Introduction à l'Analyse Fonctionnelle

UE SLUMA604

S6- 2020/21

Stéphanie Nivoche (Stephanie.NIVOCHE@univ-cotedazur.fr)

Prérequis: Les notions mathématiques abordées dans les cours ”MS11, MS21, MS31, MS32, MS41, MS51 et MS53” du cahier de la licence

- Programme du cours (p99 du cahier de la licence)

• Topologie des espaces métriques, exemples.

Ouverts, fermés, adhérence, intérieur.  Distance à une partie.  Partie dense.

Applications continues (images réciproques) et uniformément continues, théorème de Heine, homéomorphismes.

Compacité.

Connexité.

• Espaces métriques complets.

Théorème du point fixe de Banach et applications (théorème de Cauchy-Lipschitz...

Théorème de Baire et applications.

• Espaces fonctionnels.

CV simple et CV uniforme. Théorèmes d'Ascoli et de Stone-Weierstrass.

• Espaces vectoriels normés généraux (dimension quelconque), applications linéaires continues.

Applications : CV absolue de série, exponentielle de matrice.

• Espaces L^p,

Inégalités (Jensen, Hölder, Minkowski), Continuité des translations.

Convolution dans les espaces L^p (R^d) : cas L¹ ∗L^p et L^p ∗L^q avec p, q conjugués.

Densité des fonctions continues à support compact (mesure de Lebesgue). Théorème de Riesz-Fischer.

Transformée de Fourier sur L¹ .

- Matériel dydactique, médiagraphie
Références :

1) Pour la 1ère partie


• H. Brezis. - Analyse fonctionnelle : Théorie et applications.

• J. A. Dieudonné. - Elements d’analyse. Tome I. Fondements de l’analyse moderne.

• Rudin, Real and Complex Analysis

• Cours de Topologie, niveau Licence (C.Laurent et A.Dufresnoy), 2002.

• [T2] Mathématiques Tout-en-un pour la licence, Niveaux L1 et L2, J-P.Ramis et A.Warusfel

  2) Pour la seconde partie

• Chapitres 8, 9 et 10 du cours "Intégration et théorie de la mesure" de L.Rifford

Modalités de contrôle des connaissances:

- 1 partiel (50%)

- 1 contrôle terminal (50%)

ATTENTION :

Une absence non justifiée au partiel ou au contrôle terminal entraîne une note de 0/20.

Si l'absence est justifiée, le justificatif doit être envoyé à Stephanie.NIVOCHE@univ-cotedazur.fr dans les trois jours suivants l'absence.