Vésicules et Globules Rouges

Modélisation et Simulation

Olivier Pantz¹ avec Karim Trabelsi² et Benoît Merlet³.

Journées EDP Normandie

http://math.unice.fr/~pantz/Presentations/2015/EDP-Normandie

^{1Laboratoire J.A. Dieudonné, Université de Nice}
^{2Institut Polytechnique des Sciences Avancées}
^{3Laboratoire Paul Painlevé, Université Lille 1}

Plan

Modélisation
- Description de la structure des vésicules et globules rouges
- Le modèle de Helfrich
Justification
- Lagrangienne: Limite asymptotique formelle d'un solide hyper-élastique
- Eulérienne: Limite asymptotique par $\Gamma$-convergence
Simulation
- Un algorithme de minimisation alternée
- Quelques applications

Modélisation

Vésicules

Zoom

Tete

Queue

Propriétés

Incompressible
(surface locale constante)
Absence de tilde
Inextensibilité
(molécules de longueur constante)
Fluide bidimensionnel
Imperméable
(volume délimité constant)

Globules Rouges

Globule Rouge
=
Membrane bilipidique
+
cytosquelette

Les filaments d'actine contribuent à rigidifier la structure.

Déformation

Midd Surface

Radius

Width

$$\h << R$$

Fade

Deformation

Vésicules

Helfrich

A l'équilibre, la déformation minimise l'énergie de Helfrich $$ \ElastNRJ(\psi)=\int_{\Smidd} \kappa |H-H_0|^2 \dS, $$ où

$H$ est la courbure moyenne
$H_0$ est la courbure spontanée

sous les contraintes

Aire de la surface constante (incompressibilité)
Volume fixe (imperméabilité).

Globules rouges

Helfrich + membranaire

A l'équilibre, la déformation minimise $$ \ElastNRJ(\psi)=\int_{\Smidd} \kappa |H-H_0|^2 + W(\Dt \psi) \dS, $$ avec $\Dt \psi$ est la différentielle tangentielle de $\psi$.

Les mêmes contraintes sont respectées.

Justification 1

du 3D au 2D

Une approche Lagrangienne

Hyper-élasticité

On assimile une vésicule à un solide hyper-élastique.

$\S\h$ = configuration de référence de la vésicule
=$\Smidd\times (-\h,\h)$

Énergie élastique associée à une déformation $\psih:\S\h\rightarrow \R^d$ $$ \J(\psih)=\int_{\S\h} \Wh(D\psih)\,dx, $$ où $\Wh$ est une densité d'énergie.

Analyse asymptotique

Question

Existe-t-il $\Wh$ tel que les minimiseurs de $\J$ convergent vers les minimiseurs de l'énergie de Helrich lorsque $\h\rightarrow 0$ ?

Exemples

Divers modèles de coques élastiques peuvent être obtenus comme limite asymptotique de l'élasticité tridimensionnelle.

Soit $\W{0}(F)=0$ si et seulement si $F\in \SO{3}$

$\Wh(F)=\h^{-1}\W{0}(F)$ $\Rightarrow$ Membranaire.
$\Wh(F)=\h^{-3}\W{0}(F)$ $\Rightarrow$ Isométrique en flexion.
$\Wh(F)=\h^{-5}\W{0}(F)$ $\Rightarrow$ Von Kármán.

Vésicules

$$\W\h(F)=\h^{-3}\W{2}(F)$$ et $$\W{2}(F)=0$$ ssi

Pas de changement d'aire
$\forall a,b \in \Tx{\Smidd}, |Fa \wedge Fb|=|a\wedge b|;$
Pas de tilde
$F_3$ normal à $F(\Tx{\Smidd} x)$;
Molécules lipidiques inextensibles
$|F_3|=1.$

On suppose de plus

l'invariance par le groupe linéaire spécial de $\T{\Smidd}$

3D$\Rightarrow$ 2D

Ansatz

On suppose que les minimiseurs $\varphih$ de l'énergie élastique sont de la forme $$ \varphih(x',\h x_3)=\sum_k \h^k \Varphik{k}(x',x_3). $$

Résultat

Ils convergent alors vers les minimiseurs de $$ \Iflex(\psi):=\frac 1 3 \int_{\Smidd} P_{\xmidd}(H)\, \dS, $$ où $P_{\xmidd}(\cdot)$ est un polynôme de degré deux sur l'ensemble des déformations $\psi:\Smidd\rightarrow \R^d$ telles que $$ \forall a, b \in \Tx \Smidd x,\qquad |D'\psi a \wedge D'\psi b| = |a \wedge b|. $$

