x_{i_{j}}α^{i_{j}} . (19)

Pour 1 ≤ j ≤ r, soit p_{j}^{I} le projecteur de t sur {e_{j+1}, …, e_{r}} de noyau {α_{i+1}, …, α_{i_{j}}}. On note I_{u} = {i ∈ {1, …, … ℓ}, α_{i} ∈ R_{u,+}}.

Définition 2.13 On note I_{u} l’ensemble des I = (i_{1}, …, i_{r}) ⊂ I_{u} tels que si σ ∈ S_{r} est défini sur i_{σ^{I}(1)} < i_{σ^{I}(2)} … < i_{σ^{I}(r)}, si j ∈ I_{u} \ I, ou bien j < σ^{I}(1), ou bien si p_{j} est défini par i_{σ^{I}(1)} … < i_{σ^{I}(p_{j})} < j < i_{σ^{I}(p_{j}+1)}, alors α_{j} ∉ {α_{i_{σ^{I} (1)}}, …, α_{i_{σ^{I} (p_{j})}}}.

Soit S_{1} l’analogue de S dans t/\overline{R}. Soit τ la projection T = t/\overline{CR} → t/\overline{R}. Alors τ envoie S dans S_{1}. On pose \overline{S} = τ^{−1}S_{1}. Alors S ⊂ \overline{S}. Si G est simplement lacé, S = \overline{S}. On fait l’hypothèse (A′) que pour tout

(w^{1}, …, w^{s}) ∈ W^{s}, ∑_{1}^{s} w^{j}t_{j} ∈ T \ \overline{S}. Pour I = (i_{1}, …, i_{r}), on pose

(20) Res_{x=0}^{I} = Res_{x_{i_{σ^{I}(r)}=0}} … Res_{x_{i_{σ^{I}(1)}=0}} .

Soit d ∈ N un multiple des |⟨α_{i_{1}}, ∧ … α_{i_{r}}⟩|. Pour μ ∈ Λ/\overline{R}^{∗}, soit λ_{μ} ∈ Λ un représentant de μ. On pose ρ = \frac{1}{2} ∑_{α∈R_{+}} α.Soit x ∈ R → [[x]] la fonction

périodique de période 1 telle que [[x]] = x pour x ∈ [0, 1[.

Théorème 2.14 Pour p ∈ N, et (t_{1}, …, t_{s}) vérifiant (A’), alors

(21) Ind(D_{+}^{M/G′}) = Vol(T)^{2g−2} \frac{|Z(G)|}{|W |}(p + c)^{(g−1) dim(T)}(−1)^{ℓ(g−1)+r}
∑_{u∈C/\overline{R}^{∗}} ∑_{{I=(i_{1},... ,i_{r})∈I_{u} \atop f∈\overline{R}/\overline{dR}} ; μ∈Λ/\overline{R}^{∗}} \frac{1}{⟨α_{i_{1}}, …, α_{i_{r}}⟩}Res_{x=0}^{I}( [ ∏_{α∈R_{+}} \frac{1}{2 sinh(\frac{1}{2}⟨α, \frac{x^{I}}{p+c} + 2iπu⟩)}]^{2g−2+s}

∑_{(w^{1}...w^{s})∈W^{s}} ε_{w^{1}} … ε_{w^{s}} exp(⟨∑_{j=1}^{s} w^{j}(p − ct_{j}), \frac{x^{I}}{p + c}⟩

+2iπ⟨∑_{j=1}^{s} w^{j}t_{j}, λ^{μ}⟩ + 2iπ⟨∑_{j=1}^{s} w^{j}(ρ + pt_{j}) + (p + c)f, u⟩)

\{exp (d ∑_{j=1}^{r} \frac{⟨p_{j−1}^{I}α_{i_{j}}, x^{I}⟩}{⟨p_{j−1}^{I}α_{i_{j}}, e^{j}⟩} [[\frac{1}{d}⟨p_{j−1}^{I}(∑_{j=1}^{s} w^{j}t_{j} + f), e_{j}⟩]])

\frac{1}{∏_{j=1}^{r} ( exp (d\frac{⟨p_{j−1}^{I}α_{i_{j}}, x^{I}⟩}{⟨p_{j−1}^{I}α_{i_{j}}, e^{j}⟩}) − 1)}\}(x − 2iπλ̃_{μ}))

Preuve : On utilise le Théorème 2.12 et le théorème des résidus.

Soient θ_{1}, …, θ_{s} des éléments de Λ_{+} ∩ \overline{R}. On introduit maintenant l’expression donnée par Verlinde [11].

Définition 2.15 Pour g ∈ N^{∗}, q ∈ N, on pose

V_{g,q}(θ_{1}, …, θ_{s}) = Vol(T)^{2g−2}q^{(g−1) dim(T)} \frac{|Z(G)|}{|W |} ∑_{{λ∈Λ/q\overline{R}^{∗} \atop σ(λ/q)≠0}} \frac{1}{[iσ(λ/q)]^{2g−2}} ∏_{j=1}^{s} χ_{θ_{j}}(e^{λ/q}) . (22)

Définition 2.16 On dit que (θ_{1}, …, θ_{s}) vérifient (B_{q}) si pour tout (w^{1}, …, w^{s}) ∈

W^{s}, \frac{1}{q} ∑_{1}^{s} w^{j}θ_{j}, considéré comme élément de t/\overline{R}, n’appartient pas à S_{1}.

Théorème 2.17 Supposons que t_{1}, …, t_{s} sont d’ordre p_{0} ∈ N, et vérifient (A’). Alors pour p ∈ Z multiple de p_{0} de module assez grand

Ind(D_{+}^{M/G′}) = V_{g,p+c}(pt_{1}, …, pt_{s}) . (23)

Preuve : Par un théorème des résidus, on montre que V_{g,p+c}(pt_{1}, ⋯, pt_{s}) est donné par une formule essentiellement équivalente à la formule donnée au Théorème 2.14. On voit apparaître ainsi des contributions des pôles du dénominateur de la formule de Weyl. Sauf pour SU(n) —pour lequel toutes les bases réelles de t ≃ t^{∗} incluses dans R engendrent \overline{R} —apparaissent des pôles supplémentaires qu’on décrit à l’aide des u ∈ C/\overline{R}^{∗}. Remarque. Dans [3], on se débarasse des hypothèses restrictives (A) ou (A′). Par une petite perturbation de t_{1}, …, t_{s}, dans le cas général, on obtient un opérateur de Dirac sur une variété orbifold tel que le Théorème soit encore vrai. Pour obtenir le Théorème pour \underline{tout} p multiple de p_{0}, on doit prendre une perturbation non triviale de cette variété. Avec s= 0 ou 1, ces restrictions sont inutiles. Dans [3], on traite avec les mêmes techniques le cas où g = 0 ou 1.

References

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