Homogénéité le long des fibres

Si le solide est homogène le long des fibres, alors il existe $\kappa:\Smidd \rightarrow \R^*$ tel que $$ \Iflex(\psi):=\frac 1 3 \int_{\Smidd} \kappa_{\xmidd} |H|^2 \, \dS. $$

Exemple

Soit $$ \W{2}(F)=\alpha(\det(F^TF)-1)^2+\beta |F^TFe_3-e_3|^2, $$ on obtient $$ \Iflex(\psi)=\frac 2 3 \int_{\Smidd} (\alpha^{-1}+\beta^{-1})^{-1} |H|^2\,\dS.$$

Globules rouges

Sous les mêmes hypothèses pour $\W{0}$ et $\W{2}$ et $$ \W\h(F)=\varepsilon^{-1}\W{0}(F)+\h^{-3}\W{2}(F). $$ Les minimiseurs de $\J$ convergent vers les minimiseurs d'une fonction énergie de la forme $$ J(\psi)=\int_\Smidd \kappa_{\xmidd} |H|^2 + W(D'\psi)\dS, $$ sur l'ensemble des déformations telles que $$ \forall a, b \in \Tx \Smidd x,\qquad |D'\psi a \wedge D'\psi b| = |a \wedge b|. $$

Justification 2

du 3D au 2D

Une approche Eulérienne

Description

Formulation Eulérienne

$$ \min I_\varepsilon(\Omega_\h,u_\h,\sigma_\h) :=\h^{-3} \int_{\Omega_\h} V(\tau_\h,\sigma_\h) \,dx, $$ sous les contraintes

$\nabla \cdot\sigma_\h=0$
$\tau_\h=\nabla u_\h$
$u_\h=\pm \h$ sur $\partial^\pm \Omega_\h$
$\int_{\Omega_\h} \sigma_\h\cdot\tau_\h dx=2\h A.$

Avec $V(\tau,\sigma)=0$ ssi

Incompressibilité, $|\sigma_\h|=1$
Absence de tilde, $\sigma_\h\wedge\tau_\h=0$
Inextensibilité, $|\tau_\h|=1.$

$\Gamma$-Convergence

Théorème de Benoît Merlet

Soit $V$ tel que $V(\tau,\sigma)=0$ ssi $\tau=\sigma\text{ et }\sigma\cdot\tau=1,$ alors l'énergie $$ I_\varepsilon(\Omega_\h,\tau_\h,u_\h):=\h^{-3}\int_{\Omega_\h} V(\tau_\h,\sigma_\h)\,dx $$ $\Gamma$-converge (sous les contraintes précédentes) vers la fonctionnelle de Canham-Helfrich.

Eulérien $\Leftrightarrow$ Lagrangien 1/4

$$ \Omega_\h=\psih(\S\h) $$

$$ u_\h=h\circ (\psih)^{-1}, $$ $$ \tau_\h=\nabla u_\h $$

$$ \sigma_\h=\det(D\psih)^{-1}\partial_3\psih\circ(\psih)^{-1} $$

Eulérien $\Leftrightarrow$ Lagrangien 2/4

On a $$ \nabla\cdot \sigma_\h=0, $$
$$ \tau_\h=\nabla u_\h \text{ et }u_\h=\pm\h\text{ sur }\partial^\pm\Omega_\h, $$
et $$ \int_{\Omega_\h} \sigma_\h\cdot\tau_\h\,dx=|\S\h|. $$

Eulérien $\Leftrightarrow$ Lagrangien 3/4

Soit $$ \W{2}(F)=w(F_1\wedge F_2,F_3), $$ on a $$ \int_{\Omega_\h} \W{2}(D \psih)\,dx =\int_{\psih(\S\h)} V(\tau_\h,\sigma_\h) \,dx, $$ avec $$ V(\tau,\sigma)=w\left(\frac{\tau}{\tau\cdot \sigma},\frac \sigma{\tau\cdot\sigma}\right) |\tau\cdot \sigma|. $$

Eulérien $\Leftrightarrow$ Lagrangien 4/4

$$ \min_{\psih} \int_{\S\h} \W{2}(D\psih)\,dx $$ est équivalent à $$ \min_{\Omega_\h,\sigma_\h,u_\h} \int_{\Omega_\h} V(\sigma_\h,\tau_\h) \,dx $$ sous les contraintes $$ \nabla\cdot\sigma_\h=0, $$ $$ \tau_\h=\nabla u_\h \text{ et }u_\h=\pm\h\text{ sur }\partial\Omega_\h, $$ $$ \int_{\S\h} \sigma_\h\cdot\tau_\h\,dx=|\S\h|. $$

Simulations Numériques

Formulation du problème

On considère $\Omega \in \R^3$ l'ouvert occupé par la membrane de la vésicule. On note $\h$ la demi épaisseur de la vésicule et $A$ sont aire totale. A tout champ $\tau$ et $\sigma$ tels que $$ \nabla \cdot \sigma=0, $$ $$ \tau = \nabla u, $$ $$ u=\pm \h \text{ sur }\partial^\pm\Omega, $$ où $\partial \Omega = \partial^+\Omega \cup \partial^-\Omega$, $$ \int_\Omega \tau\cdot \sigma\,dx = 2\h A, $$ on associe l'énergie $$ I_\h(\Omega,\sigma,\tau) =\h^{-3} \int_\Omega |\tau-\sigma|^2+(1-\tau\cdot\sigma)^2\,dx.$$

Algorithme

Minimisations Alternées

On remarque que minimiser $$ I_\h(\Omega,\sigma,\tau) =\h^{-3} \int_\Omega |\tau-\sigma|^2+(1-\tau\cdot\sigma)^2\,dx $$ par rapport à $\sigma$ à $\Omega$ et $\tau$ fixés et par rapport à $\tau$ à $\Omega$ et $\sigma$ fixés sont tous deux des problèmes linéaires (avec contraintes linéaires).

On propose donc de minimiser alternativement par rapport à $\sigma$, $\tau$ et le domaine $\Omega$. La minimisation par rapport $\Omega$ s'effectue par des petites perturbations de $\Omega$ par des difféomorphismes $\varphi=\Id+\theta$ proches de l'identité.

Dérivation par rapport à $\Omega$

Soit $\varphi$ un difféomorphisme de $\R^3$, on note
$\Omega_\varphi=\varphi(\Omega); $ $ \tau_\varphi=\nabla \varphi^{-T}\tau;$ $\sigma_\varphi=(\det\nabla \varphi)^{-1}\nabla \varphi \sigma.$

$(\sigma,\tau)$ admissible $\Rightarrow (\sigma_\varphi,\tau_\varphi)$ admissibles.

On a alors, pour $\varphi=(\Id+\theta)$,

$$ I_\h(\Omega_\varphi,\sigma_\varphi,\tau_\varphi) = I_\h(\Omega,\sigma,\tau)
+L_{\Omega,\sigma,\tau}(\theta)+ o(\theta). $$ où $$ L_{\Omega,\sigma,\tau}(\theta)= \frac 1 {2\h^3}\int_{\Omega} (-\nabla\cdot\theta)\left(|\sigma-\tau|^2+(\sigma\cdot\tau-1)^2\right) $$ $$ +2(\sigma-\tau)\cdot (\nabla\theta\sigma+\nabla\theta^T\tau-(\nabla\cdot\theta)\tau) $$

$-2(\sigma\cdot\tau-1)\nabla\cdot\theta \,dx$

L'algorithme pas à pas

Initialisation: Choix de $\Omega_0$, calcul de $u_0$, solution de l'équation de Poisson, respectant les conditions
Pour tout $n\geq 0$

Calcul de $\sigma_n$, solution du problème de minimisation de $\sigma\mapsto I_\h(\Omega_{n-1},\tau_{n-1},\sigma)$.
Calcul de $\tau_n$, solution du problème de minimisation de $\tau\mapsto I_\h(\Omega_{n-1},\tau,\sigma_n)$.
Pose $\Omega_n=(\Id+\theta_n)(\Omega_{n-1})$, où

STOP lorsqu'un point fixe est atteint.

Vésicules et Globules Rouges

Modélisation et Simulation

Plan

Modélisation

Vésicules

Propriétés

Globules Rouges

Déformation

Vésicules

Helfrich

Globules rouges

Helfrich + membranaire

Justification 1

du 3D au 2D

Une approche Lagrangienne

Hyper-élasticité

Analyse asymptotique

Question

Exemples

Vésicules

Pas de changement d'aire

Pas de tilde

Molécules lipidiques inextensibles

l'invariance par le groupe linéaire spécial de $\T{\Smidd}$

3D$\Rightarrow$ 2D

Ansatz

Résultat

Homogénéité le long des fibres

Exemple

Globules rouges

Justification 2

du 3D au 2D

Une approche Eulérienne

Description

Formulation Eulérienne

$\Gamma$-Convergence

Théorème de Benoît Merlet

Eulérien $\Leftrightarrow$ Lagrangien 1/4

Eulérien $\Leftrightarrow$ Lagrangien 2/4

Eulérien $\Leftrightarrow$ Lagrangien 3/4

Eulérien $\Leftrightarrow$ Lagrangien 4/4

Simulations Numériques

Formulation du problème

Algorithme

Minimisations Alternées

Dérivation par rapport à $\Omega$

L'algorithme pas à pas

Vésicule perméable

Vésicule imperméable